[size=50][right]Diese Aktivität ist eine Seite des[i][b] [color=#980000]geogebra-books[/color][/b][/i] [url=https://www.geogebra.org/m/gz4cyje5][color=#0000ff][u][i][b]conics bicircular-quartics Darboux-cyclides[/b][/i][/u][/color][/url] [color=#ff7700][i][b](März 2021)[/b][/i][/color][/right][/size][br][color=#980000][i][b]Leitkreis/Leitgeraden-Konstruktion[/b][/i][/color][br][size=85][color=#6aa84f][i][b]Konfokale[/b][/i][/color] [color=#ff7700][i][b]Ellipsen/Hyperbeln[/b][/i][/color] besitzen 2 einfache [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color], zB. [color=#00ff00][b]f[/b][/color] =1 und [color=#00ff00][b]f'[/b][/color] =-1, [br]und einen doppelt-zählenden [color=#00ff00][i][b]Brennpunkt[/b][/i][/color]: [math]\infty[/math]. [br]Man betrachte dazu die Bilder unter [color=#0000ff][i][b]Möbiustransformationen[/b][/i][/color], beispielsweise unter [color=#f1c232][i][b]Kreisspiegelungen[/b][/i][/color].[br]Die 4 [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] kann man auf 2 verschiedene Weisen als Grundpunkte zweier [color=#ff0000][i][b]Kreisbüschel[/b][/i][/color] verwenden:[br]1.: als die 2 [color=#ff0000][i][b]Geradenbüschel[/b][/i][/color] durch [color=#00ff00][b]f[/b][/color] bzw. [color=#00ff00][b]f'[/b][/color], und orthogonal dazu die [color=#ff0000][i][b]konzentrischen Kreise[/b][/i][/color] um die [color=#00ff00][i][b]Brennpunkt[/b][/i][i][b]e[/b][/i][/color][br]2.: als ein [color=#ff0000][i][b]elliptisches Kreisbüschel[/b][/i][/color] durch [color=#00ff00][b]f[/b][/color] und [color=#00ff00][b]f'[/b][/color] und das Büschel der zur [math]x[/math]-Achse [color=#ff0000][i][b]parallelen Geraden[/b][/i][/color] (ein [color=#ff0000][i]parabolisches[br] Kreisbüschel[/i][/color]!); und orthogonal dazu das [color=#ff0000][i][b]hyperbolische Kreisbüschel[/b][/i][/color] um die [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] und die [color=#ff0000][i][b]Parallelen[/b][/i][/color] zur [math]y[/math]-Achse.[br]In beiden Fällen sind die [color=#ff7700][i][b]Ellipsen/Hyperbeln[/b][/i][/color] [color=#0000ff][i][b]Winkelhalbierende[/b][/i][/color] dieser [color=#ff0000][i][b]Kreisbüschel[/b][/i][/color].[br]In den [color=#ff7700][i][b]Schnittpunkten[/b][/i][/color] der [color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color] (oder [color=#ff0000][i][b]Geraden[/b][/i][/color]) aus den zwei [color=#ff0000][i][b]Kreisbüscheln[/b][/i][/color] sind die [color=#f1c232][i][b]Symmetrie-Kreise[/b][/i][/color] (Mittel-Kreise) [br]stets [color=#999999][i][b]doppelt-berührende Kreise[/b][/i][/color] des [color=#ff7700][i][b]Kegelschnitts[/b][/i][/color]. [br]Diese Konstruktion der [color=#999999][i][b]doppelt-berührenden[/b][/i][/color] [color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color] gelingt auch, wenn die [color=#ff0000][i][b]"Brennkreise"[/b][/i][/color] aus [br]den beiden [color=#ff0000][i][b]Kreisbüscheln[/b][/i][/color] sich nicht schneiden![br]Das stimmt auch für die Tangenten: [math]\infty[/math] ist sowohl als [color=#00ff00][i][b]Brennpunkt[/b][/i][/color] als auch als [color=#ff7700][i][b]Kurvenpunkt[/b][/i][/color] zu betrachten.[br]Spiegelt man einen der beiden [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color], zB. [color=#00ff00][b]f[/b][/color] = 1, an den [color=#999999][i][b]doppelt-berührenden Kreisen[/b][/i][/color], [br]so liegen die [color=#00ffff][i][b]Spiegelpunkte[/b][/i][/color] auf dem zugehörigen [color=#0000ff][i][b]Leitkreis[/b][/i][/color], bzw. der [color=#0000ff][i][b]Leitgeraden[/b][/i][/color]. [br]Für den Fall 1 ist dies nichts anderes als die [color=#6aa84f][i][b]Gärtner-Konstruktion[/b][/i][/color] der [color=#ff7700][i][b]Ellipsen[/b][/i][/color]![br]Umgekehrt kann man aus der Kenntnis des [color=#0000ff][i][b]Leitkreises[/b][/i][/color], der [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] (und der zugehörigen [color=#BF9000][i][b]Symmetrie[/b][/i][/color]) [br]die [color=#ff7700][i][b]Kegelschnitte[/b][/i][/color] als [i][b]Ortslinie[/b][/i] "konstruieren".[br][br][size=50][u][i][b]Bemerkung[/b][/i][/u]: die genannten Eigenschaften sind [color=#0000ff][i][b]möbiusinvariant[/b][/i][/color]! [br]Das Bild [color=#38761D][i][b]konfokaler[/b][/i][/color] [color=#ff7700][i][b]Kegelschnitte[/b][/i][/color] unter [color=#0000ff][i][b]Möbiustransformationen[/b][/i][/color] läßt sich untersuchen wie oben beschrieben, wobei die Unterscheidung von [color=#ff0000][i][b]Kreisen[/b][/i][/color] und [color=#ff0000][i][b]Geraden[/b][/i][/color] wegfällt.[/size][/size]

[color=#980000][i][b]Scheitelkreis-Konstruktionen[/b][/i][/color][br][size=85]Die [color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color] ([color=#ff0000][i][b]Geraden[/b][/i][/color]) der orthogonalen [color=#ff0000][i][b]Kreisbüschel[/b][/i][/color] sind in beiden Fällen orthogonal zur [math]x[/math]-Achse.[br]Die zu einem einzelnen [color=#ff7700][i][b]Kegelschnitt[/b][/i][/color] gehörenden [color=#ff0000][i][b]Brennkreise[/b][/i][/color] sind auf folgende Weise einander zugeordnet:[br]Spiegelt man einen Schnittpunkt [color=#ff0000][b]s[/b][/color] des einen [color=#ff0000][i][b]Brennkreises[/b][/i][/color] am [color=#999999][i][b]Scheitelkreis[/b][/i][/color] bzw. an einer [color=#999999][i][b]Scheiteltangente[/b][/i][/color],[br]so erhält man einen Schnittpunkt des zugeordneten anderen [color=#ff0000][i][b]Brennkreises[/b][/i][/color] mit der [math]x[/math]-Achse.[br]Einer der [color=#BF9000][i][b]Symmetriekreise[/b][/i][/color] (Winkelhalbierenden-Kreis) ist ein [color=#666666][i][b]doppelt-berührender[/b][/i][/color] [color=#ff0000][i][b]Kreis[/b][/i][/color] des [color=#ff7700][i][b]Kegelschnitts[/b][/i][/color].[br]Diese Zuordnung funktioniert auch, wenn die [color=#ff0000][i][b]Brennkreise[/b][/i][/color] sich [i][b]nicht[/b][/i] auf dem [color=#ff7700][i][b]Kegelschnitt[/b][/i][/color] schneiden![br][br]Mit Hilfe dieser Zuordnung kann man die [color=#ff7700][i][b]Kegelschnitte[/b][/i][/color] als [i][b]Ortskurven[/b][/i] "konstruieren".[/size]