[justify]Tronco de pirâmide é o sólido geométrico encontrado na parte inferior da pirâmide quando nela é realizada uma secção transversal, a qualquer altura. A secção transversal é um corte feito por um plano paralelo à base do sólido geométrico. Quando é feita a secção transversal, formam-se dois sólidos geométricos: um deles é uma pirâmide menor e o outro, o tronco de pirâmide. O tronco de pirâmide possui como principais elementos: A base menor, a base maior e a altura, que são úteis para o cálculo de seu volume e área total. Para realizar tais cálculos, utilizam-se fórmulas específicas.[/justify]

[size=150][size=100][justify]O tronco de pirâmide é o sólido geométrico obtido pela secção transversal de uma pirâmide qualquer, a qualquer altura.[/justify][/size][/size]

Como todo sólido geométrico, o tronco de pirâmide possui elementos importantes:[br][list][*]altura ([math]h[/math]);[br][/*][*]base maior ([math]B[/math]);[br][/*][*]base menor ([math]b[/math]).[br][/*][/list]

[justify]Note que a base maior e a base menor sempre são compostas por polígonos semelhantes, podendo ser triângulos, quadrados, retângulos, pentágonos, hexágonos ou qualquer outro polígono. Além disso, as faces laterais de um tronco de pirâmide [b]são sempre trapézios.[/b][/justify]

A área total do tronco de pirâmide é a soma das áreas da base com a área lateral.[br][br][math]A_T=A_B+A_b+A_l[/math][br][sub][/sub][br][list][*][math]A_T[/math][sub][/sub] → área total do tronco de pirâmide;[br][/*][*][math]A_B[/math]→ área da base maior;[br][/*][*][math]A_b[/math][sub][/sub] → área da base menor;[br][/*][*][math]A_l[/math]→ área lateral, encontrada pela soma das áreas dos trapézios que compõem o sólido.[br][/*][/list]

[justify]Para calcular o volume de um tronco de pirâmide, é comum calcular a diferença entre o volume da pirâmide maior e o volume da pirâmide menor quando realizada a secção transversal. Existe também uma fórmula específica para calcular o volume de um tronco de pirâmide:[/justify][math]V=\frac{h\left(A_b+A_B+\sqrt{A_{b.}.A_B}\right)}{3}[/math][br][list][*][math]V[/math] → volume;[br][/*][*][math]h[/math]→ altura do tronco;[br][/*][*][math]A_B[/math][sub][/sub] → área da base maior;[br][/*][*][math]A_b[/math]→ área da base menor.[br][/*][/list]

[size=100][justify]As propriedades geométricas relacionadas às dimensões da pirâmide maior e da menor podem ser expressas em termos de proporções.[/justify][/size][b]Proporção das Arestas: [/b]As arestas das bases do tronco de pirâmide são proporcionais às alturas das pirâmides correspondentes:[br][br][br][math]\frac{h}{H}=\frac{a}{A}[/math][br][br][br]Essa relação indica que a razão entre as arestas das bases é a mesma que a razão entre as alturas das pirâmides.[br][br][br][b]Exemplo 1: [br][/b][br][br]Uma pirâmide truncada tem uma base maior com aresta A=10 cm e uma base menor com aresta a=6 cm. Se a altura da pirâmide maior é [math]H=15[/math] , qual é a altura [math]h[/math] da pirâmide menor?[br][br][br][b]Resolução:[/b] A relação entre as arestas e as alturas das pirâmides maior e menor é dada por:[br][br][br][math]\frac{a}{A}=\frac{h}{H}[/math] Substituindo os valores:[br][br][br][br][math]\frac{6}{10}=\frac{h}{15}[/math] Resolvendo para [math]h:\Longrightarrow h=\frac{6.15}{10}=9cm[/math][br][br][br][b]Resposta: [/b]A altura da pirâmide menor é 9 cm.

[br][b]Proporção das Áreas[br][br][/b][justify]As áreas das bases do tronco de pirâmide também seguem uma proporção com base no quadrado das alturas:[/justify][math]\frac{h^2}{H^2}=\frac{A_b}{A_B}[/math][br][br][br]Isso reflete o fato de que as áreas das bases são proporcionais ao quadrado das alturas correspondentes.[br][br][b]Exemplo 2:[/b] [br][br][justify]Dado um tronco de pirâmide com área da base maior [math]A_B=64cm^2[/math] e área da base menor [math]A_b=36cm^2[/math]. Se a altura da pirâmide maior é [math]H=12[/math] , qual é a altura [math]h[/math] da pirâmide menor?[/justify][br][br][b]Resolução: [/b]A relação entre as áreas e as alturas das pirâmides maior e menor é dada por:[br][br][math]\frac{A_b}{A_B}=\left(\frac{h}{H}\right)^2[/math] Substituindo os valores:[br][br][br][math]\frac{36}{64}=\left(\frac{h}{12}\right)^2[/math] Simplificando a fração: [math]\frac{36^{:4}}{64^{:4}}=\left(\frac{h}{12}\right)^2\Longrightarrow\frac{9}{16}=\left(\frac{h}{12}\right)^2[/math] Extraindo a raiz quadrada dos dois lados:[br][br][br][math]\frac{3}{4}=\frac{h}{12}[/math] Resolvendo para[math]h:[/math] [math]h=\frac{3.12}{4}\Longrightarrow h=9cm[/math][br][br][b]Resposta:[/b] A altura da pirâmide menor é 9 cm.

[b]Proporção dos Volumes: [br][br][/b]Os volumes das pirâmides menor e maior estão relacionados pela proporção cúbica das alturas[br][br][math]\frac{h^3}{H^3}=\frac{vol}{Vol}[/math] Essa relação mostra que o volume de uma pirâmide é proporcional ao cubo da altura.[br][br][b]Exemplo 3: [br][br][/b]Um tronco de pirâmide tem volumes [math]VOL=200cm^3[/math] para a pirâmide maior e [math]vol=50cm^3[/math] para a pirâmide menor. Se a altura da pirâmide maior é[math]H=10cm[/math], qual é a altura [math]h[/math]da pirâmide menor?[br][br][br]A relação entre os volumes e as alturas das pirâmides maior e menor é dada por:[br][br][math]\frac{vol}{VOL}=\left(\frac{h}{H}\right)^3[/math] Substituindo os valores:[br][br][br][math]\frac{50}{200}=\left(\frac{h}{10}\right)^3[/math] Simplificando a fração: [math]\frac{50^{:50}}{200^{:50}}=\left(\frac{h}{10}\right)^3[/math][br][br][br][math]\Longrightarrow\frac{1}{4}=\left(\frac{h}{10}\right)^3[/math], manipulando essa equação para raiz cúbica, temos:[br][br][br][math]\frac{1}{4}=\left(\frac{h}{10}\right)^3\Longrightarrow\left(\frac{1}{4}\right)^{\frac{1}{3}}=\frac{h}{10}ou\frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{4}}=\frac{h}{10}[/math] [br][br][br]Calculando a raiz cúbica:[br][br][math]\frac{1}{1,587}=\frac{h}{10}\Longrightarrow h=\frac{10}{1,587}\cong6,30[/math][br][br][b]Resposta:[/b] A altura da pirâmide menor é aproximadamente 6.30 cm.

[justify]2-(Enem 2009) Uma fábrica produz velas de parafina em forma de pirâmide quadrangular regular com 19 cm de altura e 6 cm de aresta da base. Essas velas são formadas por 4 blocos de mesma altura — 3 troncos de pirâmide de bases paralelas e 1 pirâmide na parte superior —, espaçados de 1 cm entre eles, sendo que a base superior de cada bloco é igual à base inferior do bloco sobreposto, com uma haste de ferro passando pelo centro de cada bloco, unindo-os, conforme a figura.[/justify]

[justify]4-Na busca por um vaso para colocar uma muda de jabuticaba, Poliana encontrou vários formatos diferentes de sólidos geométricos, entre eles, os que estão na imagem a seguir.[/justify]

[justify]5-Um sólido geométrico foi seccionado por um plano paralelo à sua base formando outros dois sólidos, como mostra a imagem a seguir:[/justify]