[table][tr][td][url=https://www.geogebra.org/m/y9cj4aqt#material/zpunccpz][img]data:image/png;base64,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[/img][/url][/td][td] [size=50]Diese Aktivität ist eine Seite des [color=#980000][b]geogebra-books[/b][/color] [br] [color=#0000ff][u][b][/b][/u][/color][url=https://www.geogebra.org/m/nzfg796n][color=#0000ff][u][b]Elliptische Funktionen & Bizirkulare Quartiken & ...[/b][/u][/color][/url] ([color=#ff7700][i][b]05.02.2023[/b][/i][/color])[/size][/td][/tr][/table]

[size=85]Im Applet oben wurde rechts durch eine [b][i][color=#0000ff]Möbiustransformation[/color][/i][/b] [math]z_1[/math] auf 0, [math]z_2[/math] auf [math]\infty[/math] und [math]\left\{z_3,z_4\right\}[/math] auf [math]\left\{z'_3,z'_4\right\}[/math] abgebildet. [b][i][u][color=#cc0000][br]Spezielle Lagen:[/color][/u][br][/i][u]I.:[/u][/b] Die [b][i][color=#ff0000]Kreise[/color][/i][/b] [math]c_{\left\{123\right\}}[/math] durch [math]z_1,z_2,z_3[/math] und [math]c_{\left\{124\right\}}[/math] durch [math]z_1,z_2,z_4[/math] sind genau dann [b][i][color=#0000ff]orthogonal[/color][/i][/b],[br] wenn das [b][i][color=#ff00ff]Doppelverhältnis[/color][/i][/b] [math]Dv\left(z_1,z_2,z_3,z_4\right)=\frac{z_3-z_1}{z_3-z_2}\cdot\frac{z_4-z_2}{z_4-z_1}[/math] rein imaginär ist.[br] Im Bild rechts ist dies genau dann der Fall, wenn die Geraden [math]z_3,z_2,\infty[/math] und [math]z_4,z_2,\infty[/math] [b][i][color=#0000ff]orthogonal [/color][/i][/b]sind,[br] also genau dann, wenn [math]z_2[/math] auf dem [b]THALES[/b]-[b][i][color=#ff0000]Kreis[/color][/i][/b] über [math]z_3,z_4[/math] liegt![br] Die [b][i][color=#ff0000]Kreise[/color][/i][/b] [math]c_{\left\{134\right\}}[/math] durch [math]z_1,z_3,z_4[/math] und [math]c_{\left\{234\right\}}[/math] durch [math]z_2,z_3,z_4[/math] sind dann ebenfalls [b][i][color=#0000ff]orthogonal[/color][/i][/b].[br] Die [b][i]absolute Invariante[/i][/b] [math]J_{abs}[/math] läßt keine Besonderheit erkennen.[br][br][b]II.:[/b] Die [b][i][color=#ff0000]Punkte[/color][/i][/b]-[b][i]Paare[/i][/b] [math]\left\{z_1,z_2\right\}[/math] und [math]\left\{z_3,z_4\right\}[/math] liegen [b][i][color=#bf9000]spiegelbildlich[/color][/i][/b] auf [b][color=#cc0000]2[/color][/b] [b][i][color=#0000ff]orthogonalen[/color][/i][/b] [b][i][color=#ff0000]Kreisen[/color][/i][/b] genau dann,[br] wenn [math]j_1:=\frac{d+1}{d-1}\in i\mathbb{R}[/math] gilt; dies ist genau dann der Fall, wenn [math]\left|d\right|=1[/math] gilt;[br] und dies ist genau dann der Fall, wenn die [b][i]absolute Invariante[/i][/b] [math]J_{abs}[/math] reell und nicht positiv ist: [math]J_{abs}\in\mathbb{R}[/math] und [math]J_{abs}\le0[/math].[br][i][u][color=#cc0000][br]Begründung[/color][/u][/i]: [math]\left|d\right|=1\Longleftrightarrow\frac{d+1}{d-1}\in i\mathbb{R}[/math] ist der Satz des [b]THALES[/b], s.u.[br] Ein [b][i][color=#ff0000]Kreis[/color][/i][/b], zu dem die [b][i][color=#ff0000]Punkte[/color][/i][/b] [math]z_1,z_2[/math] [b][i][color=#bf9000]spiegelbildlich[/color][/i][/b] liegen, muss ein [b][i][color=#ff0000]Kreis[/color][/i][/b] aus dem [b][i][color=#ff0000]hyperbolischen[/color][/i][/b] [br] [b][i][color=#ff0000]Kreisbüschel[/color][/i][/b] um [math]z_1[/math] und [math]z_2[/math] sein (die [b][i][color=#bf9000]Inversion[/color][/i][/b] an diesem [b][i][color=#ff0000]Kreis[/color][/i][/b] vertauscht die beiden [b][i][color=#ff0000]Punkte[/color][/i][/b]!)[br] Durch [math]z_3[/math] wie durch [math]z_4[/math] gehen je genau ein [/size][size=85][b][i][color=#ff0000]Kreis[/color][/i][/b][/size][size=85] aus diesem [b][i][color=#ff0000]Kreisbüschel[/color][/i][/b]. [br] [math]z_1[/math] und [math]z_2[/math] können also nur spiegelbildlich zu einem [/size][size=85][b][i][color=#ff0000]Kreis[/color][/i][/b][/size][size=85] durch [math]z_3,z_4[/math] liegen, wenn die beiden [/size][size=85][b][i][color=#ff0000]Kreise[/color][/i][/b][/size][size=85] des [br] [b][i][color=#ff0000]hyperbolischen Kreisbüschels[/color][/i][/b] identisch sind. Im Applet erhält man rechts [math]d=Dv\left(z_1,z_2,z_3,z_4\right)=Dv\left(0,\infty,z'_3,z'_4\right)=\frac{z'_3}{z'_4}[/math].[br] [math]\left|d\right|=1[/math] ist also genau dann der Fall, wenn [math]z'_3,z'_4[/math] auf demselben konzentrischen [b][i][color=#ff0000]Kreis[/color][/i][/b] um 0 liegen.[br] Die [/size][size=85][b][i][color=#bf9000]Inversion[/color][/i][/b][/size][size=85] an diesem [/size][size=85][b][i][color=#ff0000]Kreis[/color][/i][/b][/size][size=85] vertauscht 0 und [math]\infty[/math], die [b][i][color=#0000ff]Winkelhalbierenden[/color][/i][/b] der [b][i][color=#ff0000]Geraden[/color][/i][/b] [math]0,z'_3[/math] und [math]0,z'_4[/math][br] sind [b][i][color=#0000ff]orthogonal[/color][/i][/b] zum konzentrischen [b][i][color=#ff0000]Kreis[/color][/i][/b], gespiegelt an ihnen werden [math]z'_3[/math] und [math]z'_4[/math] vertauscht.[br] Den Zusammenhang mit der absoluten Invariante [math]J_{abs}[/math] erklären wir unten![/size]

[size=85][b]III.: [color=#cc0000] 4[/color][/b] [b][i][color=#ff0000]Punkte [/color][/i][/b]liegen auf einem [b][i][color=#ff0000]Kreis[/color][/i][/b] genau dann, wenn ihr [b][i][color=#9900ff]Doppelverhältnis[/color][/i][/b] reell ist; [br] dies ist genau dann der Fall, wenn die [b][i]absolute Invariante[/i][/b] der [/size][size=85][b][color=#cc0000]4[/color][/b] [b][i][color=#ff0000]Punkte[/color][/i][/b][/size][size=85] reell und nicht-negativ ist![br][u][i][color=#e06666]Begründung: [/color][/i][/u] Nach dem [b][i][color=#0000ff]Peripheriewinkelsatz[/color][/i][/b] ist das [/size][size=85][b][i][color=#9900ff]Doppelverhältnis[/color][/i][/b][/size][size=85] reell genau dann,[br] wenn die [b][i][color=#ff0000]Punkte[/color][/i][/b] auf einem [b][i][color=#ff0000]Kreis[/color][/i][/b] liegen. Diese Eigenschaft ist unabhängig von der Reihenfolge der [b][i][color=#ff0000]Punkte[/color][/i][/b].[br] Für reelles [math]d[/math] ist [math]J_{abs}[/math] reell und nicht negativ![br][/size]

[size=85][b][i][u][color=#cc0000]Unter welcher Voraussetzung ist die absolute Invariante[/color][/u][/i][/b][/size] [math]J_{abs}[/math] [size=85][b][i][u][color=#cc0000]reell?[/color][/u][/i][/b][br]Die Mege der [b][color=#cc0000]6[/color][/b] relative [b][i]Invarianten[/i][/b] [math]j_{1/2}=\pm\frac{d+1}{d-1}[/math], [math]j_{3/4}=\pm\frac{d-2}{d}[/math] und [math]j_{5/6}=\pm\left(2\cdot d-1\right)[/math] ist invariant unter[br]der endlichen Gruppe von [b][i][color=#bf9000]involutorischen[/color][/i][/b] [b][i][color=#0000ff]Möbiustransformationen[/color][/i][/b] [math]\left\{\pm id,\pm A,\pm B\right\}[/math] mit [math]Az=\frac{3+z}{z-1}[/math], [math]Bz=\frac{3-z}{z+1}[/math].[br]Für jede der [b][color=#cc0000]6[/color][/b] relativen [b][i]Invarianten[/i][/b] gilt [br][/size][list][*][size=85][math]27\cdot J_{abs}=j^2\cdot\left(\frac{3+j}{j-1}\right)^2\cdot\left(\frac{3-j}{j+1}\right)^2=j^2\cdot\left(\frac{9-j^2}{j^2-1}\right)[/math][br][/size][/*][/list][size=85]Diese [b][i]kubische Gleichung[/i][/b] in [math]j^2[/math] besitzt nur reelle Koeffizienten[br][math]J_{abs}\ge0[/math] gilt dann und nur dann, wenn [math]d[/math] reell ist, also wenn die [b][i][color=#ff0000]Punkte[/color][/i][/b] konzyklisch sind..[br][math]J_{abs}\le0[/math] gilt dann und nur dann, wenn [math]j\in i\mathbb{R}[/math] für eine der sechs relativen Invarianten gilt. Durch Veränderung [br] der Reihenfolge der [b][i][color=#ff0000]Punkte[/color][/i][/b] kann man [math]\frac{d+1}{d-1}\in i\mathbb{R}[/math] erreichen, also spiegelbildliche Lage auf [b][color=#cc0000]2[/color][/b] [b][i][color=#0000ff]orthogonalen[/color][/i][/b] [b][i][color=#ff0000]Kreisen[/color][/i][/b].[/size]

[size=85][b][u][color=#cc0000]2[/color][/u][i][u][color=#cc0000] ganz besondere Lagen:[/color][/u][/i][/b][br][br]Sind die [b][color=#cc0000]4[/color][/b] [b][i][color=#ff0000]Punkte[/color][/i][/b] verschieden und ist [math]J_{abs}=0[/math], so gilt beides: die [b][i][color=#ff0000]Punkte[/color][/i][/b] sind [b][i][color=#ff0000]konzyklisch[/color][/i][/b] [br] und liegen [b][i][color=#bf9000]spiegelbildlich[/color][/i][/b] auf [b]2[/b] [b][i][color=#0000ff]orthogonalen[/color][/i][/b] [b][i][color=#ff0000]Kreisen[/color][/i][/b].[br] [b][i][u][color=#cc0000]Beispiel[/color][/u][/i][/b]: die [b][i][color=#ff0000]Schnittpunkte[/color][/i][/b] der 1. und 2. [b][i][color=#0000ff]Winkelhalbierenden[/color][/i][/b] mit dem [b][i][color=#bf9000]Einheitskreis[/color][/i][/b].[br][br] [math]J_{abs}=-1[/math] liegt vor für [b][color=#cc0000]4[/color][/b] Punkte, deren [b][i][color=#9900ff]Doppelverhältnis[/color][/i][/b] unabhängig von der Reihenfolge [math]\Large{d=e^{\frac{\pi}{3}\cdot i}}[/math] beträgt.[br]Projiziert man die [b][i][color=#ff0000]Punkte[/color][/i][/b] [b][i][color=#ff00ff]stereographisch[/color][/i][/b] auf die [b][i][color=#bf9000]Einheitskugel[/color][/i][/b], so erhält man auf der Kugel ein regelmäßiges [b][i][color=#0000ff]Tetraeder[/color][/i][/b].[/size]