算額　Let's try Sangaku!

Bunryu Kamimura, Jul 14, 2015

これは[b]算額[/b]をジオジェブラで描きなおした『[b]シュミレーション算額[/b]』です。 先人たちはどうやってこれらの法則を見つけたのでしょうか。 ぜひジオジェブラで作図をしてみましょう。 「江戸時代の数学【和算】」[url]http://hamaguri.sakura.ne.jp/nihon2.html[/url] 「天元術」[url]http://hamaguri.sakura.ne.jp/tengenzyutu.htm[/url] 「１６２年前との対話 ・・・和算の問題に挑戦する」（２０１２．７）[url]http://hamaguri.sakura.ne.jp/sangakukamiya.html[/url] 「美濃・飛騨の国の和算の歴史 ・・・算額の問題に挑戦しよう」（２０１４．８）[url]http://hamaguri.sakura.ne.jp/minohidawasan.htm[/url] なお、和算の応用の一つに測量があります。 測量とは「測天量地」の意味。つまり、天を測り、地を量る。天は角度、地は長さをはかることでしょうか。 彼らは数学を楽しむ心を持っていました。 私たちも算額を通じて楽しんでみましょう。 参考文献　平山諦著「和算史上の人々」　岩田至康著「幾何学大辞典」　米山忠興著「和算の解法」

Table of Contents

  1. 等円術
    1. 等円術
    2. 等円術３円
    3. 等円術４円
    4. 等円術　完成版
    5. 三斜接円
  2. 三斜三円術
    1. 三円外接
    2. 三斜三円術（安島・マルハッチの点）
    3. 三斜三円術　作図のし方
    4. 三斜三円術完成版
    5. 三斜四円術
    6. 方内交斜三円術
  3. 容円術
    1. 山路主任の円
    2. 円内交斜容円術
    3. 神谷定令「一題数品術」
    4. 廉術変換（環円廉術）
    5. 円内容累円術後編
  4. 傍斜術
    1. 傍斜術　３円
    2. 傍斜術　内円
    3. 四円傍斜術
    4. 四円傍斜術内接
    5. 五円傍斜術
    6. 六円傍斜術
  5. 算額
    1. 英賀神社
    2. 丸山良寛の問題
    3. 丸山の問題の拡張
    4. カルノーの定理
    5. 点竄指南
    6. 向関神社算額
    7. 広峰神社算額
    8. 馬場正督の問題
    9. 貫通術
    10. 新潟白山社算額
    11. 数理無尽蔵（ケージーの定理）
    12. 矮立円
    13. 矮立円
    14. 宮川矮立円
    15. 矮立円宮川の問題(八幡神社）
    16. 石原光衛門の問題
    17. 石原光衛門２
    18. 直角三角形の内接円に関する発見！
  6. 円に関するいろいろな定理
    1. 九点円 Euler's circle
    2. 九点円と傍接円の接点
    3. 接線と小円
    4. Poncelet's theorem
    5. ポンスレの定理楕円
    6. 反転法
    7. 反転法の原理
    8. 反転座標
    9. 円に内接する円
    10. 円に内接する円ーその３
  7. What is blue curve?
    1. What is blue curve? No.1
    2. What is blue curve? No.2
    3. What is blue curve? No.3
    4. ２円から楕円と双曲線を作図
    5. 接する二円が作る楕円と双曲線
    6. 互いに接する３円の中心と接点を結んだ３線が一点で交わることの証明
    7. 接点の作る円は内接円
  8. 算法古今通覧
    1. 通術　４円
    2. 通術　６円
    3. 通術　８円
    4. 通術　１２円
    5. 通術　ｎ円
    6. 通術　対称でない場合
    7. シュタイナーの定理
    8. 六球連鎖　ソデーの六球連鎖の定理
    9. 六球連鎖（完成版）
    10. 六球連鎖の動き

1.

等円術

等しい円を並べるとどんな法則があるのでしょうか

  • 1. 等円術
  • 2. 等円術３円
  • 3. 等円術４円
  • 4. 等円術　完成版
  • 5. 三斜接円

1.1.

等円術

まずは作図をしてみましょう。高さＨで右の円を合わせると、Ｅを動かしてもぴったり合っています。
– Bunryu Kamimura

1.2.

–

1.3.

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1.4.

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1.5.

–

2.

三斜三円術

三角形の中に円を入れます。 マルハッチと同時期に安島直円が取り組んだ問題。 いくつかの美しい公式を見つけている。

  • 1. 三円外接
  • 2. 三斜三円術（安島・マルハッチの点）
  • 3. 三斜三円術　作図のし方
  • 4. 三斜三円術完成版
  • 5. 三斜四円術
  • 6. 方内交斜三円術

2.1.

三円外接

この図を自分で作図してみましょう。[br]いろいろなことがわかってきます。
– Bunryu Kamimura

2.2.

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2.3.

–

2.4.

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2.5.

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2.6.

–

3.

容円術

円の中の円の関係。 美しい。

  • 1. 山路主任の円
  • 2. 円内交斜容円術
  • 3. 神谷定令「一題数品術」
  • 4. 廉術変換（環円廉術）
  • 5. 円内容累円術後編

3.1.

山路主任の円

– Bunryu Kamimura

3.2.

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3.3.

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3.4.

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3.5.

–

4.

傍斜術

傍斜とは、二つの円の共通接線のことです。 この共通接線の長さと半径の間に重要な関係があります。

  • 1. 傍斜術　３円
  • 2. 傍斜術　内円
  • 3. 四円傍斜術
  • 4. 四円傍斜術内接
  • 5. 五円傍斜術
  • 6. 六円傍斜術

4.1.

傍斜術　３円

– Bunryu Kamimura

4.2.

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4.3.

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4.4.

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4.5.

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4.6.

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5.

算額

日本各地の算額のうち、動くものを紹介します。 参考　「日本の数学」[url]http://hamaguri.sakura.ne.jp/nihon2.html[/url]

  • 1. 英賀神社
  • 2. 丸山良寛の問題
  • 3. 丸山の問題の拡張
  • 4. カルノーの定理
  • 5. 点竄指南
  • 6. 向関神社算額
  • 7. 広峰神社算額
  • 8. 馬場正督の問題
  • 9. 貫通術
  • 10. 新潟白山社算額
  • 11. 数理無尽蔵（ケージーの定理）
  • 12. 矮立円
  • 13. 矮立円
  • 14. 宮川矮立円
  • 15. 矮立円宮川の問題(八幡神社）
  • 16. 石原光衛門の問題
  • 17. 石原光衛門２
  • 18. 直角三角形の内接円に関する発見！

5.1.

英賀神社

– Bunryu Kamimura

5.2.

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5.3.

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5.4.

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5.5.

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5.6.

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5.7.

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5.8.

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5.9.

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5.10.

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5.11.

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5.12.

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5.13.

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5.14.

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5.15.

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5.16.

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5.17.

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5.18.

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6.

円に関するいろいろな定理

円は実に多様な性質を内包しています。 その一端。

  • 1. 九点円 Euler's circle
  • 2. 九点円と傍接円の接点
  • 3. 接線と小円
  • 4. Poncelet's theorem
  • 5. ポンスレの定理楕円
  • 6. 反転法
  • 7. 反転法の原理
  • 8. 反転座標
  • 9. 円に内接する円
  • 10. 円に内接する円ーその３

6.1.

九点円 Euler's circle

スライダーを１０にして、Ａを動かしてみましょう。 どうですか、空間が見えてきませんか。
– Bunryu Kamimura

6.2.

–

6.3.

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6.4.

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6.5.

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6.6.

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6.7.

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6.8.

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6.9.

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6.10.

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7.

What is blue curve?

これらの作図のために重要な曲線です。 円と円錐曲線の関係の一つ。

  • 1. What is blue curve? No.1
  • 2. What is blue curve? No.2
  • 3. What is blue curve? No.3
  • 4. ２円から楕円と双曲線を作図
  • 5. 接する二円が作る楕円と双曲線
  • 6. 互いに接する３円の中心と接点を結んだ３線が一点で交わることの証明
  • 7. 接点の作る円は内接円

7.1.

What is blue curve? No.1

円が接することの証明
面白いことに気がついた。円との接点ＧＦを結んだ線は定点Ｈを通るのではないか？このＨはどういう点か？
この点はＡＢをＡＤ：ＤＢに内分する点だと分かった。とすると、二つの円から楕円を描く新しい方法が見つかったことになる。Ｆを動かすと楕円を描く。
互いに接する３円の中心と接点を結んだ３線が一点で交わることの証明。つまり上の２図で、ＧＢとＥＤとＡＦが一点で交わることの証明。このことからＧＦを結んだ線はとＢＣの交点（２図のＨ）が内分点であることがわかる。さらに１図のＤが楕円上にあることの証明にもなっている。
– Bunryu Kamimura

7.2.

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7.3.

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7.4.

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7.5.

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7.6.

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7.7.

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8.

算法古今通覧

会田安明が１７９７年に出版した本から 通術を取り出してみた。 通術とは一般化や拡張の発想を持った方法である。

  • 1. 通術　４円
  • 2. 通術　６円
  • 3. 通術　８円
  • 4. 通術　１２円
  • 5. 通術　ｎ円
  • 6. 通術　対称でない場合
  • 7. シュタイナーの定理
  • 8. 六球連鎖　ソデーの六球連鎖の定理
  • 9. 六球連鎖（完成版）
  • 10. 六球連鎖の動き

8.1.

通術　４円

通術とは一般化のこと。円の数を増やすとどうなるか？
算法古今通覧
会田安明が、１７９７年に出版した著書[br]会田は最上流の祖[br]この一般化が面白い。[br][br]
– Bunryu Kamimura

8.2.

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8.3.

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8.4.

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8.5.

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8.6.

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8.7.

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8.8.

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8.9.

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8.10.

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