Imagen tomada de Internet (https://educutmxli.wordpress.com/2014/06/22/construccion-de-trianguloscongruencia-de-triangulos/)
Congruencia de triángulos: tres criterios por aprender
Este recurso te permitirá conocer los tres criterios de congruencia de triángulos. Para ello, hemos incluido textos, imágenes y applets de Geogebra que te ayudarán a comprender estas ideas. Pero no todo lo haremos nosotros ¡también tú tendrás que realizar algunas construcciones y medidas para comprender mejor estos conceptos! Este producto es resultado de los esfuerzos de varios profesores, por lo que lo esteremos revisando y modificando constantemente para que te sea lo más útil posible. ¡Disfrútalo!
Table of Contents
- Criterio Lado-Lado-Lado
- Criterio de congruencia LLL
- Criterio Lado-Ángulo-Lado
- El criterio de congruencia LAL
- Criterio Ángulo-Lado-Ángulo
- Criterio de congruencia ALA
Criterio de congruencia LLL
Algunas palabras sobre la congruencia de triángulos
¿Alguna vez has escuchado que alguien dice "esa persona es muy congruente"? Cuando se afirma algo así, lo que se está diciendo es que lo que esa persona hace empata perfectamente con lo que dice o piensa. ¿Y eso qué tiene que ver con los triángulos? Pues justamente que a veces nos interesa comprobar si dos triángulos son exactamente iguales o, como dicen los matemáticos, queremos verificar que son congruentes.[br][br]Para asegurarnos de que dos triángulos no es suficiente basarnos en lo que nos dice nuestra vista. Veamos el siguiente ejemplo:
¿Son idénticos estos triángulos?
Parece que sí ¿verdad? Veamos si es así. Uno de los criterios de congruencia dice que dos triángulos son idénticos si las medidas de sus lados respectivos son iguales. ¡Qué bobada! Pues claro, si los lados de dos triángulos son iguales por pares, pues es lógico que son igualitos. Pues no es ninguna bobada y, de hecho, ese es el primer criterio de congruencia, conocido como [b]LLL[/b] (Lado, Lado, Lado). Para ver si los triángulos que están dibujados arriba, utiliza la herramienta [icon]/images/ggb/toolbar/mode_distance.png[/icon] y mide cada uno de los segmentos.
Y después de medirlos...
¿Son los triángulos ABE y FCD congruentes? ¿Por qué?
Cómo pudimos comprobar, los triángulos no eran congruentes. Ahora mide los lados de los triángulos que aparecen a continuación con la herramienta [icon]/images/ggb/toolbar/mode_distance.png[/icon] [b]sin mover ninguno de los puntos.[/b]
Triángulos congruentes por criterio LLL
¿Son estos triángulos congruentes?
¡A moverse!
Ahora vamos a ver qué sucede si movemos los vértices de los triángulos. Selecciona con la herramienta [icon]/images/ggb/toolbar/mode_move.png[/icon] cualquiera de los vértices que aparecen en color morado y muévelo. ¿Qué esperaríamos que suceda con las medidas de los lados de los triángulos si estos son congruentes? Repite esta operación con los demás vértices.
¿Son congruentes los triángulos aún moviendo los vértices? Justifica tu respuesta.
Las rayitas que se colocan en los lados de los triángulos de abajo simbolizan que los triángulos son congruentes por el criterio LLL
¡Ahora te toca a ti!
Es momento de poner manos a la obra. Observa la figura de abajo. Ahora construye un triángulo congruente al triángulo ABC [b]teniendo en mente[/b] el criterio LLL. Para tener un punto de partida, hemos colocado uno de los lados de ese triángulo (obviamente respetando su medida). [i]Sugerencia: utiliza la herramienta Compás [icon]/images/ggb/toolbar/mode_compasses.png[/icon] para realizar esta tarea. [/i]Luego arrastra los vértices [b]morados[/b] de cualquiera de los triángulos y usa la herramienta [i]Distancia [icon]/images/ggb/toolbar/mode_distance.png[/icon][/i] para validar tu construcción.
Algunas palabras sobre la congruencia de triángulos
¿Alguna vez has escuchado que alguien dice "esa persona es muy congruente"? Cuando se afirma algo así, lo que se está diciendo es que lo que esa persona hace empata perfectamente con lo que dice o piensa. ¿Y eso qué tiene que ver con los triángulos? Pues justamente que a veces nos interesa comprobar si dos triángulos son exactamente iguales o, como dicen los matemáticos, queremos verificar que son congruentes.[br][br]Para asegurarnos de que dos triángulos no es suficiente basarnos en lo que nos dice nuestra vista. Veamos el siguiente ejemplo:
Algunas palabras sobre la congruencia de triángulos
¿Alguna vez has escuchado que alguien dice "esa persona es muy congruente"? Cuando se afirma algo así, lo que se está diciendo es que lo que esa persona hace empata perfectamente con lo que dice o piensa. ¿Y eso qué tiene que ver con los triángulos? Pues justamente que a veces nos interesa comprobar si dos triángulos son exactamente iguales o, como dicen los matemáticos, queremos verificar que son congruentes.[br][br]Para asegurarnos de que dos triángulos no es suficiente basarnos en lo que nos dice nuestra vista. Veamos el siguiente ejemplo:
¿Alguna vez has escuchado que alguien dice "esa persona es muy congruente"? Cuando se afirma algo así, lo que se está diciendo es que lo que esa persona hace empata perfectamente con lo que dice o piensa. ¿Y eso qué tiene que ver con los triángulos? Pues justamente que a veces nos interesa comprobar si dos triángulos son exactamente iguales o, como dicen los matemáticos, queremos verificar que son congruentes.[br][br]Para asegurarnos de que dos triángulos no es suficiente basarnos en lo que nos dice nuestra vista. Veamos el siguiente ejemplo:
El criterio de congruencia LAL
Los ángulos también ayudan
¿Ya ha quedado claro el criterio LLL? Si es así, entonces es momento de pasar a otra cosa; si no, te sugerimos revisar de nuevo la hoja anterior y acercarte a tu profesor para que te ayuda a aclarar las dudas.[br][br]Hasta el momento sólo nos hemos fijado en la medida de los lados de dos triángulos para determinar si son congruentes o no. ¿Y qué hay de los ángulos internos de un triángulo? Pues resulta que son otro elemento que puede ayudarnos a saber si existe congruencia o no. Revisa el siguiente video [b]desde el inicio hasta el minuto 1:39 [/b]para comenzar a familiarizarte con el tema:
Recuerda: desde el inicio hasta el minuto 1:39
¿Qué tal, ya es más o menos claro cómo utilizar este criterio? Si no vamos a hacer un pequeño ejercicio. Considera los triángulos ABC y FDE dibujados abajo. Como puedes ver, estos triángulos tienen dos ángulos idénticos (ojo: de los otros dos ángulos no podemos decir nada en este momento). Ahora utiliza la herramienta [i]Distancia[/i] [icon]/images/ggb/toolbar/mode_distance.png[/icon] para medir los lados que forman cada uno de esos ángulos. Nota: [b]no arrastres ningún punto en este momento.[/b]
¿Qué pasa con esta magnitudes?
¿Los lados AC y FE miden lo mismo?
¿Los lados BC y DE miden lo mismo?
De manera que tenemos dos triángulos que, como señala el video, tienen dos lados iguales y también el ángulo que forman dichos lados es igual...¡esas son las condiciones del criterio de congruencia LAL! Esto nos lleva a pensar...¿qué debe ocurrir con el tercer lado? ¡Comprueba tu hipótesis usando nuevamente la herramienta [i]Distancia[/i] [icon]/images/ggb/toolbar/mode_distance.png[/icon]! Mide los lados AB y DF en ambos triángulos y compara las magnitudes.
A partir de comparar esas magnitudes responde...
¿Son esos triángulos congruentes?
La siguiente imagen ilustra de manera general el criterio LAL
Imagen tomada de Internet (http://www.pps.k12.or.us/district/depts/edmedia/videoteca/curso3/htmlb/SEC_37.HTM)
¡Ahora te toca a ti!
Es momento de que pongas manos a la obra para practicar un poco. Debes construir un triángulo congruente al que ya está dibujado [b]teniendo en mente el criterio LAL.[/b] Para tener un punto de partida te hemos dado un par de rectas que forman un ángulo idéntico a uno de los triángulos. [i]Sugerencia: utiliza las herramientas [/i]Compás[i] [icon]/images/ggb/toolbar/mode_compasses.png[/icon] y [/i]Segmento [icon]/images/ggb/toolbar/mode_segment.png[/icon] para tu construcción. Después utiliza la herramienta [i]Distancia [icon]/images/ggb/toolbar/mode_distance.png[/icon] [/i]para medir los lados de cada triángulo y luego[b]arrastra cualquier punto para verificar que los triángulos siguen siendo congruentes.[/b]
¡Hagamos geometría!
Criterio de congruencia ALA
Criterios de congruencia[br]Criterios para establecer que dos triángulos sean congruentes con un mínimo de condiciones, a veces llamado de forma genérica postulados o teoremas de congruencia ya que aunque triviales se tienen que demostrar.En principio se busca construir triángulos congruentes con el mínimo de información sobre este.[br][br][b]Caso ALA[/b]: Dos triángulos son congruentes si tienen iguales dos de sus ángulos respectivos y el lado entre ellos. En un triángulo si conocemos dos de sus ángulos el tercer ángulo queda unívocamente determinado.
Ejercicio 1 [br]Construye un triángulo congruente al triángulo mostrado en la siguiente figura que tenga uno de sus ángulos igual al angulo [math]\alpha[/math].
Ejercicio 2[br]Decir cuales son los triángulos congruentes mediante el arrastre y establecer el criterio de congruencia respectivo.
Mediante la herramienta [icon]/images/ggb/toolbar/mode_distance.png[/icon] muestra las longitudes de los lados de los triángulos y mediante la herramienta [icon]/images/ggb/toolbar/mode_anglefixed.png[/icon] mide los ángulos de los ángulos y comprueba que par de triángulos son semejantes.
esta imagen fue tomada de: http://m.educarchile.cl/portal/mobile/ficha-tematica.xhtml?id=137527
De acuerdo con la figura anterior, determina la expresión que expresa el área de la parte sombreada del cuadrado