Uma sequência de funções[br][br][math]f_n:\quad X\subset\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R},\quad n\in\mathbb{N}[/math],[br][br]definidas em um conjunto [math]X\subset\mathbb{R}[/math], [b]converge uniformemente[/b] para uma função [math]f:X\rightarrow\mathbb{R}[/math] se para cada [math]\varepsilon>0,\quad\exists n_0=n_0\left(\varepsilon\right)\in\mathbb{N}[/math] tal que [br][br][math]n>n_0\quad\Rightarrow\quad\left|f_n\left(x\right)-f\left(x\right)\right|<\varepsilon[/math][br][br]para todo [math]x\in X[/math].[br][br]No fundo esta definição difere da definição de convergência pontual pelo fato de que para cada valor de [math]\varepsilon>0[/math], a escolha de [math]n_0\in\mathbb{N}[/math] não depende do valor do [math]x\in X[/math]. Na convergência pontual a escolha de [math]n_0[/math] pode mudar para cada valor de [math]x[/math].[br][br]No applet a seguir temos uma afirmação a respeito da convergência uniforme de uma sequência de funções específica que pode ser conferida geometricamente. Você pode alterar a função [math]f[/math]... Faça isso![br][br]Quando escolhemos o [math]\varepsilon>0[/math] estamos criando uma espécie de "faixa" em torno da função, a convergência só será uniforme se para um valor razoavelmente alto de [math]n[/math], os termos da sequência [math]\left\{f_n\right\}_{n\in\mathbb{N}}[/math] estiverem completamente dentro da "faixa". Verifique que isto acontece!

Agora que você já observou como se dá a convergência uniforme vamos observar um exemplo em que existe a convergência pontual para todo [math]x\in X[/math], mas não existe a convergência uniforme, uma vez que a sequência de funções nunca ficará totalmente dentro da "faixa".[br][br]Trata-se do mesmo exemplo que utilizamos para a convergência pontual, a sequência de funções[br][center][/center][center][math]\left\{x^n\right\}_{n\in\mathbb{N}},\quad x\in\left[0,1\right][/math].[/center][br]Observe, no applet abaixo, o que acontece se fizermos uma faixa em torno da função limite e aumentarmos [math]n[/math].[br][center][/center]

Dê zoom, se achar necessário, para verificar que a sequência de funções em azul nunca estará completamente dentro da faixa vermelha para um [math]\varepsilon[/math] suficientemente pequeno.