[b][size=100]Definition[/size][br][/b]Eine [u]eindeutige[/u] Zuordnung der Elemente einer Menge X in eine zweite Menge Y heißt [u][i]Funktion aus X in Y.[/i][/u]

Die  [u][i]Definitionsmenge von f[/i][/u] umfasst alle Zahlen aus X, denen ein y aus Y zugeordnet wird.[br]Die Zahlen x heißen auch x-Werte oder Argumente der Funktion f. (Schreibweise: D[sub]f[/sub] )[br]Die [u][i]Wertemenge von f[/i][/u] sind alle Zahlen aus Y, die als Bild einer Zahl aus X vorkommen.[br]Die Zahlen dieser Menge nennt man auch y-Werte oder Funktionswerte von f. [br](Schreibweise W[sub]f[/sub])

[u][b][i]Beispiel[/i][/b][/u][br]Durch die [u][i]Funktionsgleichung[/i][/u] [math]y=2x[/math] wird jeder Zahl ihr Doppeltes zugeordnet.[br]Zur Zahl x=1 gehört die Zahl y=2, zu x=1500 gehört 3000, zu x=-1,5 gehört y=-3 usw.[br]Die zueinander gehörenden [i][u]Zahlenpaare[/u][/i] bilden die Funktion. [br]Jeder reellen Zahl kann verdoppelt werden, also ist die größte mögliche [u][i]Definitionsmenge[/i][/u] der Menge der reellen Zahlen. Als [u][i]Wertemenge[/i][/u] ergibt sich ebenfalls die gesamte Menge der reellen Zahlen.[br]Die Zahlenpaare können in einer [u][i]Werteabelle[/i][/u] strukturiert erfasst und in einem Koordinatensystem als [i][u]Punkte[/u][/i] graphisch dargestellt werden.[br]Für das Beispiel ergibt sich eine Gerade als [i][u]Funktionsgraph[/u][/i].

Verändern Sie in der Funktionsgleichung die Zuordnungsvorschrift und untersuchen Sie die Auswirkung Ihrer Änderung.

Die unendliche vielen verschiedenen Funktionen lassen sich in Klassen einteilen und damit systematisch untersuchen.[br]Eine übliches Merkmal zur Klassenbildung ist die Form des Funktionsterms.[br]Einige Beispiele sind[br][br][list=1][*][i][u]lineare Funktionen[/u][/i]: [math]f:y=m\cdot x+n[/math], mit [math]m,n\in\mathbb{R}[/math] [/*][*][i][u]quadratische Funktionen:[/u][/i]  [math]f:y=a\cdot x^2+b\cdot x+c[/math] mit [math]a,b,c\in\mathbb{R};a\ne0[/math] [br][/*][*][i][u]Polynome[/u][/i] :   Produkte aus beliebig vielen quadratischen und linearen Funktionstermen; diese Produktdarstellung kann stets durch ausmultiplizieren der Klammern in eine Summendarstellung umgewandelt werden: [math]p:y=a_n\cdot x^n+...+a_2\cdot x^2+a_1\cdot x+a_0[/math] mit den Koeffizienten [math]a_n,....a_1,a_0\in\mathbb{R};a_n\ne0[/math] [/*][*][u][i]Potenzfunktionen[/i][/u]: [math]f:y=a\cdot x^n[/math] mit [math]n\in\mathbb{Z}[/math] [/*][*][u][i]rationale Funktionen:[/i][/u] [math]q:y=\frac{p\left(x\right)}{q\left(x\right)}[/math] , wobei p und q Polynome mit ganzzahlige Koeffizienten sind[/*][/list]

[justify][/justify]Wichtige Eigenschaften von Funktionen sind dabei [br][list][*]die Definitionsmenge[/*][*]die Wertemenge[/*][*]die Form des Graphen (z.B. gerade, gekrümmt, geöffnet nach oben oder unten, ...)[/*][*]der Verlauf des Graphen (steigend, fallend)[/*][*]Symmetrien (Achsensymmetrie, Punktsymmetrie)[/*][*]die relative Lage des Graphen in Bezug auf das Koordinatensystem (Schnittpunkte mit den Achsen, parallel oder senkrecht zu einer Achse)[/*][*]charakteristische Punkte auf dem Graphen (Hochpunkt, Tiefpunkt, Wendepunkt, Sattelpunkt, Symmetriepunkt)[/*][/list]Dabei haben die in den jeweiligen Funktionstermen vorkommenden Parameter einen wichtigen Einfluß auf die Funktionseigenschaften. Die systematische Untersuchung bezüglich solcher Eigenschaften bezeichnet man als [u][i]Kurvendiskussion[/i][/u].