[justify] Dois segmentos AB e CD são comensuráveis se existir um número x > 0, x ∈ R, tal que: o comprimento de AB é um múltiplo de x, ou seja, |AB| = nx, n ∈ [math]\mathbb{N}[/math]; o comprimento de CD é também um múltiplo de x, isto é, |CD| = mx, m ∈ [math]\mathbb{N}[/math] (Lima, 2013). Contudo, nem sempre o comprimento de um segmento será um múltiplo de x.[br][br] O problema mais sério é que por muito tempo se pensava que dois segmentos quaisquer eram sempre comensuráveis: sejam quais fossem AB e CD, aceitava-se tacitamente que haveria sempre um segmento EF que caberia um número exato n de vezes em AB e um número exato m de vezes em CD. Esta crença talvez adviesse da Aritmética, onde dois números naturais quaisquer têm sempre um divisor comum (na pior hipótese, igual a 1). A ilusão da comensurabilidade durou até o quarto século antes de Cristo (Lima et. al., 1997, p. 53).[br][br] Assim, percebeu-se que “os números naturais mais as frações são insuficientes para medir todos os segmentos de reta” (Lima, 1997, p. 54). Nesse contexto, ficou evidente a necessidade de um outro tipo de número.[br][br] A solução que se impunha, e que foi finalmente adotada, era a de ampliar o conceito de número, introduzindo os chamados números irracionais, de tal modo que, fixando uma unidade de comprimento arbitrária, qualquer segmento de reta pudesse ter uma medida numérica. Quando o segmento considerado é comensurável com a unidade escolhida, sua medida é um número racional (inteiro ou fracionário). Os números irracionais representam medidas de segmentos que são incomensuráveis com a unidade (Lima et. al., 1997, p.54).[br][br] O advento dos números irracionais foi um marco importante na história da matemática, ocorrendo principalmente na Grécia Antiga. Durante esse período, matemáticos como os pitagóricos acreditavam que todos os números podiam ser expressos como razões de dois números inteiros, ou seja, como frações. No entanto, a descoberta de que certas diagonais, como a do quadrado unitário, não podiam ser representadas por frações, revelou a existência de números que não poderiam ser expressos dessa forma. Essa descoberta, atribuída a uma lenda envolvendo o matemático Hipaso de Metaponto, levou ao reconhecimento dos números irracionais. Essa revelação desafiou as 58 concepções tradicionais da época e expandiu significativamente a compreensão dos números, abrindo caminho para o desenvolvimento de uma matemática mais abrangente e sofisticada.[br][br][b] Definição:[/b] Número irracional é todo número que não pode ser escrito/representado como o quociente/razão de dois números inteiros.[br] [br] Os números irracionais, cujo conjunto é simbolizado por I, são representados por meio de expressões decimais infinitas e não periódicas. Esses números também podem ser representados por meio de raízes quadradas ou outras raízes que resultam em valores não racionais, como √2 ou √3. Além disso, alguns números irracionais, como π e o número de Euler e, podem ser expressos por meio de frações contínuas ou usando notação matemática específica. Essas representações ajudam a compreender e trabalhar com esses números em diferentes contextos, especialmente na Geometria e na Análise Matemática, onde aparecem frequentemente em medidas e proporções que não podem ser expressas exatamente por números racionais.[br][br] A existência de segmentos incomensuráveis aponta para a insuficiência dos números naturais e das frações para medir qualquer segmento de reta. Como definir então o comprimento da diagonal do quadrado de lado 1? A solução encontrada pelos matemáticos foi ampliar o conceito de número e introduzir os chamados números irracionais (Broetto, 2016, p. 48-49).[br][br][b] Teorema: [/b]A medida da diagonal de um quadrado é um número irracional.[/justify]