Abbiamo visto che l'[b]andamento lineare[/b], descritto da un'espressione di primo grado e rappresentato graficamente da una retta, è caratterizzato da una variazione assoluta del risultato in una certo intervallo dell'input. Ad esempio se il mio patrimonio in funzione degli anni è descritto dalla funzione[br][br][math]\Large{P_l(a) = 3000+500a}[/math] [br][br]significa che ogni anno esso aumenta di 500 euro.[br][br][b]L'andamento esponenziale[/b], invece, è caratterizzato da un aumento relativo (ad esempio percentuale) costante: se il mio patrimonio in funzione degli anni è descritto dalla funzione[br][br][math]\Large{P_e(a) = 3000\cdot1,08^a}[/math][br][br]ogni anno esso è aumentato dell'8% [b]di quanto valeva all'inizio di quell'anno[/b], e quindi ogni anno la cifra sarà diversa.[br][br]Vediamo in questo capitolo che [b]la variazione (assoluta o relativa) resta costante indipendentemente dall'estensione dall'intervallo su cui la misuriamo [/b](ovviamente l'entità di questa variazione dipenderà da quella dell'intervallo scelto).[br][br]Per fare questo [br][list][*]per prima cosa facciamo [b]un esempio numerico[/b]: consideriamo due istanti iniziali diversi ed un intervallo a piacere, e verifichiamo che in entrambi i casi il capitale è aumentato nello stesso modo. [/*][*]per dimostrare che il comportamento vale sempre, tuttavia, dovremo ripetere il calcolo per valori iniziali ed intervallo [b]qualsiasi, cioè rappresentati da lettere[/b]. Consolideremo così la nostra capacità di impostare e svolgere delle [b]dimostrazioni[/b].[br][br][/*][/list][size=150][color=#ff0000]CASO LINEARE[br][/color][/size]Consideriamo la funzione lineare introdotta prima, [math]\large{P_l(a) = 3000+500a}[/math], e valutiamola in un istante iniziale qualsiasi, ad esempio [math]\large{a_1 = 7}[/math] (tra sette anni) [br][br][math]\Large{\textcolor{blue}{P_l(a_1)} = P_l(\textcolor{blue}{7})=3000+500\cdot \textcolor{blue}{7} = \textcolor{blue}{6500}}[/math][br][br]Ora facciamo trascorrere un intervallo arbitrario, ad esempio [math]\large{\Delta a=4}[/math] e calcoliamo di quanto è cambiato il patrimonio nel frattempo[br][br][math]\Large{\textcolor{red}{P_l(a_1+\Delta a)} = P_l(\textcolor{blue}{7}+4=\textcolor{red}{11})=3000+500\cdot \textcolor{red}{11} = \textcolor{red}{8500}}[/math][br][br]Il patrimonio è aumentato quindi di [math]\large{\textcolor{red}{P_l(a_1+\Delta a)}-\textcolor{blue}{P_l(a_1)} = \textcolor{red}{8500}-\textcolor{blue}{6500} = 2000}[/math][br][br]Ora ripetiamo il calcolo rispetto un altro valore iniziale, ad esempio [math]\large{a_2 = -3}[/math] (tre anni fa): in questo istante il patrimonio vale[br][br][math]\Large{\textcolor{blue}{P_l(a_2)} = P_l(\textcolor{blue}{-3})=3000+500\cdot \textcolor{blue}{-3} = \textcolor{blue}{1500}}[/math][br][br]Dopo lo stesso intervallo scelto prima abbiamo[br][br][math]\Large{\textcolor{red}{P_l(a_2+\Delta a)} = P_l(\textcolor{blue}{-3}+4=\textcolor{red}{1})=3000+500\cdot \textcolor{red}{1} = \textcolor{red}{3500}}[/math][br][br]Anche in questo caso il patrimonio è aumentato quindi di [math]\large{\textcolor{red}{P_l(a_2+\Delta a)}-\textcolor{blue}{P_l(a_2)} = \textcolor{red}{3500}-\textcolor{blue}{1500} = 2000}[/math][br][br]Sembra quindi che preso qualsiasi istante iniziale, dopo due anni si ha sempre lo stesso incremento di patrimonio, cioè 2000 euro.[br][br][b]Dimostriamo ora che dato un intervallo qualsiasi [math]\large{\Delta a}[/math] l'incremento di patrimonio è sempre lo stesso, indipendentemente dall'istante di partenza in cui lo valutiamo.[/b][br][br]Valutiamo il patrimonio in un istante qualsiasi [math]\large{\textcolor{blue}{a_1}}[/math][br][br][math]\Large{P_l(\textcolor{blue}{a_1})=\textcolor{blue}{3000+500 a_1}}[/math][br][br]dopo [math]\large{\Delta a}[/math] anni abbiamo [br][br][math]\Large{P_l(\textcolor{red}{a_1+\Delta a})=3000+500 \cdot (\textcolor{red}{a_1+\Delta a}) = \textcolor{red}{3000+500a_1+500\Delta a}}[/math][br][br]Per un [color=#6aa84f][b]incremento assoluto di patrimonio [/b][/color]pari a [br][br][math]\Large{P_l(\textcolor{blue}{a_1}+\Delta a) - P_l(\textcolor{blue}{a_1})=\textcolor{red}{3000+500a_1+500\Delta a} - (\textcolor{blue}{3000+500a_1})= \textcolor{#009900}{500\Delta a}}[/math][br][br]Ripetiamo ora lo stesso calcolo per un altro istante qualsiasi [math]\large{\textcolor{blue}{a_2}}[/math][br][br][math]\Large{P_l(\textcolor{blue}{a_2})=\textcolor{blue}{3000+500 a_2}}[/math][br][br]dopo [math]\large{\Delta a}[/math] anni abbiamo [br][br][math]\Large{P_l(\textcolor{red}{a_2+\Delta a})=3000+500 \cdot (\textcolor{red}{a_2+\Delta a}) = \textcolor{red}{3000+500a_2+500\Delta a}}[/math][br][br]Per un [color=#6aa84f][b]incremento assoluto di patrimonio [/b][/color]pari a [br][br][math]\Large{P_l(\textcolor{blue}{a_2}+\Delta a) - P_l(\textcolor{blue}{a_2})=\textcolor{red}{3000+500a_2+500\Delta a} - (\textcolor{blue}{3000+500a_2})= \textcolor{#009900}{500\Delta a}}[/math][br][br]Abbiamo ottenuto lo stesso valore; dato che nei due esempi abbiamo preso valori qualsiasi possiamo affermare che [b]in un andamento lineare una determinata variazione dell'input [math]\large{\Delta}x[/math] causa sempre la stessa variazione assoluta [math]\large{\Delta}y[/math] dell'output[/b].[br][br]

[size=150][color=#ff0000]CASO ESPONENZIALE[br][/color][/size]Consideriamo la funzione lineare introdotta prima, [math]\large{P_e(a) = 3000\cdot1,08^a}[/math], e valutiamola in un istante iniziale qualsiasi, ad esempio [math]\large{a_1 = 5}[/math] (tra cinque anni) [br][br][math]\Large{\textcolor{blue}{P_e(a_1)} = P_e(\textcolor{blue}{5})=3000\cdot 1,08^{\textcolor{blue}{5}} \approx \textcolor{blue}{4408}}[/math][br][br]Ora facciamo trascorrere un intervallo arbitrario, ad esempio [math]\large{\Delta a=4}[/math] e calcoliamo di quanto è cambiato il patrimonio nel frattempo[br][br][math]\Large{\textcolor{red}{P_e(a_1+\Delta a)} = P_e(\textcolor{blue}{5}+4=\textcolor{red}{9})=3000\cdot 1,08^{\textcolor{red}{9}} \approx \textcolor{red}{5997}}[/math][br][br]Il rapporto tra il patrimonio finale e quello iniziale è pari a [math]\large{\frac{\textcolor{red}{P_l(a_1+\Delta a)}}{\textcolor{blue}{P_l(a_1)}} = \frac{\textcolor{red}{5997}}{\textcolor{blue}{4408}}\approx 1,3604809 \approx 136\% }[/math][br][br]Dopo quattro anni quindi il patrimonio è circa il [math]\large{136\% }[/math] del patrimonio di partenza, che quindi è aumentato del suo [math]\large{36\% }[/math][br][br]Ora ripetiamo il calcolo rispetto un altro valore iniziale, ad esempio [math]\large{a_2 = -3}[/math] (tre anni fa): in questo istante il patrimonio vale[br][br][math]\Large{\textcolor{blue}{P_e(a_2)} = P_e(\textcolor{blue}{-3})=3000\cdot 1,08^{\textcolor{blue}{-3}} \approx \textcolor{blue}{2381,5}}[/math][br][br]Dopo lo stesso intervallo considerato prima il patrimonio diventa [br][br][math]\Large{\textcolor{red}{P_e(a_2+\Delta a)} = P_e(\textcolor{red}{-3}+4=\textcolor{red}{1})=3000\cdot 1,08^{\textcolor{red}{1}} \approx \textcolor{red}{3240}}[/math][br][br]Il rapporto tra il patrimonio finale e quello iniziale è pari a [math]\large{\frac{\textcolor{red}{P_l(a_1+\Delta a)}}{\textcolor{blue}{P_l(a_1)}} = \frac{\textcolor{red}{3240}}{\textcolor{blue}{2381,5}} \approx 1,3604870 \approx 136\% }[/math][br][br]Sembra quindi che preso qualsiasi istante iniziale, dopo due anni si ha sempre lo stesso incremento relativo (o percentuale) di patrimonio, cioè del [math]\large{36\%}[/math] - i due rapporti non coincidono perfettamente a causa degli arrotondamenti intermedi che abbiamo compiuto.[br][br][b]Dimostriamo ora che dato un intervallo qualsiasi [math]\large{\Delta a}[/math] l'incremento [u]percentuale[/u] di patrimonio è sempre lo stesso, indipendentemente dall'istante di partenza in cui lo valutiamo.[/b][br][br]Valutiamo il patrimonio in un istante qualsiasi [math]\large{\textcolor{blue}{a_1}}[/math][br][br][math]\Large{\textcolor{blue}{P_e(a_1)}=\textcolor{blue}{3000\cdot1,08^{a_1}}}[/math][br][br]dopo [math]\large{\Delta a}[/math] anni abbiamo [br][br][math]\Large{\textcolor{red}{P_e(a_1+\Delta a)}=\textcolor{red}{3000\cdot 1,08^{a_1+\Delta a}}}[/math][br][br][b][color=#9900ff]Il rapporto tra patrimonio finale e quello iniziale[/color][/b] è pari a [br][br][math]\Large{\frac{\textcolor{red}{P_e(a_1+\Delta a)}}{\textcolor{blue}{P_e(a_1)}}=\frac{\textcolor{red}{3000\cdot 1,08^{a_1+\Delta a}}}{ \textcolor{blue}{1,08^{a_1}} }}[/math][br][br]Concentriamoci sul denominatore ed applichiamovi la proprietà sul prodotto di potenze con la stessa base letta al contrario:[br][br][math]\large{ = \frac{\textcolor{red}{3000\cdot 1,08^{a_1}} \cdot 1,08^{\Delta a}}{ \textcolor{blue}{3000\cdot1,08^{a_1}} } = \frac{\textcolor{red}{\cancel{3000\cdot 1,08^{a_1}} \cdot 1,08^{\Delta a}}}{ \cancel{\textcolor{blue}{3000\cdot1,08^{a_1}}} } = \textcolor{#9900ff}{1,08^{\Delta a}}}[/math][br][br]Dato che il rapporto ottenuto è superiore a uno, il patrimonio finale rappresenta una percentuale superiore a cento del patrimonio iniziale: [b][color=#6aa84f]il patrimonio è aumentato percentualmente [/color][/b]del [math]\large{\textcolor{#009900}{1,08^{\Delta a}-1}}[/math] - esattamente come nell'esempio numerico un rapporto del [math]\large{136\%}[/math] indicava un aumento del [math]\large{1,36-1 = 0,36 = 36\%}[/math].[br][br]Ripetiamo ora lo stesso calcolo per un altro istante qualsiasi [math]\large{\textcolor{blue}{a_2}}[/math][br][br][math]\Large{\textcolor{blue}{P_e(a_2)}=\textcolor{blue}{3000\cdot1,08^{a_2}}}[/math][br][br]dopo [math]\large{\Delta a}[/math] anni abbiamo [br][br][math]\Large{\textcolor{red}{P_e(a_2+\Delta a)}=\textcolor{red}{3000\cdot 1,08^{a_2+\Delta a}}}[/math][br][br]Anche in questo caso [b][color=#9900ff]il rapporto tra patrimonio finale e quello iniziale [/color][/b]è pari a [br][br][math]\Large{\frac{\textcolor{red}{P_e(a_2+\Delta a)}}{\textcolor{blue}{P_e(a_2)}}=\frac{\textcolor{red}{3000\cdot 1,08^{a_2+\Delta a}}}{ \textcolor{blue}{1,08^{a_2}} } = \frac{\textcolor{red}{3000\cdot 1,08^{a_2}} \cdot 1,08^{\Delta a}}{ \textcolor{blue}{3000\cdot1,08^{a_2}} }}[/math][br][math]\large{ = \frac{\textcolor{red}{\cancel{3000\cdot 1,08^{a_2}} \cdot 1,08^{\Delta a}}}{ \cancel{\textcolor{blue}{3000\cdot1,08^{a_2}}} } = \textcolor{#9900ff}{1,08^{\Delta a}} }[/math][br][br]Abbiamo ottenuto lo stesso valore di variazione percentuale, pari anche stavolta a [math]\large{\textcolor{#009900}{1,08^{\Delta a}-1}}[/math] ; dato che nei due esempi abbiamo preso valori qualsiasi possiamo affermare che [b]in un andamento esponenziale una determinata variazione dell'input [math]\large{\Delta}x[/math] causa sempre la stessa variazione relativa (o percentuale) dell'output[/b] [math]\large{\Delta}y[/math].

[size=150][color=#ff0000]APPLICAZIONI[br][/color][/size]Questa proprietà generale dell'andamento esponenziale ci permette di utilizzarlo in modo molto più flessibile per risolvere problemi che lo riguardano.[br][br][b][color=#0000ff]ESEMPIO 1[/color][/b][br]Un'auto che ho comprato 4 anni fa mi viene valutata 10.500€. Supponendo che il valore dell'auto segua un andamento esponenziale rispetto al tempo, e sapendo che l'ho acquistata per 12.900 euro, calcola: [br][list=1][*]la funzione che descrive il valore dell'auto al passare del tempo. [/*][*]il valore che avrà l'auto tra altri due anni[/*][*]il tasso di deprezzamento annuale [/*][*]quello decennale.[/*][/list][br]Prova a risolvere il problema, poi consulta la soluzione qui sotto.[br][br][color=#0000ff]SOLUZIONE[/color]: [br][color=#0000ff][b]1)[/b][/color] Ci viene richiesta la funzione [math]\large{V(a)}[/math] che permette di calcolare il valore [math]\large{V}[/math] in funzione degli anni trascorsi [math]\large{a}[/math]. Essendo di tipo esponenziale, Sarà della forma [math]V(a)=V_0\cdot \mathbb{f}^T[/math], dove [math]V_0=12.900[/math], il valore iniziale che ci viene fornito dal problema. [br][br]Dopo quattro anni il rapporto tra il valore attuale e quello iniziale è pari a [math]\large{\frac{V(4)}{V(0)} = \frac{10.500}{12.900}\approx 0,814 = 81,4 \%}[/math][br]In quattro anni quindi l'auto ha perso il [math]\large{100\% - 81,4\% = 18,6\%}[/math] del proprio valore. Dato che in un andamento esponenziale a parità di intervallo di [i]input [/i]si ha la stessa variazione percentuale di [i]output[/i], possiamo dire che [b]ogni 4 anni[/b] l'auto perderà il [math]\large{18,6\%}[/math] del proprio valore, ovvero [b]il valore sarà il [/b][math]\large{81,4 \%}[/math] [b]rimanente del valore iniziale[/b]. Se ridefiniamo l'input della funzione in quadrienni, quindi avremo che ogni quadriennio il nuovo valore è il di quello precedente, e quindi[br][br][math]\large{V(q)=12.900\cdot 0,814^q}[/math][br][br][color=#0000ff][b]2)[/b][/color] Dopo altri due anni saranno trascorsi 6 anni dall'acquisto, cioè [math]\frac{6}{4}=\frac{3}{2}[/math] quadrienni (un quadriennio e mezzo). Il valore corrispondente è[br][br][math]\large{V\left (\textcolor{red}{\frac{3}{2}} \right)=12.900\cdot 0,814^{\textcolor{red}{\frac{3}{2}}} = 12.900\cdot \sqrt{0,814^3}}\approx 9474[/math]€[br][br][color=#0000ff][b]3)[/b][/color] Abbiamo trovato che il valore dell'auto diventa [math]\large{81,4 \%}[/math] ogni quattro anni. Dato un certo intervallo, per contare quante volte siano passati quattro anni dobbiamo dividere per quattro, quindi possiamo riscrivere la funzione facendola dipendere dal numero degli anni trascorsi[br][br][math]\Large{V(\textcolor{red}{q})=12.900\cdot 0,814^{\textcolor{red}{q}}=12.900\cdot 0,814^{\textcolor{red}{\frac{a}{4}}}}[/math][br][br]Applichiamo la proprietà di potenza di potenza (al contrario) per mettere in rilievo l'input [math]\large{a}[/math][br][math]\Large{V(\textcolor{blue}{a})=12.900\cdot 0,814^{\textcolor{red}{\frac{\textcolor{blue}{a}}{4}}} = 12.900\cdot 0,814^{ \frac{1}{4}\ \cdot\ \textcolor{blue}{a}} = 12.900\cdot \left (\textcolor{#009900}{0,814^{ \frac{1}{4}} }\right )^{\textcolor{blue}{a}} }[/math][br][br]Come sappiamo, l'ultima scrittura ci dice che [math]\large{\textcolor{#009900}{0,814^{ \frac{1}{4}} }}[/math] è il fattore associato all'intervallo di un anno, quindi ogni anno il valore dell'auto è il [math]\large{0,814^{ \frac{1}{4}} \approx 0,95 = 95\%}[/math] del valore dell'anno precedente. L'auto ogni anno viene deprezzata del [math]\large{5\%}[/math].

[b][color=#0000ff]1)[/color] [/b]Per trovare il tasso decennale possiamo partire dall'espressione riferita all'anno, [b]tuttavia è sempre meglio ripartire dall'espressione originale, per evitare che troppi arrotondamenti portino ad un errore eccessivo[/b]. [br][br]Dato che il rapporto tra decenni e quadrienni è meno ovvio di quello visto alla domanda precedente, osserviamo semplicemente che in dieci anni ci sono due quadrienni e mezzo [math]\large{\left (\frac{10}{4} = \frac{5}{2}\right )}[/math], l'effetto sul valore dell'auto dopo un decennio può essere calcolato, utilizzando la funzione originale, come [br][math]\Large{V\left (\textcolor{red}{\frac{5}{2}} \right )=12.900\cdot 0,814^{\textcolor{red}{\frac{5}{2}}}\approx 12.900\cdot{0,598}}[/math][br][br]Dopo dieci anni, e quindi [b]ogni [/b]dieci anni, il valore dell'auto è il [math]\large{59,8\%}[/math] dell'originale, e quindi si deprezza del [math]\large{40,2\%}[/math].[br][br][b][color=#6aa84f]UN ALTRO MODO PIÙ GENERALE PER RISOLVERE IL PROBLEMA È IL SEGUENTE[/color][br]Troviamo il divisore comune più semplice tra decenni e quadrienni, che sono gli anni[/b]; quindi esprimiamo la funzione originale utilizzando questa unità, come fatto alla domanda precedente[br][br][math]\Large{V(\textcolor{blue}{a})=12.900\cdot 0,814^{\textcolor{red}{\frac{\textcolor{blue}{a}}{4}}}}[/math][br][br]A questo punto volendo considerare i decenni, [b]dobbiamo far comparire il rapporto [math]\large{}\frac{a}{10}[/math], che dato il numero di anni calcola quanti decenni sono passati[/b]. Applicando la proprietà invariantiva delle frazioni otteniamo [br][br][math]\huge{V(a)=12.900\cdot 0,814^{\textcolor{red}{\frac{a}{10}}\cdot \frac{10}{4}} }[/math][br][br]a questo punto mettiamo in evidenza [math]\large{}\frac{a}{10}[/math], cioè i decenni, applicando la solita proprietà delle potenze[br][br][math]\Large{V(a)=12.900\cdot \left (\textcolor{#009900}{0,814^{\frac{10}{4}}}\right)^{\textcolor{red}{\frac{a}{10}}} = 12.900\cdot \left (\textcolor{#009900}{0,814^{\frac{10}{4}}}\right)^{\textcolor{red}{d}} = V(\textcolor{red}{d}) }[/math][br][br]Il fattore [math]\large{\textcolor{#009900}{0,814^{\frac{10}{4}}}}[/math], che è lo stesso trovato al punto precedente, è appunto quello associato ad un intervallo di 10 anni [math]\large{\left (\textcolor{red}{\frac{a}{10}}\right )}[/math], cioè di un decennio.[br][br][br]