Abstand Punkt zu Gerade: [br]Wie lässt sich der Abstand von einem Punkt zu einer Gerade beschreiben? Untersuchen Sie drei mögliche Ansätze dazu in den nachfolgenden Applets. [br]Beschreiben Sie jeweils das Vorgehen zur Bestimmung des Abstands mit dem jeweiligen Ansatz – dabei helfen Ihnen die Ideenkarten.
1. Idee: Es wird ein (allgemeiner) Punkt [math] Q [/math] auf der Geraden [math] g [/math] gewählt: [math] Q= \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 7 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix} [/math].[br]Dieser wird so verschoben, dass der Betrag von [math] \overrightarrow{PQ} [/math] minimal wird. [br]Mit [math] \overrightarrow{PQ}=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 7 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} [/math] folgt [math] |\overrightarrow{PQ}|=\sqrt{(t+1)^2+(2t-1)^2+(-2t+4)^2} [/math].[br]Um das Minimum des Ausdrucks zu bestimmen, müsste dieser abgeleitet werden. Zur Vereinfachung der Berechnung kann auch [math] |\overrightarrow{PQ}|^2 [/math] abgeleitet werden (Wieso?).[br]Es folgt: [math] |\overrightarrow{PQ}|^2' =2\cdot (t+1) + 2\cdot (2t-1) \cdot 2 + 2\cdot (-2t+4) \cdot (-2) =18t-18[/math][br]Mit [math] |\overrightarrow{PQ}|^2'=0 [/math] folgt [math] t=1 [/math].[br][br]2. Idee: Es wird ein Punkt [math] Q [/math] auf der Geraden [math] g [/math] gewählt: [math] Q= \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 7 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix} [/math]. Dieser wird so verschoben, dass der Winkel zwischen [math] \overrightarrow{PQ} [/math] und [math] \vec v [/math] [math] 90° [/math] ist, also [math] \overrightarrow{PQ} \cdot \vec v =0 [/math] gilt.[br][math] \overrightarrow{PQ} \cdot \vec v = \left[ \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 7 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \right] \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} t+1 \\ 2t-1 \\ -2t+4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix} = 9t-9 [/math][br]Mit [math] \overrightarrow{PQ} \cdot \vec v =0 [/math] folgt [math] t=1 [/math].[br][br]3. Idee: Die Punkte, die auf der Kugel mit Mittelpunkt [math] P [/math] und Radius [math] r [/math] liegen, haben zum Punkt [math] P [/math] den Abstand [math] r [/math]. Es muss also ein Radius [math] r [/math] gefunden werden, sodass die Kugel die Gerade [math] g [/math] berührt (genau einen Schnittpunkt).[br]Die Gleichung für die Kugel ist: [math] |\overrightarrow{PX}|=r [/math] bzw. [math] \overrightarrow{PX}^2=r^2 [/math] (Wieso?)[br]Es folgt: [math] \overrightarrow{PX}^2 =\overrightarrow{PX} \cdot \overrightarrow{PX}= (x_1 - 1)^2+(x_2 -2)^2+(x_3 -3)^2 [/math][br]Punkt [math] X [/math] soll auf der Geraden [math] g [/math] liegen. Deshalb können wir für [math] X [/math] die rechte Seite der Geradengleichung einsetzten:[br][math] \overrightarrow{PX}^2 = (2+t - 1)^2+(1+2t -2)^2+(7-2t -3)^2=(t+1)^2+(2t-1)^2+(-2t+4)^2 [/math][br]Dieser Ausdruck soll (wie oben beschrieben) mit [math] r^2 [/math] gleichgesetzt werden. Es handelt sich also um eine (noch unübersichtliche) quadratische Gleichung. Diese kann prinzipiell keine, eine oder zwei Lösungen haben. Wir wollen genau [b]eine[/b] Lösung der Gleichung, da die Kugel die Gerade berühren soll.[br]Es folgt: [math] 9t^2 - 18 t +18 = r^2 [/math][br]bzw. [math] t^2 - 2 t +2 - \frac{r^2}{9} =0 [/math][br]Mit der pq-Formel folgt: [math] x_{1,2}=-\frac{-2}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{-2}{2}\right)^2-\left(2-\frac{r^2}{9} \right) } [/math][br]Da wir genau eine Lösung brauchen, muss der Term unter der Wurzel (auch Diskriminante genannt) 0 sein: [math] \left(\frac{-2}{2}\right)^2-\left(2-\frac{r^2}{9} \right)=0 [/math][br]Auflösen führt zu [math] r^2=9 [/math] bzw. [math] r=3 [/math] (Wieso nicht -3?)