直極点とデルトイド

Bunryu Kamimura, Feb 12, 2019

三角形と直線から直極点(Ｏrthopole)ができる。 いろいろな直線と直極点を使って三角形に働きかけると、三角形は不思議な現象を示す。 シムソン線、外接円、９点円、デルトイド、・・・ これらは垂線で作図できる。 作図の面白さと同時に、ダイナミックな三角形の性質にふれてみよう。 参考「Orthopole」 [url]http://users.math.uoc.gr/~pamfilos/eGallery/problems/Orthopole2.html[/url]

Table of Contents

  1. 直極点とは
    1. 直極点
    2. 垂線が一点に会する条件
    3. 対垂三角形
    4. 四角形の直極点
    5. 直極点→直線
  2. いろいろな直線の直極点
    1. 九点円とＯＩの直極点
    2. オイラー線の直極点
    3. 外心を通る直線の直極点は９点円
  3. 九点円と直極点
    1. 垂心を通る直線の直極点の軌跡
    2. 内心を通る直線の直極点の軌跡
    3. 内心の楕円とデルトイド
    4. 重心を通る直線の直極点の軌跡は楕円
    5. 直極点の軌跡
    6. 傍心の直極点の軌跡
  4. 円の接線の直極点
    1. 外接円の接線の直極点の軌跡
    2. Ｄのシムソン線とＤの接線の直極点
    3. 円の接線の直極点の軌跡
    4. 円Ｐの接線の直極点の軌跡
  5. シムソン線の直極点
    1. シムソン線
    2. シムソン線の包絡線
    3. ２本のシムソン線の交点
    4. シムソン線のデルトイドと垂心の直極点
    5. シムソン線のデルトイド
    6. シムソン線の直極点
    7. シムソン線のデルトイドと垂心の直極点
    8. 円に交わる二直線が作る円
    9. 直極点がGJHIの円周上にあることの証明
    10. 垂足円とシムソン線
    11. シムソン線と直極点
  6. デルトイド
    1. デルトイド
    2. デルトイドの性質
    3. 三角形のデルトイドの作図のし方
    4. 平均等辺三角形の作図のしかた
    5. 平行なシムソン線の作図
    6. デルトイドとシムソン線と三角形
    7. デルトイドのメタモルフォーゼ
    8. この円を九点円とする三角形を作図せよ
    9. 三角形のシムソン線の包絡線を求める計算
    10. シュタイナー線・清宮線

1.

直極点とは

直極点の定義 △ABCの頂点から１直線ｌに垂線を下し、その足から対辺にまた垂線を下せば、それらの３直線は一点に会する。 この点を、ｌの直極点という。（Ｎｅｕｂｅｒｇ）幾何学大辞典１より これは二つの操作から成り立っている。 (1)３頂点からある直線に垂線を引く（３点を求める） (2)ある点から３辺に垂線を引く（一点に会する） これはいろいろ拡張できそう。

  • 1. 直極点
  • 2. 垂線が一点に会する条件
  • 3. 対垂三角形
  • 4. 四角形の直極点
  • 5. 直極点→直線

1.1.

直極点

△ＡＢＣの頂点からＤＥに垂線を下し、その足から対辺にまた垂線を下せば、その３直線はまた一点に会する。この点を直線ＤＥの直極点と言う。　　　Newberg 1875[br][br]点Ｉを右クリックして残像を選んで、Ｅを回転させてみよう。
DEを辺に重ねると、直極点は垂心になる。垂心を一般化したもの。Trianglecenter(A,B,C,3)＝外心を作図し、Ｄを外心に重ねてＥを回転させると、直極点は（　）を描く。
証明
この定理は、「シュタイナーの垂線が一点で交わる条件」を使えば証明できる。
証明（幾何学大辞典より）
– Bunryu Kamimura

1.2.

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1.3.

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1.4.

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1.5.

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2.

いろいろな直線の直極点

直線が決まれば三角形の直極点が決まる。 とすれば、どんな直線だったらその直極点はどこにあるか。 例えば、三角形の心を結んでできる直線。 外心と内心を結んだ線の直極点はどこ？ オイラー線の直極点はどこ？

  • 1. 九点円とＯＩの直極点
  • 2. オイラー線の直極点
  • 3. 外心を通る直線の直極点は９点円

2.1.

九点円とＯＩの直極点

直極点と九点円の間には深いつながりがある。外心と内心を結んだ直線の直極点Kはフォイエルバッハ点と一致する。
– Bunryu Kamimura

2.2.

–

2.3.

–

3.

九点円と直極点

二点を通る直線では、直極点は一点を示すだけ。 では、一点を通る直線を回転させると直極点も動くはず。 その軌跡はどうなるのだろう？ 驚いたことに、外心を通る直線の直極点の軌跡は９点円と一致する。 では、他の点はどうなのだろうか。 いろいろな心で試すと、９点円と関係していることがわかってくる。

  • 1. 垂心を通る直線の直極点の軌跡
  • 2. 内心を通る直線の直極点の軌跡
  • 3. 内心の楕円とデルトイド
  • 4. 重心を通る直線の直極点の軌跡は楕円
  • 5. 直極点の軌跡
  • 6. 傍心の直極点の軌跡

3.1.

垂心を通る直線の直極点の軌跡

楕円を描く。Hはその中心ではないだろうか？⇒間違いない。
気がついたこと
(1)　垂心を通る直線＝シュタイナー線[br](2)　垂心は楕円の中心
– Bunryu Kamimura

3.2.

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3.3.

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3.4.

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3.5.

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3.6.

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4.

円の接線の直極点

ある点を通る直線の直極点は何かに接する楕円を描いた。 では、円の接線の直極点の軌跡はどうなるのだろうか？ 例えば、外接円の接線の直極点はどうなるのか？ そして、ある点を中心とする円を描き、 半径を変えていくとどうなるのか？

  • 1. 外接円の接線の直極点の軌跡
  • 2. Ｄのシムソン線とＤの接線の直極点
  • 3. 円の接線の直極点の軌跡
  • 4. 円Ｐの接線の直極点の軌跡

4.1.

外接円の接線の直極点の軌跡

これはこの三角形のデルトイドそのものになる。シムソン線の包絡線⇔外接円の接線の直極点
– Bunryu Kamimura

4.2.

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4.3.

–

4.4.

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5.

シムソン線の直極点

外接円周上の一点から各辺への垂線の足３点は一直線上に並ぶ。 その直線をシムソン線と言う。 シムソン線はとても面白い性質を持っている。 まずは一直線になることの証明から。 そして、シムソン線の包絡線は何を描くのか。

  • 1. シムソン線
  • 2. シムソン線の包絡線
  • 3. ２本のシムソン線の交点
  • 4. シムソン線のデルトイドと垂心の直極点
  • 5. シムソン線のデルトイド
  • 6. シムソン線の直極点
  • 7. シムソン線のデルトイドと垂心の直極点
  • 8. 円に交わる二直線が作る円
  • 9. 直極点がGJHIの円周上にあることの証明
  • 10. 垂足円とシムソン線
  • 11. シムソン線と直極点

5.1.

シムソン線

△ABCの外接円周上の任意の一点から各辺に下した垂線の足は一直線上にある。[br]この直線をシムソン線という。[br]（１７９９Wallace）
９点円との関係
シムソン線とDIを結んだ線の交点は、シムソン線の中点であって、しかもその軌跡は９点円となる。
３点が一直線上にあることの証明
– Bunryu Kamimura

5.2.

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5.3.

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5.4.

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5.5.

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5.6.

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5.7.

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5.8.

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5.9.

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5.10.

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5.11.

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6.

デルトイド

シムソン線の包絡線をデルトイドという。 自由な点の直極点の軌跡が楕円になり、その楕円はデルトイドに接している。 そうすると、デルトイドのことが知りたくなる。 アメリカのサイトを見ていたら、外接円の接線の作る直極点の軌跡が、デルトイドになることを知った。 では、外接円の半径を変えるとデルトイドはどう変化するのか。 何とデルトイドが９点円に変化する！ 不思議だ！

  • 1. デルトイド
  • 2. デルトイドの性質
  • 3. 三角形のデルトイドの作図のし方
  • 4. 平均等辺三角形の作図のしかた
  • 5. 平行なシムソン線の作図
  • 6. デルトイドとシムソン線と三角形
  • 7. デルトイドのメタモルフォーゼ
  • 8. この円を九点円とする三角形を作図せよ
  • 9. 三角形のシムソン線の包絡線を求める計算
  • 10. シュタイナー線・清宮線

6.1.

デルトイド

– Bunryu Kamimura

6.2.

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6.3.

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6.4.

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6.5.

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6.6.

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6.7.

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6.8.

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6.9.

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6.10.

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