[b][color=#ff7700]Polynomfunktionen[/color][/b] werden auch als [b][color=#ff7700]ganzrationale Funktionen[/color][/b] beschrieben. Im Allgemeinen haben sie die Form [math]f\left(x\right)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+a_{n-3}x^{n-3}+\ldots+a_1x^1+a_0x^0=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1x+a_0[/math][br]Dabei ist [math]n\in\mathbb{N}[/math] eine natürliche Zahl und [math]a_n[/math] bis [math]a_0[/math] (das sind die sogenannten [b][color=#ff7700]Koeffizienten[/color][/b] der Funktion) reelle Zahlen. Außerdem darf [math]a_n[/math] nicht 0 sein. Die Zahl [math]n[/math] heißt [b][color=#ff7700]Grad der Funktion[/color][/b] und der erste Koeffizient, [math]a_n[/math], wird als [b][color=#ff7700]Leitkoeffizient[/color][/b] bezeichnet.[br][br]Betrachten wir zwei [b]Beispiele[/b], um die neuen Begriffe zu verdeutlichen:[br][list][*]Die Funktion mit der Funktionsgleichung [math]f\left(x\right)=-2x^3+x^2-5x+7[/math] ist eine Polynomfunktion von [b]Grad[/b] [b]3[/b] mit dem Leitkoeffizienten [math]a_3=-2[/math]. Die anderen Koeffizienten sind [math]a_2=1[/math], [math]a_1=-5[/math] und [math]a_0=7[/math].[/*][*]Die Funktion mit der Funktionsgleichung [math]f\left(x\right)=x^5+4x^3-\sqrt{2}x^2+\pi[/math] ist eine Polynomfunktion [b]5. Grades[/b] mit dem Leitkoeffizienten [math]a_5=1[/math]. Außerdem sind [math]a_4=0[/math], [math]a_3=4[/math], [math]a_2=-\sqrt{2}[/math], [math]a_1=0[/math] und [math]a_0=\pi[/math].[/*][/list]
Welchen Grad hat die Funktion mit der Funktionsgleichung [math]f\left(x\right)=x^2+2[/math]? Gib deine Antwort als Zahl ein!
Was ist der Leitkoeffizient der Funktion aus der vorherigen Frage?
Ist der Grad einer Polynomfunktion [math]n=2[/math], so haben wir es mit einer [b][color=#ff7700]quadratischen Funktion[/color][/b] zu tun. Diese haben allgemein die Form [math]f\left(x\right)=a_2x^2+a_1x+a_0[/math].[br][br][u][b]Beispiel:[/b][/u] Die quadratische Funktion [math]f\left(x\right)=7x^2-2x+1[/math] hat die Koeffizienten 7, -2 und 1.[br][br]Nun kannst du selbst testen, wie die drei Parameter [math]a_2[/math], [math]a_1[/math] und [math]a_0[/math] eine quadratische Funktion verändern. Probiere alle Schieberegler aus!
Welcher der drei Parameter verschiebt den Funktionsgraphen ausschließlich entlang der y-Achse?
Ist der Grad unserer Polynomfunktion [math]n=1[/math], so spricht man von einer [b][color=#ff7700]linearen Funktion[/color][/b]. [br]Eine [b][color=#ff7700]lineare Funktion[/color][/b] hat die Form [math]f\left(x\right)=a_1x+a_0[/math]. Dabei ist [math]a_1[/math] die [b][color=#ff7700]Steigung[/color][/b] und [math]a_0[/math] der [b][color=#ff7700]y-Achsenabschnitt[/color][/b].
Welche Steigung hat die Funktion [math]f\left(x\right)=-x+0.5[/math]?
Nun kannst du wieder die Parameter der Funktion testen. Wie verändert sich der Graph, wenn die Steigung negativ wird? Wie verändert sich der Graph, wenn man [math]a_0[/math] vergrößert?
Was ist der Funktionswert der Funktion [math]f\left(x\right)=3x-2[/math] an der Stelle [math]x=2[/math]? Du kannst den Wert entweder ausrechnen oder an der Graphik ablesen.