[justify]La experiencia geométrica nos induce a creer que las únicas transformaciones rígidas son las traslaciones, las rotaciones, las reflexiones o alguna combinación de estas tres. Ahora se desea demostrar que esto no es cierto, para ello comenzaremos a estudiar las transformaciones rígidas que no mueven el origen. Estas se llaman [i]transformaciones ortogonales.[br][br][/i][i][b]Definición.- [/b]Una transformación rígida [math]T[/math][/i] [i]que deja el origen fijo -es decir,[/i] [math]T\left(O\right)=O[/math][i]- se llama [b]transformación ortogonal[/b].[/i][br] [br]Las rotaciones alrededor del origen y las reflexiones respecto a una recta que pasa por el origen, son transformaciones ortogonales. El siguiente teorema muestra que toda transformación rígida puede efectuarse aplicando primero una transformación ortogonal al plano y después una traslación[/justify][i][b]Teorema.- [/b]Si [math]T[/math][/i] [i]es una transformación rígida, entonces[/i] [math]T=S\circ U[/math][i], donde[/i] [math]S[/math] [i]es una traslación y[/i] [math]U[/math] [i]una transformación ortogonal, y esta descomposición de[/i] [math]T[/math] [i]es única. [br][br][/i][i][b]Teorema.- [/b]El producto escalar es invariante bajo las transformaciones ortogonales (es decir, si [math]U[/math] es una transformación ortogonal, entonces [math]U\left(a\right)\bullet U\left(b\right)=a\bullet b[/math][/i]).[br][br][i][b]Corolario.- [/b]La ortogonalidad de los vectores es invariante bajo las transformaciones ortogonales.[br][br]Fuente: Hasser, N. B., La Salle, J., & Sullivan, J. (2009). Análisis matemático Vol. 1. [i]Editorial Trillas[/i].[/i]