Funktionsanalysen mit kombinierten Funktionen

Besonderheiten

Hier geht es um Funktionen, der Form

, wobei

und

jeweils ganzrationale Funktionen sind. Im Grunde geschieht die Funktionsanalyse bei Funktionen, die ein Produkt aus einer ganzrationalen- und einer Exponentialfunktion sind, genau so, wie bei allen anderen Funktionen auch. Es gelten die gleichen Regeln und Bedingungen für das Berechnen von Nullstellen, Extrem-, Wende- und Sattelpunkten, die in der 11ten Klasse an Hand der ganzrationalen Funktionen gelernt wurden. Im Folgenden wird alles noch einmal kurz widerholt und auf Besonderheiten hingewiesen.

Nullstellen

Nullstellen sind natürlich wieder die Stellen auf der Abszisse, bei denen die Abszisse geschnitten oder berührt wird. Bei Nullstellen

ist der Funktionswert einer Funktion gleich Null:

. Besonderheit: Bei einer Funktion

sind die Nullstellen genau die Nullstellen der Funktion

, weil eine Exponentialfunktion für kein

gleich Null werden kann. Es reicht daher die Nullstellen von

zu berechnen, um die Nullstellen von

zu bestimmen.

Extrem-, Wende-, und Sattelpunkte

Hier gilt alles wie bekannt. Man muss allerdings für das händische Berechnen der Ableitungsfunktionen die Produktregel und in der Regel auch die Kettenregel heranziehen (für die Ableitung von

) . Extremstellen:

Notwendige Bedingung: (CAS: solve(f'(x)=0))
Hinreichende Bedingung: berechnen: Wenn , dann ist bei ein Hochpunkt Wenn , dann ist bei ein Tiefpunkt Wenn , dann ist die Bedingung nicht erfüllt. Weitere Untersuchungen sind nötig

Wendestellen:

Notwendige Bedingung: (CAS: solve(f''(x)=0))
Hinreichende Bedingung: berechnen: Wenn , dann ist bei ein Hochpunkt der Steigung Wenn , dann ist bei ein Tiefpunkt der Steigung Wenn , dann ist die Bedingung nicht erfüllt. Weitere Untersuchungen sind nötig

Sattelstellen:

Notwendige Bedingungen: und (CAS: solve(f'(x)=0) und mit dem Ergebnis f''(x)=0)
Hinreichende Bedingung: berechnen: Wenn , dann ist bei ein Hochpunkt der Steigung Wenn , dann ist bei ein Tiefpunkt der Steigung Wenn , dann ist die Bedingung nicht erfüllt. Weitere Untersuchungen sind nötig

y-Koordinaten: Für das Berechnen der y-Koordinaten müssen die berechneten Extrem-, Wende- oder Sattelstellen jeweils in die Funktionsgleichung von

eingesetzt werden.

Multiplikation einer ganzrationalen mit einer Exponentialfunktion

Wenn eine ganzrationale Funktion und eine Exponentialfunktion multipliziert werden, dann wird das Verhalten für große Beträge von

immer von der Exponentialfunktion bestimmt. Der Funktionsterm

wächst für

für große Beträge von

schneller als jede ganzrationale Funktion. Für

geht dieser Term für große Beträge von

schneller gegen Null, als eine ganzrationale Funktion wachsen kann. Da Exponentialfunktionen für

für jede Basis

bei

den Funktionswert

haben, sehen die Funktionsgrafen in der Nähe von

so aus, wie die ganzrationale Funktion und für große

so wie die Exponentialfunktion. Das Grenzverhalten ist genau der Grund, warum diese Funktionen sich für viele Anwendungen besser eignen, als ganzrationale Funktionen. Denn in vielen Fällen möchte man ein mathematisches Modell haben, für das

gilt. Ist im Exponenten der Exponentialfunktion auch eine ganzrationale Funktion, also

, dann muss zuerst analysiert werden, ob diese Funktion

für große

gegen

oder

geht. Je nachdem ist das Grenzverhalten der Exponentialfunktion das von

oder das von

. So nähert sich der Funktionsgraph der Funktion

für

und für

dem Funktionswert Null. Probieren Sie es aus!

Beispielaufgabe

Der Produktlebenszyklus des nachhaltigen PCs "GreenPC" ist durch folgende Funktion gegeben:

mit

. Dabei ist der Umsatz in Geldeinheiten pro Jahr und die Zeit ist in Jahren angegeben.

auf der Abszisse entspricht dem Jahresbeginn 2023.

Berechnen Sie in welchem Jahr und in welchem Monat der "GreenPC" auf den Markt gekommen ist und wann er wieder vom Markt verschwindet.
Das Unternehmen will seine Mitarbeiterzahl um 30% erhöhen, wenn er Umsatz größer als ist. Berechnen Sie, von wann bis wann diese das Unternehmen mehr Mitarbeiter braucht.
Es ist eine große Herausforderung, alle Filialen rechtzeitig mit genügend Produkten zu versorgen. Die Logistik-Abteilung bittet Sie daher zu berechnen, zu welchem Zeitpunkt der Umsatz am schnellsten wächst. Berechnen Sie auch die Wachstumsrate zu diesem Zeitpunkt.
Berechnen Sie, nach wie viel Jahren der größte Umsatz erreicht wird und wie hoch der Umsatz zu diesem Zeitpunkt ist.
Das Folgemodell des "GreenPC" soll in die Entwicklung gehen, wenn der Umsatzes schneller sinkt, als . Berechnen Sie, wann dieser Zeitpunkt erreicht ist.