Αρσάκεια Σχολεία - B΄ Λυκείου - Θετικού Προσανατολισμού
Δραστηριότητες για τη διδασκαλία της Άλγεβρας στη Β΄ Λυκείου
Table of Contents
- Συμμεταβολές
- Σταθερό εμβαδόν - Ελάχιστη υποτείνουσα
- Σταθερή υποτείνουσα - μέγιστο ορθογώνιο
- Μέγιστο εμβαδόν εγγεγρ/νου ορθογωνίου
- Σταθερή περίμετρος - μέγιστο εμβαδόν
- Σταθερό εμβαδόν - ελάχιστη περίμετρος
- Χρυσή Τομή
- Χρυσή Τομή
- Διάσημα προβλήματα της αρχαιότητας
- Τετραγωνισμός του κύκλου (squaring the circle)
- Τριχοτόμηση γωνίας - Μέθοδος Αρχιμήδη
- Ψηφιακά δομήματα ασκήσεων του Αρσακείου
- Ευθεία άσκηση 2.1.8
- Άσκηση 3 - Παρ.2.2
- Άσκηση 8 - Παρ.2.2
- Ερώτηση πολλαπλής επιλογής
- Επαναληπτική άσκηση 15
- Οικογένεια ευθειών και μέλη αυτής
Σταθερό εμβαδόν - Ελάχιστη υποτείνουσα
Γενικά
Στη δραστηριότητα επιχειρούμε να αναδείξουμε τη σημασία των πολλαπλών δυναμικών αναπαραστάσεων για τη σχεσιακή κατανόηση στο μαθηματικό συλλογισμό. [br][br]Συγκεκριμένα, από δυναμικές αναπαραστάσεις με γεωμετρικό περιεχόμενο, νοηματοδοτούνται αλγεβρικές σχέσεις και αντίστροφα: από δ.α με συναρτησιακό ή/και αλγεβρικό περιεχόμενο, νοηματοδοτούνται γεωμετρικές μεταβολές. [br][br][b][color=#1e84cc][size=150]Πρόβλημα (γεωμετρική διατύπωση)[/size][/color][/b][br][i][quote]Από όλα τα ορθογώνια τρίγωνα ΑΒΓ με σταθερό εμβαδόν, να βρεθεί εκείνο που έχει την ελάχιστη υποτείνουσα ή από όλα τα ορθογώνια με σταθερό εμβαδόν, ποιο έχει ελάχιστη διαγώνιο;[/quote][/i]
[b][color=#1e84cc][size=150]Αλγεβρική Αναδιατύπωση του προβλήματος[/size][/color][/b][br][br][i][quote][b]Από όλους τους πραγματικούς αριθμούς x,y με σταθερό γινόμενο, ποιοι έχουν ελάχιστο άθροισμα τετραγώνων[/b];[/quote][/i]
Οδηγίες
Στο δόμημα εμφανίζεται ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με σταθερό εμβαδόν Ε, το οποίο ρυθμίζεται από το δρομέα Ε. Στο δεξί παράθυρο, εμφανίζεται η γραμμή που διαγράφει ένα σημείο Ρ που έχει συντεταγμένες (γ,α) με γ,α την κάθετη πλευρά και την υποτείνουσα αντίστοιχα του τριγώνου ΑΒΓ. [br][br][b][size=150][color=#1e84cc]Πειραματισμός - Εικασία[/color][/size][/b][br][list][*]Σύρετε το σημείο Β σε διάφορες θέσεις. Μπορείτε από το γράφημα του σημείου Ρ να εικάσετε πότε η υποτείνουσα α γίνεται [b]ελάχιστη[/b];[/*][*]Eπαναλάβατε τον πειραματισμό και για άλλες τιμές του εμβαδού Ε. Πατήστε το κουμπί "min" για να ελέγξετε την εικασία σας.[/*][/list][br][b][color=#1e84cc]1η Απόδειξη (ερμηνεία από τη γραφική παράσταση)[/color][/b][br][br]Έστω x και y οι κάθετες πλευρές του ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ. Το πρόβλημα τότε περιγράφεται από το σύστημα:
H εξίσωση (1) αν θέσουμε x[sup]2[/sup]=ω, γράφεται ισοδύναμα: ω[sup]2[/sup]-α[sup]2[/sup]ω+4Ε[sup]2[/sup]=0. (2)[br]Πατήστε το διακόπτη "1η αναπαράσταση". Εμφανίζεται η γραφική παράσταση p (παραβολή) του τριωνύμου [math]p\left(x\right)=x^2-α^2x+4E^2[/math][br][br][list][*]Πειραματιστείτε με διάφορες θέσεις του σημείου Β.[/*][*]Τί φαίνεται να ισχύει για τις σχετικές θέσεις της παραβολής p με τον άξονα xx΄;[/*][*]Εκφράστε αλγεβρικά τις παρατηρήσεις σας από το προηγούμενο ερώτημα.[/*][*]Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε την προηγούμενη σχέση για την απόδειξη της εικασίας; [/*][/list]
Απόδειξη1
[b][color=#1e84cc]2η απόδειξη (αλγεβρική)[/color][/b][br][br]Ισχύει ότι: [br][math]α^2=x^2+y^2=x^2+\frac{4E^2}{x^2}[/math][br][br]H τελευταία σχέση προδιαθέτει για το σχηματισμό ...(;)[br]
Απόδειξη2
[b][color=#1e84cc][size=150]3η απόδειξη (Γεωμετρική)[br][br][/size][/color][/b]Ανοίξτε το διακόπτη "3η αναπαράσταση". Εμφανίζονται το ημικύκλιο διαμέτρου ΑΒ και το εγγεγραμμένο ορθογώνιο τρίγωνο ΒΛΓ, όπου Λ το μέσο του τόξου ΒΓ. [br][list][*]Ποια σχέση υπάρχει μεταξύ των υψών ΑΝ και ΛΜ;[/*][*]Χρησιμοποιώντας ως δεδομένη τη σχέση: βγ=αυ[sub]α[/sub] που ισχύει σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, μπορείτε να αποδείξετε τον ισχυρισμό;[/*][/list]
Απόδειξη
[size=150][b][color=#1e84cc]2η Αναπαράσταση (αναλυτική γεωμετρία)[/color][/b][/size][br][br]Ανοίξτε το διακόπτη "2η αναπαράσταση".Εμφανίζονται οι γραφικές παραστάσεις του κύκλου [math]x^2+y^2=a^2,x>0,y>0[/math] και της υπερβολής [math]y=\frac{2E}{x},x>0[/math] καθώς και οι εφαπτομένες της υπερβολής στα σημεία της Η και Θ. [list][*]Σύρετε το σημείο Β σε διάφορες θέσεις. [/*][*]Τί παρατηρείτε για τις σχετικές θέσεις των δύο κωνικών τομών; [/*][*]Τί φαίνεται να ισχύει με τη σχετική θέση τους, όταν η υποτείνουσα α γίνει ελάχιστη;[/*][*]Μπορείτε να εικάσετε από το προηγούμενο ερώτημα, [i]πότε δύο κωνικές τομές θα λέμε ότι εφάπτονται σε κάποιο κοινό τους σημείο[/i];[/*][/list][color=#1e84cc][b][br]και κάτι τελευταίο...[br][br][/b][/color]Από το δόμημα φαίνεται σαν το σημείο Ρ να "κινείται" επάνω στην υπερβολή από κάποιο σημείο και πριν. Μπορείτε να ελέγξετε αν αυτός ο ισχυρισμός είναι πραγματικός; (θα χρειαστεί να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης στην οποία κινείται το σημείο Ρ).
Χρυσή Τομή
Δ.1 ένας αθέατος κόσμος συμμεταβολών
Δύναμη Σημείου ως προς Κύκλο: ένας αθέατος κόσμος συμμεταβολών
Είναι γνωστό ότι οι μαθητές έχουν αποσπασματικές εικόνες για τις μετρικές σχέσεις που συναντούν στην Ευκλείδεια Γεωμετρία της [b]Β΄ Λυκείου[/b], σε σχέση με το αλγεβρικό – συναρτησιακό περιεχόμενο που αυτές εμπεριέχουν. [br]Με άλλα λόγια: Η Άλγεβρα και η Γεωμετρία λειτουργούν στο σχολικό περιβάλλον ως ερμητικά κλειστοί και αποστασιοποιημένοι χώροι ο ένας ως προς τον άλλον. [br][br]Στη δραστηριότητα επιχειρούμε, στο ενοποιημένο περιβάλλον του λογισμικού Geogebra, να αναδείξουμε την αλληλεξάρτηση αυτή, μέσω διαφόρων συμμεταβολών που δημιουργούνται από τη "Δύναμη σημείου ως προς κύκλο". Επιχειρούμε μέσω αυτής της δραστηριότητας, οι μαθητές να διαπιστώνουν να μπορούν να ερμηνεύουν αλγεβρικά τις εμφανιζόμενες γεωμετρικές ιδιότητες και αντίστροφα, να εξετάζουν μέσω γεωμετρικών ιδιοτήτων τα αναμενόμενα αλγεβρικά ισοδύναμα τους.[br][br][i][size=85][b][u]Σχόλιο[/u][/b]: Σημειώνουμε ότι η συγκεκριμένη ενότητα με τη σημασία της "δύναμης σημείου ως προς κύκλο" είναι πλέον εκτός ύλης(..). Η δραστηριότητα προτείνεται να διδαχθεί στις ώρες προσανατολισμού στο πλαίσιο των κωνικών τομών. Προσφέρεται για μια ενοποιημένη θεώρηση θεμάτων που αφορούν στην Ευκλείδεια, Αναλυτική Γεωμετρία καθώς και στην Άλγεβρα.[br][br]Παράλληλα, θεωρούμε ότι αποτελεί και υποχρέωση κάθε Έλληνα μαθηματικού, να αναφερθεί με την ευκαιρία της παρούσης ενότητας, στην περίφημη χρυσή αναλογία (χρυσή τομή), ένα από τα πλέον σημαντικά (μαζί με την ανακάλυψη [b]των ασύμμετρων μεγεθών[/b]) επιτεύγματα της Σχολής των [b]Πυθαγορείων[/b].[/size][/i]
ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ_blank
ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΜΕ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ
Διαίρεση ευθ. τμήματος σε μέσο και άκρο λόγο
[size=100]Στα στοιχεία του [b]Ευκλείδη[/b] συναντάμε για 1η φορά τη διαίρεση ενός ευθ. τμήματος [b]σε μέσο και άκρο λόγο.[/b](Βιβλίο ΙΙ- Η πρόταση 11 είναι η διαίρεση ενός ευθυγράμμου τμήματος σε μέσο και άκρο λόγο, δηλαδή είναι η κατασκευή της [b]Χρυσής Τομής. [/b]Στο συγκεκριμένο βιβλίο συναντάμε επίσης τις απαρχές της Γεωμετρικής Άλγεβρας με τη γενίκευση του Πυθαγορείου Θεωρήματος καθώς και τον τετραγωνισμό ευθ. σχήματος[b])[/b].[/size]
Δ.2 Κατασκευή του λόγου της Χρυσής Τομής.
Χρυσό ορθογώνιο
Στα επόμενα περιγράφουμε τον τρόπο κατασκευής ενός χρυσού ορθογωνίου. Δηλαδή ενός ορθογωνίου που ο λόγος των πλευρών είναι ίσος με τη χρυσή αναλογία [math]\varphi=\frac{\sqrt{5}+1}{2}[/math].
Δ.3 Κατασκευή χρυσού ορθογωνίου
Δ.4 Ιδιότητες χρυσού ορθογωνίου
Στα επόμενα περιγράφουμε τις ιδιότητες ενός χρυσού ορθογωνίου. Δηλαδή ενός ορθογωνίου. του οποίου οι πλευρές έχουν λόγο ίσο με τη χρυσή αναλογία φ.
Δ.5 Η χρυσή σπείρα
Στα επόμενα περιγράφεται με τη χρήση ενός ψηφιακού δομήματος, η δημιουργία της χρυσής σπείρας. Η χρυσή σπείρα παρατηρείται σε ένα μεγάλο πλήθος σχηματισμών στη φύση (άνθη, όστρακα κ.λ.π), στην αρχιτεκτονική (Παρθενώνας) αλλά και σε έργα τέχνης (ζωγραφική, γλυπτική κ.α).
Δ.6 Η ακολουθία Fibonacci
Η συγκεκριμένη ακολουθία ορίζεται με βάση τον αναδρομικό τύπο: [br][i]«Κάθε όρος αυτής της ακολουθίας, από τον 3[sup]ο[/sup] και μετά ορίζεται ως το άθροισμα των δύο προηγούμενων».[/i]Με άλλα λόγια πρόκειται για την ακολουθία των όρων: {1,1,2,3,5,8,13,21,34,…}.[br][br][quote]Αυξήστε το n για να προκύψουν περισσότεροι όροι αυτής της ακολουθίας. Τί παρατηρείτε για το λόγο δύο διαδοχικών όρων αυτής της ακολουθίας όσο αυξάνει το n;[/quote]
Χρυσή τομή - Παρουσίαση
Τετραγωνισμός του κύκλου (squaring the circle)
Εισαγωγή
[i]Τετραγωνισμός ενός κύκλου σημαίνει ότι η κατασκευή, με γεωμετρική ή αλγεβρική μέθοδο, ενός τετραγώνου με εμβαδόν ίσο με το εμβαδόν του κύκλου. Η δυσκολία του προβλήματος συνίσταται σε δύο περιορισμούς που έθεσαν σε αυτό οι αρχαίοι Έλληνες μαθηματικοί. Πιο συγκεκριμένα, για να θεωρηθεί αποδεκτή μία λύση του προβλήματος, σε αυτήν θα πρέπει να χρησιμοποιηθεί μόνο κανόνας και διαβήτης, προκειμένου η απόδειξη να ανάγεται πλήρως στα θεωρήματα του Ευκλείδη και, να μην πραγματοποιείται μετά από άπειρο αριθμό βημάτων.[/i][br][br]Αποδεικνύεται ότι το πρόβλημα του τετραγωνισμού του κύκλου επιλύεται εύκολα αν άρουμε οποιονδήποτε από αυτούς τους δύο περιορισμούς. Η επίλυση του προβλήματος συνδέεται άμεσα με την [b][i]υπερβατικότητα του αριθμού π[/i][/b]: Αν κάποιος έχει καταφέρει να τετραγωνίσει τον κύκλο, σημαίνει ότι με κάποιο τρόπο έχει υπολογίσει μία συγκεκριμένη αλγεβρική τιμή για το π. Κάτι τέτοιο όμως δεν είναι εφικτό γιατί ο αριθμός π είναι υπερβατικός (δηλ. δεν μπορεί να είναι ρίζα κανενός πολυωνύμου με ρητούς συντελεστές), οπότε δεν έχει συγκεκριμένη αλγεβρική τιμή. Πράγματι, το ενδιαφέρον για την επίλυση του προβλήματος του τετραγωνισμού του κύκλου εξανεμίζεται το 1882, όταν ο Φέρντιναντ Φον Λίντεμαν (Ferdinand von Lindemann) απέδειξε ότι το π είναι υπερβατικός αριθμός.[br]
Ευθεία άσκηση 2.1.8
[br]
Οδηγίες
Στη δραστηριότητα περιλαμβάνονται οι γεωμετρικοί τόποι 5 σημείων που οι συντεταγμένες τους είναι συναρτήσεις της παραμέτρου λ. [br]Από τη μορφή των συντεταγμένων κάθε σημείου θα πρέπει να βρεθεί η εξίσωση της αντίστοιχης ευθείας που διαγράφει κάθε σημείο. [br]Στο τέλος υπάρχει η δυνατότητα ελέγχου του τύπου που βρέθηκε.