kaartprojecties
Een bol afbeelden op een vlak? Meetkundig kan je het enkel benaderen, en zo werd op heel uiteenlopende manieren geprobeerd om een wereldkaart te ontwerpen. In dit boek leer je meer over de drie klassieke categorieën in de cartografie. Verken de uiteenlopende kaartprojecties en ontdek hun kwaliteiten en gebreken in interactieve applets. De 3D applets in dit boek zijn gebaseerd op het werk van Rafael Losada Liste https://www.geogebra.org/m/uT3czZnE die het fantastische idee en het nodige geduld had om op een bol de continenten te tekenen met een veelhoekslijn. Op https://www.geogebra.org/m/yjxp7xm3 vind je een apart boek over de mercatorprojectie. Picture a sphere on a flat surface? It's impossible to do, you just can approach it and so one tried in many different ways to construct a world map. IN this book you can learn more on the three classical approaches in cartography. Explore the different projection methods and discover their qualities and weaknesses in interactive applets. The 3D applets of this book are based on the work of Rafael Losada Liste https://www.geogebra.org/m/uT3czZnE who had the fantastic idea and the patience needed to depict the continents on a sphere using a polyline. On https://www.geogebra.org/m/yjxp7xm3 you can find a supplementary book on the mercator projection
Table of Contents
- coördinatensysteem
- coördinatensysteem
- plaatsbepaling
- projectiemethodes
- azimutprojectie
- 3 types azimut projecties
- goniometrische uitdrukking
- projectievlak op noordpool
- projectievlak tegen evenaar
- orthografische projectie
- orthografisch: kortste route op kaart en aardbol
- gnomonisch: meridianen en parallelcirkels
- gnomonische projectie
- gnomonische wereldkaart
- kortste route
- stereografisch: meridianen en parallelcirkels
- stereografische projectie
- stereografische wereldkaart
- kortste route
- vergelijking
- cilinderprojectie
- projectiemogelijkheden
- goniometrische uitdrukking
- orthografische projectie
- orthografische wereldkaart
- gnomonische projectie
- stereografische projectie
- cilinderprojectie Braun
- cilinderprojectie Gall
- equidistante projectie
- mercatorprojectie
- vergelijking van de cilinderprojecties
- kegelprojectie
- ontvouwing van een kegel
- kegelprojecties
- tophoek kegelprojectie
- 0° en 45° kegel
- 20° en 50° kegel
- Lambert 20°-50° kegel
- Lambert - vervormingen
- equidistante kegelprojectie
- kortste route
- Albers kegelprojectie
- werkbladen
- werkbladen
- getrouwe projecties
- equidistante cilinderprojectie
- equidistante azimut projectie
- equidistante kegelprojectie
- equivalente cilinderprojectie
- equivalente azimut- en kegelprojecties
- hoekgetrouwe kaartprojecties
coördinatensysteem
In 3D kan je de positie van een punt P bepalen in een driedimensionaal coördinatenstelsel. Dat kan met cartesische coördinaten (x, y, z) waarin de coördinaatsgetallen x, y en z af te lezen zijn op de drie assen.[br][br]Je kunt de positie ook bepalen met bolcoördinaten (r, θ, φ). [br]- Het eerste coördinaatsgetal r bepaalt de afstand van een punt P tot de oorsprong.[br][br]De volgende coördinaten θ en φ zijn hoeken, maar let op: verschillende disciplines gebruiken verschillende conventies op deze hoeken te bepalen. GeoGebra gebruikt volgende conventies:[br]- Het tweede coördinaatsgetal θ bepaalt de hoek in het Oxy-vlak.[br]- Het derde coördinaatsgetal φ bepaalt de hoek tussen het lijnstuk OP en het Oxy-vlak.[br][br]In de natuurkunde wordt de volgorde tussen de twee hoeken omgewisseld. Ook wordt bij het bepalen van bolcoördinaten soms niet de hoek met het Oxy-vlak gemeten, maar de hoek met de verticale z-as.[br]In volgend applet zie je hoe een punt P eenduidig bepaald wordt in beide coördinatensystemen.[br]Het verband tussen beide systemen wordt gegeven door:[br][br][b]x = r cos φ . cos θ[br]y = r cos φ . sin θ[br]z = r sin φ[/b]
coördinaten van punten in het 3D-tekenvenster
Net zoals in het 2D-tekenvenster kan je in het 3D-tekenvenster de afzonderlijke coördinaatgetallen van een punt P definiëren als een afzonderlijk getal.[br][list][*]de cartesische coördinaten van een punt P worden bepaald als [b](x(P), y(P), z(P))[/b].[br]met [b]x(P), y(P)[/b] en [b]z(P)[/b] creëer je aparte getallen voor de coördinaten van het punt P.[/*][*]sferische coördinaten: P wordt bepaald als [b](abs(P); arg(P); alt(P))[/b].[br][b]abs(P)[/b] bepaalt de afstand van de oorsprong tot het punt P[br][b]arg(P)[/b] bepaalt in het xOy vlak de hoek tussen de x-as, de oorsprong en het punt (x(P), y(P), 0).[br][b]alt(P)[/b] bepaalt de verticale hoek tussen het punt (x(P), y(P), 0), de oorsprong en het punt P.[/*][/list]
In 3D the position of a point P is defined in a three-dimensional coordinate system. You can define its position using Cartesian coordinates (x, y, z), in which x, y and z can be read on the three axes.[br][br]A second system to define the position uses spherical coordinates (r, θ, φ). [br]- The first coordinate r defines the distance between a point P and the origin.[br][br]The coordinates θ and φ are angles, but note that different disciplines use different conventions to do so. The conventions used by GeoGebra are:[br]- The second coordinate θ defines the angle in the xOy plane.[br]- The third coordinate φ defines the angle between the segment OP and the xOy plane.[br][br]In physics the order between the two angles is reversed. Moreover the angle φ can as well be defined with regard to the vertical axis instead of the xOy plane.[br]In the applet above you can see how the position of a point P is defined in both systems.[br]Both systems are linked with following formulas:[br][br][b]x = r cos φ . cos θ[br]y = r cos φ . sin θ[br]z = r sin φ [/b][br][br][br]
coordinates of points in the 3D-graphics
As in the 2D-Graphic one can define the values of the coordinates of a point in the 3D-Graphis as separate number objects.[br][list][*]cartesian coordinates of a point P are defined as [b](x(P), y(P), z(P))[/b].[br]with [b]x(P), y(P) [/b]and[b] z(P)[/b] you create number objects for the coordinates of point P.[/*][*]spherical coordinaten: P is defined with [b](abs(P); arg(P); alt(P))[/b].[br][b]abs(P)[/b] defines the distance between the origin and the point P[br][b]arg(P)[/b] defines in the xOy-plane the angle between the x-axis, the origin and the point (x(P), y(P), 0).[br][b]alt(P)[/b] defines the vertical angle between the point (x(P), y(P), 0), the origin and the point P.[/*][/list]
3 types azimut projecties
3 types azimut projectie
Bij de projectie op een vlak kan je een evenwijdige of een centrale projectiemethode gebruiken. [br]De drie klassieke azimutprojecties zijn:[br][list][*][b]Orthografische[/b] azimut projectie: evenwijdige projectie loodrecht op een plat vlak, rakend aan de aardbol[/*][*][b]Gnomonische[/b] azimut projectie: centrale projectie op een plat vlak, rakend aan de aardbol, met het middelpunt van de aarde als projectiecentrum[/*][*][b]Stereografische[/b] azimutprojectie: centrale projectie op een plat vlak, rakend aan de aardbol. Het projectiecentrum is het punt tegenover het raakpunt met de aardbol.[/*][/list]Versleep het groene punt op de cirkelomtrek en verken de projecties.
3 types azimuthal projection
While projecting a globe on a flat surface one can use parallel or a central projection.[br]The three classical azimuthal projections are:[br][list][*][b]Orthographic[/b] azimuthal projection: parallel projection on a flat surface tangent to the globe[/*][*][b]Gnomonic[/b] azimuthal projection: central projection on a flat surface tangent to the globe. The centre of the projection is the centre of the globe.[/*][*][b]Stereografic[/b] azimuthal projection: central projection on a flat surface tangent to the globe. The centre of the projection is the point opposit to the tangent point.[/*][/list]Drag the green point on the circumference and explore the projections.
projectiemogelijkheden
Net zoals bij de azimutprojectie kunnen we orthografisch, gnomonisch of stereografisch projecteren op de cilinderwand. [br]Versleep het groene punt en vergelijk de projecties.
As for the azimuthal projection we have an orthographic, gomonic and stereographic projection on the cilinder.[br]Drag the green point and compare the three projection types.
ontvouwing van een kegel
Bij een kegelprojectie wordt een punt op de aardbol afgebeeld op een kegel, die daarna opengeplooid wordt. In volgend applet zie je dat de afwikkeling van de kegelwand een cirkelsector is.[br][list][*]Versleep de schuifknop om de ontvouwing van de kegel te tonen.[/*][*]Versleep het rode punt om de hoogte van de kegel te wijzigen.[/*][/list]Merk op: Je ziet dat de vorm van de cilindermantel niet constant is. Hij hangt af van de afmetingen van de kegel.
In a conical projection points on the globe are depicted on a cone, to be unwinded to get a flat map.[br]In the applet below you can see that the net of a cone produces a circle sector.[br][list][*]Drag the slider to see the unfolding of the cone.[/*][*]Drag the red point to change to apex of the cone.[/*][/list]Note: you see that the shape of the unwinded cone is not constant but depends on the dimensions of the cone.
werkbladen
model
Dit is een model om de eigenschappen van een azimut projectie te onderzoeken. [br]Je kunt uiteraard je eigen versie maken.[br][br]This is a model to investigate the properties of an azimuthal projection. [br]Of course you can create your own version of it.
onderzoek de eigenschappen van een azimut projectie
examine the properties of an azimuthal projection (English version)
goniometrische uitdrukkingen
Met welke goniometrische uitdrukking bereken je de ligging van een gegeven breedtegraad in de verschillende projectiemethdes? Test je goniometrische kennis in volgend werkblad.[br][br]What's the goniometric expression that calculates the position of a given latitude in the different projection methods? Test your goniometric knowledge in following worksheet.
geef de goniometrische uitdrukking
give the goniometric expression (English version)
equidistante cilinderprojectie
Bij de equidistante of afstandsgetrouwe cilinderprojectie worden de [b]breedtegraden afstandsgetrouw[/b] verticaal uitgezet. Het resultaat is een rechthoekige kaart met een orthonormaal assenstelsel.[br]Een dergelijke kaart is eenvoudig te construeren en werd reeds bedacht ca 100 n.C. door Marinus van Tyrus. [br]Ze ziet er uit als een cilinderprojectie maar is het strikt genomen niet. We spreken daarom van een oneigenlijke cilinderprojectie. Versleep je in onderstaand applet het rode punt, dan zie je dat de kaart geen eenduidig projectiecentrum heeft. Onderaan zie je een wereldkaart volgens deze projectie.
In the equidistant cylindrical projection latitudes are drawn vertically distant-true.[br]The result is a rectangular map with a orthonormal coordinate system.[br]Such a map is easy to draw and was invented as early as 100 a.C. by Marinus of Tyrus.[br]It looks like a cylindrical projection but strictly spoken it isn’t. Therefore it's called an improper cylindrical projection. If you drag the red point in the applet below you can see there isn’t one single defined projection centre.[br]At the bottom you can see a world map according to this projection.[br]
equidistante cilindrische wereldkaart
