[br][br][br][b][color=#0000ff]2. Streckung in x-Richtung[/color][/b][br][br]Anders als bei den bisherigen Betrachtungen, die wir gemacht haben, können wir bei der Streckung in[br][math]x[/math]-Richtung nur auf wenig Vorwissen zurückgreifen, weswegen dieser Abschnitt die meisten Verständnisschwierigkeiten in sich birgt. Du solltest dir für die Bearbeitung also genügend Zeit nehmen und alle Schritte so gut wie möglich nachvollziehen und durchdenken. [br][br][br][b](I) Potenzfunktionen[br][br][/b]Bevor wir mit den Potenzfunktionen beginnen, sollten wir - wie so oft schon - einen Blick zurück werfen, nämlich auf die Sinusfunktion. Bei der Analyse von Sinuskurven hatten wir bereits mit der Streckung in [math]x[/math]-Richtung zu tun. [br][br][br][b]Aufgabe: [/b][br]Überlege dir, von welchem Parameter die Streckung der Sinuskurve in [math]x[/math]-Richtung abhing, und erkläre, wie man den Parameter wählen musste, damit die Sinuskurve in [math]x[/math]-Richtung gestreckt bzw. gestaucht wird (Lösung unten). [br][br]Du kannst das GeoGebra-Applet als Hilfe verwenden und dich mit deinem Nachbarn besprechen.

[br][br][br]Vereinfacht können wir uns also auf die Funktion [math]f:x\mapsto\sin\left(x\right)[/math] und die Funktion [math]g:x\mapsto\sin\left(bx\right)[/math] beschränken. [br][br][br][b]Aufgabe:[/b][br]a) Gib eine Gleichung an, die den Zusammenhang zwischen [math]f[/math] und [math]g[/math] herstellt (Lösung unten).[br][br]b) Gib den Streckungsfaktor an, mit dem der Graph von [math]f[/math] in [math]x[/math]-Richtung gestreckt wird (Lösung unten).[br][br][br]

[br][br][br]Nachdem wir uns jetzt das Vorwissen wieder ins Gedächtnis gerufen haben, können wir zu den Potenzfunktionen übergehen. [br][br]Im Folgenden betrachten wir erst einmal nur [math]b>0[/math].[br][br][br][b]Aufgabe:[/b][br]a) Variiere die Schieberegler für den Exponenten [math]n[/math] und den Parameter [math]b[/math]. Beschreibe (mündlich), wie sich der Graph der Funktion [math]g[/math] ([color=#ff0000]rot[/color]) im Vergleich zum Graphen von [math]f[/math] (schwarz) verändert.[br][br]b) Notiere die Funktionsgleichung von [math]g[/math]. Überprüfe deine Lösung, indem du die Gleichung einblenden lässt. Erkläre, wie der Funktionsterm zustande kommt und worauf man unbedingt achten muss. Du darfst den Hinweis verwenden, wenn du nicht auf das richtige Ergebnis kommst. [br][br][b]Hinweis[/b]: Orientiere dich an den Vorüberlegungen, die wir zur Sinusfunktion gemacht haben! ;)[br][br]c) Stelle nun die Regler auf [math]n=2[/math] und [math]b=0.5[/math]. Blende die Pfeile und Wertetabelle ein (du musst wahrscheinlich zoomen, um alles richtig erkennen zu können). Vollziehe die folgende Erklärung nach. Du kannst dir eine Hilfe zur Wertetabelle einblenden lassen. [br][br][br]=====================================================================[br][br][br]Erklärung (exemplarisch für zwei Funktionswerte: [math]g\left(-4\right)[/math] und [math]g\left(1\right)[/math]):[br]Es gilt: [math]g\left(x\right)=f\left(b\cdot x\right)[/math]. [br]Wollen wir [math]g\left(-4\right)[/math] berechnen, so müssen wir also [math]f\left(0.5\cdot\left(-4\right)\right)[/math] berechnen.[br] [color=#0000ff](1) Zunächst starten wir bei [math]x=-4[/math] (bzw. [math]x=1[/math]). [/color][br][br][color=#00ff00] (2) Nach obiger Gleichung muss man nun zuerst den [math]x[/math]-Wert mit [math]b[/math] multiplizieren. [/color][br][color=#00ff00]Hier erhalten wir also [math]0.5\cdot\left(-4\right)=-2[/math] (bzw. [math]0.5\cdot1=0.5[/math]). [/color][br][br] [color=#666666](3) Zum neuen [math]x[/math]-Wert aus (2) berechnen wir nun den Funktionswert von [math]f\left(-2\right)[/math] (bzw. [math]f\left(0.5\right)[/math].[/color][br][br] [color=#ea9999](4) Den in (3) berechneten Funktionswert tragen wir nun als Funktionswert zum ursprünglichen [math]x[/math]-Wert an.[br][br][br][/color][color=#000000]=====================================================================[br][br][br]Wir erkennen, dass die Punkte auf dem Graphen von [math]f[/math] weiter von der [math]y[/math]-Achse wegbewegt werden (Schritt (4): Pfeile zeigen weg von der [math]y[/math]-Achse). Der Graph wird also gestreckt.[br][br][/color]

[br]d) Nimm jetzt die Einstellung [math]b=2[/math] vor. Erkläre (schriftlich) analog zu c), wieso eine Stauchung des Graphen von [math]f[/math] vorliegt. Vergleiche deine Lösung mit einem Mitschüler.[br][br][br][br][br][b](II) Ganzrationale Funktionen[/b][br][br][br]Da du dich im vorherigen Abschnitt ausführlich mit der Streckung in [math]x[/math]-Richtung beschäftigt hast, dürfte der Schritt zu den ganzrationalen Funktionen ein Klacks werden! :) [br][br]Die Ergebnisse aus (I) lassen sich übertragen. Wir machen uns das anhand eines Beispiels plausibel.[br][br][br][br][br][b]Beispiel:[/b][br][br]Gegeben ist die Funktion [math]f:x\mapsto x^3-2x^2[/math]. Ihr Graph soll mit dem Faktor 3 in [math]x[/math]-Richtung gestreckt werden. Nutze die GeoGebra-Applets unten als Hilfsmittel.[br][br]a) Bestimme den Parameter [math]b[/math] und begründe, ob eine Streckung oder Stauchung des Graphen von [math]f[/math] vorliegt.[br][br]b) Bestimme die Funktionsgleichung zur Funktion [math]g[/math], deren Graph aus dem von [math]f[/math] durch die obige Streckung hervorgeht (Lösung unten).

[br][br][br][br][b](III) Spiegelung an der [math]y[/math]-Achse[/b][br][br][br]Da wir bislang nur [math]b>0[/math] betrachtet haben, ist es wenig überraschend, dass die Spiegelung eines Graphen an der [math]y[/math]-Achse vom Vorzeichen des Parameters [math]b[/math] abhängt. [br][br][br][br][b]Aufgabe:[/b][br][br]a) Gib ein beliebiges Polynom ein ([color=#00ff00]grünes Feld[/color]). Die zugehörige Funktion heißt [math]f[/math]. [br][br]b) Gib ein Polynom ein ([color=#0000ff]blaues Feld[/color]), das zu einer Funktion [math]g[/math] gehört, deren Graph durch Spiegelung des Graphen von [math]f[/math] an der [math]y[/math]-Achse hervorgeht. [br][br][b]Hinweis[/b]: Wenn du nicht auf die Lösung kommst, blende die gesuchte Funktionsgleichung von [math]g[/math] ein und überlege dir, wie man vom Funktionsterm von [math]f[/math] zum Funktionsterm von [math]g[/math] kommt.[br][br]c) Blende nun den Graphen von [math]g[/math], Punkte, Pfeile und die Wertetabelle als Hilfsmittel ein. Erkläre anhand der Hilfsmittel, wie es zur vorliegenden Spiegelung kommt (Lösung unten).

[img]http://sr.photos3.fotosearch.com/bthumb/CSP/CSP990/k10664091.jpg[/img][br][br][br]Juhu! Es ist wieder an der Zeit dein Wissen auf's Papier zu bringen![br]Das passende Arbeitsblatt möchte bei deinem Lehrer abgeholt werden! ;-)[br][br][b]Hinweis[/b]: Verwende die Applets oben und trage an geeigneten Stellen [color=#00ff00]farbige Pfeile[/color] im Koordinatensystem und der Wertetabelle an, um das Vorgehen zu veranschaulichen.[br][br][br][br][img]http://sr.photos3.fotosearch.com/bthumb/CSP/CSP990/k10664091.jpg[/img][br][br][br][br][b][color=#ffff00]=====================================================================[/color][/b][br][b][color=#ffff00]=====================================================================[/color][/b][br][br]