Der Logarithmus ist das Gegenteil der Exponentialfunktion. Wir werden uns nur einen ganz bestimmten Logarithmus ansehen, nämlich den "Logarithmus zur Basis 10". Was bedeutet das? Der Logarithmus ist eine neue Funktion, welche eine Potenzierung rückgängig macht:[br][br][br][math]log_{10}\left(100\right)=log_{10}\left(10^2\right)=2[/math],[br][math]log_{10}\left(100000\right)=log_{10}\left(10^5\right)=5[/math],[br]usw.[br][br][i]Geogebra-Befehl für den Logarithmus zur Basis 10: lg(...)[/i][br][br][br]
[math]log_{10}\left(10^9\right)[/math]
[math]log_{10}\left(1000\right)[/math]
[math]\text{log}_{10}\left(1\right)[/math]
[math]log_{10}\left(50\right)[/math]
Der Logarithmus hat eine besonders wichtige Eigenschaft: Er kann den Exponenten einer Potenz "herausziehen". Beispiele:[br][br][math]log_{10}\left(10^5\right)=5\cdot log_{10}\left(10\right)[/math][br][br][math]log_{10}\left(4^{12}\right)=12\cdot log_{10}\left(4\right)[/math][br][br]Aufgabe: Überprüfe diese Eigenschaft, indem du bei beiden Beispielen beide Seiten berechnest und vergleichst.[br][br][br][br][br][br]
Diese Eigenschaft kann genutzt werden, um damit Gleichungen zu lösen. Beispiel:[br][br][math]1000=2^x[/math][br][br]1.: Auf beiden Seiten den Logarithmus anwenden:[br][br][math]log_{10}\left(1000\right)=log_{10}\left(2^x\right)[/math][br][br]2.: Die Eigenschaft benutzen:[br][br][math]log_{10}\left(1000\right)=x\cdot log_{10}\left(2\right)[/math][br][br]3.: Die Gleichung umstellen und ausrechnen:[br][br][math]x=\frac{log_{10}\left(1000\right)}{log_{10}\left(2\right)}\approx9,97[/math][br][br]Kontrollrechnung:[br][br][math]2^{9.97}\approx1000[/math]
[math]5\cdot6^x=1080[/math]
[math]3\cdot5^x-12=438[/math]
Wie oft muss ich ein Blatt Papier (in der Mitte) falten, bis es eine Million Lagen hat? Stelle eine Exponentialgleichung auf und löse sie.