Στη δραστηριότητα που ακολουθεί εξετάζουμε το πρόβλημα:[br]"[i]Από όλα τα ορθογώνια που είναι εγγρεγραμμένα σε ορθογώνιο τρίγωνο, ποιο έχει το μέγιστο εμβαδόν[/i]".[br][br][list][*]Στο δόμημα εμφανίζεται το ορθογώνιο τρίγωνο ΟΑΒ και ένα ορθογώνιο που είναι εγγεγραμμένο σε αυτό. [br][/*][*]Στο 2ο παράθυρο εμφανίζεται το σημείο Ρ που έχει συντεταγμένες (x[sub]M[/sub],E) όπου x[sub]M[/sub] η τετμημένη του σημείου Μ και Ε, το εμβαδόν του ορθογωνίου. [/*][/list]

[b][color=#1e84cc][size=150]Πειραματισμός (ΟΑΒ: ισοσκελές)[/size][/color][/b][br][br]Μετακινήστε το σημείο Α ή το σημείο Β ώστε το τρίγωνο ΟΑΒ να είναι [b]ισοσκελές[/b].[br]Πειραματιστείτε για διάφορες θέσεις του σημείου Μ στην υποτείνουσα ΑΒ.[br][br][list][*]Από τη μορφή της καμπύλης που διαγράφει το σημείο Ρ, μπορείτε να εικάσετε πότε το εμβαδόν Ε μεγιστοποιείται;[/*][/list][b][color=#1e84cc][size=150]Πειραματισμός (ΟΑΒ: μη ισοσκελές)[/size][/color][/b][br][br] Επαναλάβατε τον πειραματισμό για διάφορες θέσεις του σημείου Μ στην υποτείνουσα ΑΒ.[list][*]Εξετάστε αν ισχύει η ίδια εικασία που διατυπώσατε προηγουμένως.[/*][*]Διατυπώστε μία γενικευμένη εικασία σε αυτή την περίπτωση. [/*][/list][b][color=#1e84cc][size=150][br]Απόδειξη εικασίας[/size][/color][/b][list][*]Τί μορφή καμπύλης διαγράφει το σημείο Ρ;[/*][*]Μπορείτε να αιτιολογήσετε την απάντησή σας;[/*][*]Χρησιμοποιώντας τον τύπο εύρεσης της τετμημένης της κορυφής μιας παραβολής, [math]f\left(x\right)=λx^2+μx+ν,λ\ne0[/math] που είναι: [math]x_{κορ}=-\frac{μ}{2λ}[/math], να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του ορθογωνίου OKMΛ είναι [b]μέγιστο[/b] αν και μόνο αν ισχύει ότι:[br] [math]\frac{x}{β}=\frac{y}{α}[/math] [br](υποθέτουμε ότι το σημείο Μ(x,y) κινείται σε τμήμα της ευθείας με εξίσωση [math][/math][math]αx+βy=γ[/math] όπως αυτό που φαίνεται στο δόμημα). [/*][/list]και κάτι τελευταίο...[br][br][b][color=#1e84cc]Ισχυρισμός:[/color][/b] [i]Όταν το εμβαδόν του ορθογωνίου ΟΚΜΛ μεγιστοποιείται, το σημείο Μ είναι μέσον της υποτείνουσας ΑΒ.[/i][br][br]Να εξετάσετε αν ο ισχυρισμός είναι αληθής.

[b][color=#1e84cc]Αλγεβρική διατύπωση[br][/color][/b][br]Στα προηγούμενα διαπραγματευτήκαμε τη βασική ισοδυναμία: [br][br][i][color=#1c4587]Αν δύο μεταβλητές x και y πολλαπλασιαζόμενες με σταθερούς συντελεστές α και β έχουν σταθερό άθροισμα, το γινόμενό τους μεγιστοποιείται αν και μόνο αν οι ποσότητες αυτές γίνουν [b]αντιστρόφως ανάλογες [/b]προς τους συντελεστές τους.[/color][/i]