[br]Wyznaczymy ekstrema lokalne funkcji uwikłanej równaniem:[br][center][math]x^3+y^3-3xy=0[/math].[/center][br][u]Rozwiązanie:[/u]

Otrzymaliśmy dwa punkty, w których mogą wystąpić ekstrema lokalne. [br][br]Dla punktu [math]P_1=(0,0)[/math] mamy: [math]F(P_1)=0[/math] i [math]F_y(P_1)=0[/math], zatem wykorzystywane przez nas twierdzenie nie rozstrzyga o istnieniu funkcji uwikłanej w otoczeniu punktu [math]x=0[/math].[br][br]Dla punktu [math]P_2=(\sqrt[3]{2},\sqrt[3]{4})[/math] mamy: [math]F(P_2)=0[/math] i [math]F_y(P_2)\ne0[/math], zatem w otoczeniu punktu [math]x=\sqrt[3]{2}[/math] istnieje dokładnie jedna funkcja uwikłana [math]y=f(x)[/math], której wykres przechodzi przez punkt [math]P_2[/math]. Ponadto [math]F_x(P_2)=0[/math] i [math]I(P_2)=-2<0[/math], co oznacza, że funkcja uwikłana [math]f[/math] ma w [math]x=\sqrt[3]{2}[/math] maksimum lokalne równe [math]\sqrt[3]{4}[/math].