El Jacobiano de un cambio de variables en el espacio mide la variación de primer orden del[i] elemento infinitesimal de volumen[/i] bajo el cambio de variables. [br][br]El objetivo de esta construcción es mostrar el cambio de un [i]elemento infinitesimal de volumen[/i] bajo la acción del cambio de coordenadas cartesianas a coordenadas cilíndricas. [br][br]El elemento infinitesimal de volumen no cambia al variar el ángulo [math]\text{\theta}[/math] o al variar la altura [math]\text{z}[/math], solo cambia con la distancia al eje vertical [math]\text{\rho}[/math]. La expresión del Jacobiano de las coordenadas cilíndricas es:[br][br][math]\text{\left|\dfrac{\partial(x,y,z)}{\partial(\theta,\rho,z)}\right|=\rho}[/math].

Al mover el deslizador de [math]\text{\theta}[/math] se mueve el punto rojo sobre la zona gris ([math]\text{\theta}[/math] es la primera coordenada del punto rojo). El punto rojo también se puede mover libremente variando su segunda coordenada que representa la altura [math]\text{z}[/math]. La distancia el eje vertical, [math]\text{\rho}[/math], coincide con la distancia del punto amarillo al eje horizontal que se puede cambiar moviendo el punto sobre la semirrecta. [br][br]Al mover cualquiera de estos elementos se mueve el punto rojo sobre el cilindro. El volumen azul entre los cilindros representa el [i]elemento diferencial de volumen[/i] para esos valores de [math]\text{\theta}[/math], [math]z[/math] y [math]\text{\rho}[/math]. [br][br]Al mover el punto rojo sobre la zona gris el sólido azul entre los cilindros cambia su posición pero no su volumen, es decir, el [i]elemento diferencial de volumen[/i] se mantiene constante aunque se varíe [math]\text{\theta}[/math] o [math]\text{z}[/math] y no depende de esas variables. Sin embargo, al cambiar [math]\text{\rho}[/math] (el punto amarillo) el volumen aumenta cuando [math]\text{\rho}[/math] aumenta, es decir, el [i]elemento diferencial de volumen[/i] aumenta con [math]\text{\rho}[/math]. En consecuencia el Jacobiano de las coordenadas cilíndricas solo depende de [math]\text{\rho}[/math].