Der Produktlebenszyklus des nachhaltigen PCs "GreenPC" ist durch folgende Funktion gegeben: [math]u(t)=15 t \cdot ℯ^{-\frac{1}{10} \left(t^{2} - 2 t \right)}-1 [/math] mit [math]t>0[/math]. Dabei ist der Umsatz in Geldeinheiten pro Jahr und die Zeit ist in Jahren angegeben.[br][math]t=0[/math] auf der Abszisse entspricht dem Jahresbeginn 2023. [br][list=1][*]Berechnen Sie in welchem Jahr und in welchem Monat der "GreenPC" auf den Markt gekommen ist und wann er wieder vom Markt verschwindet.[/*][*]Das Unternehmen will seine Mitarbeiterzahl um 30% erhöhen, wenn er Umsatz größer als [math]15 \textstyle\frac{GE}{Jahr}[/math] ist. Berechnen Sie, von wann bis wann diese das Unternehmen mehr Mitarbeiter braucht. [/*][*]Es ist eine große Herausforderung, alle Filialen rechtzeitig mit genügend Produkten zu versorgen. Die Logistik-Abteilung bittet Sie daher zu berechnen, zu welchem Zeitpunkt der Umsatz am schnellsten wächst. Berechnen Sie auch die Wachstumsrate zu diesem Zeitpunkt.[/*][*]Berechnen Sie, nach wie viel Jahren der größte Umsatz erreicht wird und wie hoch der Umsatz zu diesem Zeitpunkt ist.[/*][*]Das Folgemodell des "GreenPC" soll in die Entwicklung gehen, wenn der Umsatzes schneller sinkt, als [math]-5 \textstyle{\frac{GE}{Jahr^2}}[/math]. Berechnen Sie, wann dieser Zeitpunkt erreicht ist.[br][/*][/list]
Zuerst lohnt es sich, den Grafen abzuspeichern und auf dem Taschenrechnerdisplay einmal anzusehen.[br][br]1. [b]Mathematischer Ansatz[/b]: Hier sind die Nullstellen des Produktlebenszyklus gefragt, also ist zu lösen [math]u(t_N)=0[/math] - [b]CAS-Lösung[/b]: speichern Sie die Funktion als [color=#0000ff]u(x)[/color] ab (verwenden Sie überall das [color=#0000ff]x[/color] an Stelle des [color=#0000ff]t[/color]). Dann: [color=#0000ff]solve(u(x)=0)[color=#000000] Sie erhalten zwei Lösungen: [math]x_1=0,0658[/math] und [math]x_2=7,99[/math]. Die erste Nullstelle [math]x_1[/math] ist die Markteinführung. Da [math]1/12\approx0,083[/math] ist die Nullstelle [math]x_1[/math] noch ein Tag im Januar 2023. Nach fast genau [math]8[/math] Jahren wird das Produkt vom Markt genommen. [math]x_2[/math] ist etwas kleiner als 8, daher ist es im Dezember 2031.[br][br]2.[/color] [/color]Berechnen der Zeitpunkte, wann der Umsatz gleich [math]15\textstyle\frac{GE}{Jahr}[/math] ist.[br] [b]Mathematischer Ansatz[/b]: [math]u(t)=15[/math]. [b]CAS-Lösung[/b]: [color=#0000ff]solve(u(x)=15)[/color] Die zwei Lösungen sind die untere und die obere Grenze des Zeitintervalls: [math]x_1=0,965[/math] und [math]x_2=5,07[/math]. Der gesuchte Zeitraum liegt zwischen Ende Dezember 2023 bis Januar 2028.[br][br]3. Gefragt ist nach der stärksten Änderung, also nach einer Wendestelle und der dazu gehörenden Steigung: [b]Mathematischer Ansatz[/b]: [math]u''(x_W)=0[/math] (notwendige Bedingung für Wendestellen). [b]CAS-Lösung[/b]: [color=#0000ff]solve(u''(x)=0)[/color] . Ergebnis: [math]x_{W1}=-3,25[/math], [math]x_{W2}=0,671[/math] und [math]x_{W3}=4,58[/math]. Für eine stärkste Änderung muss laut hinreichender Bedingung für Wendestellen [math]u'''(t_W)<0[/math] sein: [br][math]u'''(x_{W1})\approx3,34[/math] ([math]\Rightarrow[/math] Hier ist ein Tiefpunkt der Steigung), [math]u'''(x_{W2})\approx-10,1[/math] ([math]\Rightarrow[/math] Hier ist ein Hochpunkt der Steigung) und [math]u'''(x_{W3})=5,63[/math] ([math]\Rightarrow[/math] Hier ist ein Tiefpunkt der Steigung). Weil alle drei Ergebnisse ungleich Null sind, hat diese Funktion 3 Wendestellen. Da nur an der Stelle [math]x_{W2}[/math] die dritte Ableitung negativ ist, ist hier die größte Steigung (ein Hochpunkt der Steigung).[br]Die Änderungsrate ist hier [math]u'(x_{W2})=u'(0,671)\approx17,1[/math], also [math]17,1 \textstyle\frac{GE}{Jahr^2}[/math][br][br]4. Hier ist eine Extremstelle gesucht: [b]Mathematischer Ansatz[/b]: [math]u'(x_E)=0[/math] (notwendige Bedingung für Extremstellen). [b]CAS-Lösung[/b]: [color=#0000ff]solve(u'(x)=0)[/color] . Ergebnis: [math]x_{E1}\approx-1,79[/math] und [math]x_{E2}\approx2,79[/math].[br]Hinreichende Bedingung: [math]u''(x_{E1})\approx6,97[/math] ([math]\Rightarrow[/math] Hier ist ein Tiefpunkt) und [math]u''(x_{E2})\approx-11,0[/math] ([math]\Rightarrow[/math] Hier ist ein Hochpunkt). Funktionswert: [math]u(x_{E2})\approx32,6[/math] . Antwort: Der größte Umsatz wird nach ca. 2,8 Jahren erreicht. Er beträgt dann [math]32,6\textstyle\frac{GE}{Jahr}[/math].[br][b]Achtung:[/b] Der CAS-Taschenrechner HP-Prime ist offenbar nicht ohne weiteres in der Lage, beide Nullstellen auszurechnen. Die Anweisung solve(u'(t)=0) ergibt nur die erste Nullstelle. Durch Ansicht des Funktionsgraphen von [math]u'(t)[/math] kann man das Maximum bei [math]2,79[/math] aber klar sehen. Um den Rechner dazu zu bewegen, diesen Wert doch noch zu finden, kann man in der solve-Anweisung einen "Schätzwert" angeben:[br][color=#0000ff]solve(u'(t)=0,x,2)[/color]. [br][br]5. Wann ist die Änderung des Umsatzes gleich [math]-5\textstyle\frac{GE}{Jahr^2}[/math]?[br][b]Mathematischer Ansatz[/b]: [math]u'(x)=-5[/math]. [b]CAS-Lösung[/b]: [color=#0000ff]solve(u'(x)=-5)[/color]. Ergebnis: [math]x_1\approx3,29[/math] und [math]x_2=6,49[/math].[br]Ab [math]t\approx3,29[/math] Jahren beginnt der Umsatz stärker zu fallen, als [math]-5\textstyle\frac{GE}{Jahr^2}[/math]. Der stärkste Rückgang liegt bei der Wendestelle [math]x_{W3}[/math]. Das Folgemodell sollte also nach ca. 3,3 Jahren in die Entwicklung gehen.