[right][color=#980000][size=50]Diese Aktivität ist eine Seite des geogebra-books [url=https://www.geogebra.org/m/ajzpzrbj]Möbius-Werkzeuge circle-tools[/url] (Dezember 2018)[/size][/color][/right][br][size=85][b]Bizirkulare Quartiken[/b] sind Kurven 4. Ordnung des Typs:[/size][br][list][*][math]q\left(z\right)=\alpha_1\left(z\bar{z}\right)^2+\left(\alpha_2\cdot x+\alpha_3\cdot y\right)\cdot z\bar{z}+\alpha_4\cdot x^2+\alpha_5\cdot xy+\alpha_6\cdot y^2+\alpha_7\cdot x+\alpha_8\cdot y+\alpha_9=0[/math] [size=85] [br] mit[/size] [math]z=x+i\cdot y\in\mathbb{C}[/math] [size=85]und[/size] [math]\alpha_i\in\mathbb{R},i=1,...,9[/math][/*][/list][size=85]Zu diesen Kurven gehören viele teilweise schon aus dem Altertum bekannte spezielle Kurven: [br]die [b]CASSINI[/b]-Lemniskaten, die [b]CARTESISCHEN Ovalen, die spirischen Linien des PERSEUS[/b] ...; [br]auch die [b]Kegelschnitte[/b] gehören dazu: unter einer Möbiustranformation, speziell unter einer Kreisspiegelung [br]erhält man aus einem Kegelschnitt eine Kurve des obigen Typs.[/size][br][size=85]Den Namen "[i][b]bizikular[/b][/i]" kann man erhellen mit dem Hinweis, dass auch das [color=#0000ff][i][b]Produkt zweier Kreisgleichungen[/b][/i][/color] eine, [br]wenn auch [i][b]zerfallende bizirkulare Quartik[/b][/i] darstellt. [/size] [br][size=85]Bizirkulare Quartiken erhält man als Lösungskurven spezieller elliptischer Differentialgleichungen:[/size][br][list][*][math]\left(f\,'\left(z\right)\right)^2=c\cdot\left(f\left(z\right)-e_1\right)\cdot\left(f\left(z\right)-e_2\right)\cdot\left(f\left(z\right)-e_3\right)\cdot\left(f\left(z\right)-e_4\right)[/math][br][/*][/list][size=85]Ist die [url=https://www.geogebra.org/m/ajzpzrbj#material/sbmneaks][i][b]absolute Invariante[/b][/i][/url] der [i][b]Brennpunkte[/b][/i] - das sind die Nullstellen [math]e_i[/math] dieser Differentialgleichung - [b]reell[/b], [br]so bilden Lösungskurven ein orthogonales Netz von [i][b]konfokalen[/b][/i] bizirkularen Quartiken.[/size][br][size=85]Sind die Brennpunkte verschieden, so erhält man 2-teilige Quartiken, wenn die Brennpunkte auf einem Kreis liegen, [br]und 1-teilige, wenn sie spiegelbildlich auf 2 orthogonalen Kreisen liegen.[/size][br][size=85]Fallen 2 der Brennpunkte zusammen, so besteht das Netz aus dem möbiusgeometrischen Bild [br]von [i][b]konfokalen Kegelschnitten[/b][/i] mit 2 endlichen Brennpunkten.[br]Fallen 3 Brennpunkte in einem zusammen, so besteht das Netz aus dem Bild von [i][b]konfokalen Parabeln[/b][/i].[/size][br][size=85]Der Fall: 2 doppelt-zählende bzw. ein 4-fach zählender Brennpunkt führt zu den Kreisen eines Kreisbüschels [br]und den dazu orthogonalen Kreisen. Das Produkt zweier Kreise gehört dazu.[/size][br][br][size=85]Bizirkulare Quartiken ergeben sich auch in einem anderen Zusammenhang: [br]die Schnitte der RIEMANNschen Zahlenkugel mit einer beliebigen 2. ten Quadrik sind, [br]nach stereographischer Projektion, bizirkulare Quartiken; siehe dazu auch das[/size][size=85] [b][color=#980000]geogebra-book[/color] [url=https://www.geogebra.org/m/s2797fyc]Kugel-Kegel-Schnitte[/url][/b].[/size][br][br][size=85]Aus dieser Beschreibung erklären sich auch die mögliche [i][b]Formen[/b][/i] der Quartiken: [/size][list][*][size=85]ein [i][b]Kegel[/b][/i] oder ein [i][b]Zylinder[/b][/i] kann die Kugel in 2 getrennt liegenden geschlossenen Kurven - sogar in 2 Kreisen [/size][/*][*][size=85][i]oder[/i] in einer einteiligen Kurve (wenn ein Teil des Kegels an der Kugel vorbeigeht)[/size][/*][*][size=85][i]oder[/i] in einem Punkt (Kegelspitze) und einer geschlossenen Kurve ([i][b]Ellipse[/b][/i]) schneiden.[/size][/*][*][size=85]Auch wie eine [i][b]Hyperbel [/b][/i]oder eine[i][b] Parabel [/b][/i]entsteht, kann man sich illustrieren.[/size][br][/*][/list][br][color=#ff0000][i][b]Was will obiges Applet darstellen?[/b][/i][/color][br][br][size=85]Sieht man von den in 2 Kreise zerfallenden Quartiken ab, so besitzen alle genannten Quartik-Typen [br]Eigenschaften, die sie mit den Kegelschnitten gemein haben, und die ihre "Konstruktion" erlauben.[/size] [br][br]J[size=85]ede bizirkulare Quartik besitzt mindestens einen [color=#f1c232][i][b]Symmetriekreis[/b][/i][/color]. [br]Die [i][b]2-teiligen[/b][/i] sind symmetrisch zu 4 paarweise orthogonalen Kreisen, von denen einer imaginär ist. [br]Auf einem der Symmetriekreisen liegen die 4 verschiedenen [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color].[br]Die [i][b]1-teiligen[/b][/i] besitzen 2 orthogonale [color=#f1c232][i][b]Symmetriekreise[/b][/i][/color], auf denen je 2 [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] spiegelbildlich liegen.[br]Für die [i][b]Kegelschnitte[/b][/i] wird einer der [color=#f1c232][i][b]Symmetriekreise[/b][/i][/color] zum Punktkreis, in dem mindesten [i][b][color=#00ff00]2 Brennpunkte[/color][/b][/i] [br]zusammenfallen, für [i][b]Parabeln[/b][/i] fallen 3 [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] zusammen, und es bleibt nur ein [color=#f1c232][i][b]Symmetriekreis[/b][/i][/color].[/size][br][br][size=85]Zu jedem [color=#f1c232][i][b]Symmetriekreis[/b][/i][/color] gehört eine Schar von die Quartik [i][b]doppelt-berührenden Kreisen[/b][/i]. welche orthogonal [br]zum Symmetriekreis sind. Die Quartik wird von diesen Kreisen eingehüllt.[br]Zu einem Symmetriekreis gehören 2 [color=#00ff00][i][b]Brennpunktpaare[/b][/i][/color]. Durch fast jeden Punkt der Ebene geht je ein [color=#ff0000][i][b]Brennkreis [/b][/i][/color][br]durch die zusammengehörenden Brennpunkte. Die Quartiken sind Winkelhalbierende dieser zwei [color=#ff0000][i][b]Brennkreise[/b][/i][/color].[br]Für die Kegelschnitte ist der [i][color=#f1c232][b]Punktkreis[/b][/color][/i] zugleich ein Punkt der Kurve, die Tangenten sind also möbiusgeometrisch Kreise, [br]die die Kurve außer im Berührpunkt auch in [math]\infty[/math] berühren![br][br]Wählt man einen der Brennpunkte aus, so findet man eine allen bizirkularen Quartiken gemeinsame Eigenschaft, [br]die zur "Konstruktion" als [color=#ff7700][i][b]Ortskurve[/b][/i][/color] verwendet werden kann: [/size][size=85][br][br][list][*]Spiegelt man den ausgewählten [b][i][color=#00ff00]Brennpunkt[/color][/i][/b] an den doppelt-berührenden Kreisen einer Symmetrie, [br]so liegen die Spiegelbilder auf einem Kreis, dem zugehörigen[color=#0000ff][i][b] Leitkreis[/b][/i][/color]. [/*][br][*]Aus den [color=#00ffff][i][b]Punkten[/b][/i][/color] eines [color=#0000ff][i][b]Leitkreises[/b][/i][/color] lassen sich die zugehörigen [i][b]doppelt-berührenden Kreise[/b][/i] [br]und die (Berühr-) [color=#ff7700][i][b]Punkte der Quartik[/b][/i][/color] konstruieren.[/*][/list][/size][size=85][br]Oben ist eine beweglicher [color=#0000ff][i][b]Leitkreis[/b][/i][/color], der zugehörige [color=#00ff00][i][b]Brennpunkt F[/b][/i][/color] und der zugehörige [color=#f1c232][i][b]Symmetriekreis[/b][/i][/color] [br]beweglich vorgegeben. Je nach der Lage dieser Drei wird die zugehörige [color=#ff7700][i][b]bizirkulare Quartik[/b][/i][/color] als Ortskurve erzeugt.[br]Schneidet der [color=#0000ff][i][b]Leitkreis[/b][/i][/color] den [color=#f1c232][i][b]Symmetriekreis[/b][/i][/color], so erhält man einteilige Quartiken.[br]In der Grenze kann der Symmetriekreis als [color=#f1c232][i][b]Punktkreis[/b][/i][/color] dienen, auf diesem Wege erhält man auch [br]die möbiusgeometrischen Bilder der Kegelschnitte.[/size] [br][size=85]Dies ist auch der Fall, wenn [color=#0000ff][i][b]Leitkreis[/b][/i][/color] und [color=#f1c232][i][b]Symmetriekreis[/b][/i][/color] sich berühren, [br]dies kann man bisher nur näherungsweise erkunden.[br][br]Die Fallunterscheidungen, die nötig sind, um alle Möglichkeiten zu erfassen, beruhen eigentlich [br]auf den 3 verschiedenen Lösungsmöglichkeiten, die es für [i][b]Quadratische Gleichungen[/b][/i] gibt: [br]2 reelle, 1 reelle zusammenfallende oder 2 konjungiert-komplexe Lösungen! [br][br][/size][size=85]Logisch sind oben viele Alternativen zu berücksichtigen, dies kann die Ausführung verlangsamen.[br]Wahrscheinlich sind nicht alle Fälle erfasst.[br]Für Quartiken, welche in 2 Kreise zerfallen, betrachte man die [url=https://www.geogebra.org/m/ajzpzrbj#material/cuxzds6v]übernächste Seite[/url] des Buches.[/size][br][br]