La gran mayoría de las situaciones que hemos estudiado hasta este momento son [b]relaciones funcionales [/b]en las que hay [b]dos variables[/b], y una depende de la otra de manera única; esto es, [b]son funciones[/b].[br]Además, hemos visto que las funciones se pueden representar de varias maneras:[br][list][*]como una descripción verbal que describe una situación[/*][*]como una tabla de valores que nos indica los valores correspondientes de la relación[/*][*]como una gráfica que nos visualiza la situación[/*][*]como una expresión algebraica (fórmula) que nos relaciona las dos magnitudes[/*][/list][br]Ahora...hablemos de una de las funciones más importantes: LA FUNCIÓN LINEAL. Tipos:[br][br][b]LA FUNCIÓN DE PROPORCIONALIDAD DIRECTA[/b][br][br]Hay un tipo particular de funciones lineales, aquellas en las que la ordenada en el origen es cero, es decir, [i][color=#0000ff][b]n = 0[/b][/color][/i]. La fórmula general de estas funciones, llamadas [b]de proporcionalidad directa[/b], es [i][color=#0000ff][b]f(x) = m·x[/b][/color][/i], y como son funciones lineales, cumplen todas las características que ya estudiamos. Pero por ser un caso especial, su manejo es mucho más sencillo. Veamos por qué.[br][br]En primer lugar, siempre conoceremos un punto de la función, ya que cuando [i][b][color=#0000ff]x = 0[/color][/b][/i][color=#333333], [/color][i][b][color=#0000ff]f(x) = m·0 = 0[/color][/b][/i]. Así, todas las funciones de proporcionalidad directa pasan por el origen de coordenadas, el punto [b][color=#0000ff][i](0, 0)[/i][/color][/b]. Entonces, para dibujarlas solo necesitamos un punto más.[br][br]Por otro lado, si nos dan la gráfica y queremos calcular su pendiente, basta tomar un punto cualquiera (distinto del origen de coordenadas) por el que pase la función, y dividir su ordenada entre su abscisa: [i][color=#0000ff][b]m = y / x[/b][/color][/i].[br]
[b]LA FUNCIÓN AFÍN[/b][br][br]Una función es [b]afín[/b] cuando es de la forma [i][color=#0000ff][b]f(x) = m·x + n[/b][/color][/i][color=#333333].[/color] En ese caso, llamábamos [b]pendiente[/b] de la función al valor [i][b][color=#0000ff]m[/color][/b][/i], y [b]ordenada en el origen[/b] al valor [i][b][color=#0000ff]n[/color][/b][/i], y la gráfica correspondiente a la función es una [b]recta[/b].[br][br]Si nos dan la expresión analítica de la función, es decir, la ecuación [i][color=#0000ff][b]f(x) = m·x + n[/b][/color][/i][color=#333333], para dibujarla basta hacer una tabla de valores. Como se trata de una recta, solamente necesitaremos dos puntos, así que solo tenemos que dar dos valores a la variable [/color][i][color=#0000ff][b]x[/b][/color][/i][color=#333333].[/color][table][tr][td][b][i][color=#0000ff]x[/color][/i][/b][/td][td][b][i][color=#0000ff]y[/color][/i][/b][/td][/tr][tr][td]0[/td][td][i]f[/i](0)[/td][/tr][tr][td]1[/td][td][i]f[/i](1)[/td][/tr][/table]Siempre es recomendable tomar valores de [i][color=#0000ff][b]x[/b][/color][/i] que nos permitan hallar sus correspondientes valores de [i][color=#0000ff][b]y[/b][/color][/i] de forma sencilla, por ejemplo, 0, 1, -1... No obstante, podemos hacerlo para cualquier valor de [i][color=#0000ff][b]x[/b][/color][/i].[br][br]Otras veces, puede que en lugar de la expresión nos den la gráfica, y tengamos que encontrar la pendiente y la ordenada en el origen. Para ello, tendremos en cuenta lo siguiente:[br][list][*]La ordenada en el origen es el valor que toma la función cuando la variable independiente es nula, es decir, en [i][color=#0000ff][b]x = 0[/b][/color][/i]. Por tanto, podemos hallar su valor mirando dónde corta la recta al eje [b][i]OY[/i][/b].[/*][*]Para hallar la pendiente, debemos tomar dos puntos, cualesquiera, de la recta, y comparar cómo cambia la variable dependiente, es decir, la [b][i][color=#0000ff]y[/color][/i][/b], cuando crece la independiente, la [b][i][color=#0000ff]x[/color][/i][/b].[/*][/list][br]En el siguiente gráfico, puedes mover los deslizadores de la pendiente y de la ordenada en el origen y ver cómo cambia la función.
[b]¡Ahora practiquemos la representación algebraica y gráfica de funciones lineales![/b][br][br]Haz click debajo, donde pone «Entrada...» (esquina superior izquierda), y escribe la ecuación de una función lineal (por ejemplo, [i][color=#0000ff][b]f(x) = 4 x -2[/b][/color][/i]), y verás que aparece dibujada a la derecha. ¡Puedes dibujar todas las que quieras!
[br]¡Ahora veamos cómo poner en práctica estas funciones! Trabajaremos en grupos con metodología de aprendizaje cooperativo, en grupos de 6 alumnos:[br][br]1. Resuelve las actividades de manera individual[br]2. Pon en común las respuestas en parejas y llegad a un resultado común[br]3. Pon en común los resultados en tu grupo y llegad a un mismo resultado[br]4. Cada grupo expondrá el proceso y resolución de cada una de las actividades
¿Cuál de las siguientes funciones es una función de proporcionalidad directa, afín y constante? Justifica tu respuesta[br]y=2-5x[br]y=2x[br]y=2[br]
Si observamos el precio de la gasolina en un día concreto al llenar el depósito de un coche podemos estudiar la relación entre el número de litros de gasolina y lo que pagamos. El precio que pagamos es función de la cantidad de gasolina que echamos y puede venir dada por ejemplo con la siguiente descripción verbal: “El litro de gasolina se situó en la primera semana de agosto en 1,46 €”.[br][br]Define qué tipo de función sería, la expresión algebraica y representa su tabla de valores y su gráfica.
¿La función y=4x-1 pasa por el origen de coordenadas, es decir, pasa por el (0,0)? Justifica tu respuesta.
Dada la relación entre las magnitudes número de fotocopias y precio expresada en la siguiente tabla:[br][br][img]data:image/png;base64,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Justifica que se trata de una función.[br]b) Calcula la imagen si la variable independiente es 6.[br]c) Determina el valor de la variable independiente cuando la variable dependiente toma el valor 0,35.
En una papelería 10 lápices cuestan 2.5 €, haz una tabla de valores, dibuja su gráfica y escribe su expresión algebraica. ¿Cuál es la variable dependiente? ¿y la variable independiente?