[size=85]elliptic - differential - equation; in normalform [/size]

[size=85][right][size=50][size=50][i][b][size=50]Diese Aktivität ist auch eine Seite des [color=#980000]geogebra-books[/color] [url=https://www.geogebra.org/m/xtueknna][color=#0000ff][u]geometry of some complex functions[/u][/color][/url] [br][/size][/b][/i]Diese Seite ist Teil des [color=#980000][i][b]GeoGebra-Books[/b][/i][/color] [url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb]Moebiusebene[/url]. [color=#ff7700][b](20.10. 2019)[br][/b][/color][/size][/size][size=85][size=50][size=50][size=85][size=50][size=50][color=#ff7700][color=#000000]Kapitel: [color=#0000ff]"[url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb#chapter/409348][i][b]Spezielle komplexe Funktionen[/b][/i][/url][/color]"[/color][/color][/size][/size][/size][/size][/size][/size][/right][size=50]Für die[color=#ff0000][i][b] Näherungskurven[/b][/i][/color] ist eine rechenintensive Tabelle angelegt, welche das Applet ausbremst![/size][br][br]In [i][b]Normalform[/b][/i] sind [math]f,-f,\frac{1}{f},-\frac{1}{f}[/math] die [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] der [color=#00ffff][i][b]elliptischen Differentialgleichung[/b][/i][/color]: [list][*][math]\left(w'\right)^2=c\cdot\left(w^2-f^2\right)\cdot\left(w^2-\frac{1}{f^2}\right)[/math].[/*][/list]Im Applet oben sind der [color=#00ff00][i][b]Brennpunkt [/b][/i][/color][math]f[/math] und die [color=#00ffff][i][b]Mitte des Gitters[/b][/i][/color] [math]g_0[/math] beweglich.[br]Warum nennen wir die Nullstellen der DGL [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color]? [br]Die DGL [math]\left(w'\right)^2=1^2-w^2[/math] ist eigentlich auch eine "elliptische DGL": Sie hat die [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] [math]f_{1/2}=\pm1[/math] und [br]den doppelt zählenden [color=#00ff00][i][b]Brennpunkt[/b][/i][/color] [math]\infty[/math]. [br]Lösungskurven sind die [color=#ff7700][i][b]konfokalen Kegelschnitte[/b][/i][/color] ([i][color=#ff7700]Ellipsen[/color][/i], [color=#ff7700][i]Hyperbeln[/i][/color]) mit den [color=#00ff00][i][b]Brennpunkten[/b][/i][/color] [math]\pm1[/math]. [br]Eine Lösung ist [math]z\mapsto w=\sin\left(z\right)[/math].[br]Dies ist aber nicht der einzige Zusammenhang zwischen [color=#00ffff][i][b]elliptischen Funktionen[/b][/i][/color] und [color=#ff7700][i][b]konfokalen Kegelschnitten[/b][/i][/color]:[br]Die Geradenbüschel durch die [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] [math]\pm1[/math] sind [color=#0000ff][i][b]möbiusgeometrisch[/b][/i][/color] Kreisbüschel durch [math]+1[/math] und [math]\infty[/math], [br]bzw. durch [math]-1[/math] und [math]\infty[/math]. In den Schnittpunkten dieser Geraden sind die [color=#ff7700][i][b]Kegelschnitte[/b][/i][/color] [color=#3c78d8][i][b]Winkelhalbierende[/b][/i][/color].[br]Die 4 verschiedenen Brennpunkte im Applet oben lassen sich auf 3 Weisen als Grundpunkte zweier Kreisbüschel deuten. [br]Wählt man 2 dieser Kreisbüschelpaare, so geht durch fast jeden Punkt der Ebene je ein Kreis aus diesen beiden Kreisbüscheln.[br]Die [color=#1155Cc][i][b]Winkelhalbierenden-Kurven[/b][/i][/color] sind [color=#ff0000][i][b]Lösungskurven[/b][/i][/color] der elliptischen DGL oben für ein geeignetes [math]c[/math]. [br]Oder geometrisch anders betrachtet: die [color=#ff0000][i][b]Näherungskurven[/b][/i][/color] im Applet schneiden die [color=#1155Cc][i][b]Winkelhalbierenden-Kurven[/b][/i][/color] [br]unter konstanten Winkel.[br][br]Die [color=#ff0000][i][b]elliptischen Funktionen[/b][/i][/color], welche die Differentialgleichungen des obigen Typs lösen, sind [i][b]doppelt-periodische [br]Funktionen[/b][/i] [math]z\mapsto w\left(z\right)[/math]: sie bilden ein [i][b]Parallelogramm[/b][/i] komplex-differenzierbar auf die [color=#0000ff][i][b]Möbiusebene[/b][/i][/color] ab, [br]Ausnahme-Punkte sind die [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color], also die Nullstellen der Ableitung. [br]Für mindestens 2 [i][b]Parallelen-Richtungen[/b][/i] sind die Bildkurven [color=#ff0000][i][b]geschlossene Kurven,[/b][/i][/color] die sich um die [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] winden. [br]Ein anschauliches Bild hiervon vermitteln die Bilder auf der [math]\hookrightarrow[/math] [url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb#material/gsk7ph88]Seite Elliptische Funktionen 2[/url]. [br]Man beachte auch den Link auf die Seite [url=http://virtualmathmuseum.org/docs/z_elliptic_functions.pdf]http://virtualmathmuseum.org/docs/z_elliptic_functions.pdf[/url].[br]Leider sind [color=#ff0000][i][b]elliptische Funktionen[/b][/i][/color] in [color=#980000][i][b]ge[icon]/images/ggb/toolbar/mode_conic5.png[/icon]gebra[/b][/i][/color] nicht implementiert, wahrscheinlich ist es garnicht möglich, [br]diese Funktionen in irgendeine Software zu implementieren wie etwa [math]z\mapsto w=\sin\left(z\right)[/math] oder [math]z\mapsto w=\text{exp}\left(z\right)[/math].[br][br][color=#0000ff][i][b]Möbiusgeometrisch[/b][/i][/color] hängen diese [color=#ff0000][i][b]elliptischen Funktionen[/b][/i][/color] von einer [color=#ff00ff][i][b]einzigen komplexen Invariante[/b][/i][/color] ab: [br]der [i][b]absoluten Invarianten [math]\large\mathcal{J}[/math] [/b][/i]der [color=#00ff00][i][b]4 Brennpunkte[/b][/i][/color].[br][br]Ist [math]\large\mathcal{J}[/math] reell, so sind [color=#00ff00][i][b]konfokale[/b][/i][/color] [color=#ff7700][i][b]bizirkulare Quartiken[/b][/i][/color] [color=#ff0000][i][b]Lösungskurven[/b][/i][/color].[br]Diese sind [color=#9900ff][i][b]2-teilig[/b][/i][/color] für [math]\large\mathcal{J}>0[/math], [color=#9900ff][i][b]1-teilig[/b][/i][/color] für [math]\large\mathcal{J}<0[/math]. [br]Für [math]\large\mathcal{J}=0[/math] liegt beides vor: [color=#9900ff][i][b]2-teilige[/b][/i][/color] und im 45°-Winkel dazu [color=#9900ff][i][b]1-teilige[/b][/i][/color]! [br]Die 4 verschiedenen [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] liegen [color=#0000ff][i][b]harmonisch[/b][/i][/color].[br][br]Ein ganz besonderer Fall ist [math]\large\mathcal{J}=-1[/math]: [color=#ff00ff][i][b]Tetraeder-Fall[/b][/i][/color]. [br]Die [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] sind [color=#0000ff][i][b]möbiusgeometrisch[/b][/i][/color] die Ecken eines [color=#ff00ff][i][b]Tetraeders.[/b][/i][/color][br]Durch jeden Punkt der Ebene - von den [color=#00ff00][i][b]Brennpunkten[/b][/i][/color] abgesehen - gehen 6 [color=#ff7700][i][b]bizirkulare Quartiken[/b][/i][/color]. [br]Die Schnittwinkel sind Vielfache von 30°. Veranschaulichen läßt sich dies wahrscheinlich am ehesten [br]auf der [b]RIEMANN[/b]schen Zahlenkugel![br]Im Applet oben kann man experimentell versuchen, [color=#ff0000][i][b]geschlossene Lösungskurven[/b][/i][/color] und [br]die [color=#38761D][i][b]Winkel [/b][/i][/color]zwischen ihnen zu ermitteln![br][/size]

[table][tr][td][table][tr][td][color=#cc0000][i][b][size=85]Doppelverhältnis[/size][/b][/i][/color][/td][/tr][tr][td][color=#cc0000][i][b][size=85]cross-ratio[/size][/b][/i][/color][/td][/tr][/table][/td][br][td][math]d=dv\left(z_1,z_2,z_3,z_4\right)=\frac{\left(z_3-z_1\right)\cdot\left(z_4-z_2\right)}{\left(z_3-z_2\right)\cdot\left(z_4-z_1\right)}[/math] [size=85]für [/size] [math]z1,z_2,z_3,z_4\in\mathbb{C}[/math][/td][/tr][/table][br][table][tr][td][color=#cc0000][i][b][size=85]absolute[br]Invariante:[/size][/b][/i][/color][/td][td][math]\mathcal{J_{abs}}=\left(\frac{1}{27}\right)\cdot\left(\frac{d+1}{d-1}\right)^2\cdot\left(\frac{d-2}{d}\right)^2\cdot\left(2\cdot d-1\right)^2[/math] [size=85]mit[/size] [math]d=dv\left(z_1,z_2,z_3,z_4\right)[/math][/td][/tr][/table][br][size=85]Zu 2 [color=#38761D][i][b]Punkte-Quatrupeln[/b][/i][/color] [math]z_1,z_2,z_3,z_4[/math] und [math]w_1,w_2,w_3,w_4[/math] mit paarweise verschiedenen [math]z_1,z_2,z_3,z_4[/math] bzw. [math]w_1,w_2,w_3,w_4[/math][br]existiert genau dann eine [color=#0000ff][i][b]Möbiustransformation[/b][/i][/color], welche welche die Punkte [math]z_1,z_2,z_3,z_4[/math] [br]in geeigneter Reihenfolge auf die Punkte [math]w_1,w_2,w_3,w_4[/math] abbildet,[br]wenn die [color=#cc0000][i][b]absolute Invariante[/b][/i][/color] der beiden [color=#38761D][i][b]Quadrupe[/b][/i][/color]l übereinstimmt.[br][/size][br][br]