Determinar las dimensiones de un cono circunscrito a una esfera de radio conocido, de manera que su volumen sea mínimo.

[justify]En la aplicación que sigue después, verás un cono circunscrito a una esfera. El cono puede moverse con el ratón o el dedo, para verlo desde otros puntos de vista o dejarlo en rotación constante. [br][br]En el panel de la derecha hay dos controles que te permiten modificar el radio de la esfera y la altura del cono. Mediante la manipulación de estos controles podrás ver como cambia el volumen del cono. [br][br]El objetivo de la investigación es encontrar, de manera experimental, una relación entre la altura del cono y el radio del esfera, para el cono circunscrito a la esfera con volumen mínimo. Para ello se proponen los siguientes pasos:[/justify][list=1][*]Empieza seleccionando un valor concreto del radio de la esfera (el que tú quieras). [/*][*]Observa y anota el volumen del cono que se muestra en pantalla.[/*][*]Sin cambiar el radio de la esfera, ve modificando la altura del cono y anotando los respectivos valores del volumen, hasta que encuentres con qué altura el volumen es mínimo.[/*][*]Una vez localizado, analiza la relación entre la altura de ese cono y el radio de la esfera.[/*][*]Modifica ahora el radio de la esfera y repite los pasos 2, 3 y 4 y comprueba si se mantiene la misma relación.[/*][*]Repite el paso anterior con radios diferentes de la esfera hasta que quedes convencido.[/*][/list][br]Las igualdades que aparecen en la parte izquierda servirán más adelante para demostrar de forma rigurosa la relación que has encontrado.

Si a partir de la investigación anterior has encontrado una relación entre la altura del cono y el radio de la esfera, eso no quiere decir que sea cierta siempre. De momento es una conjetura. [br][br]En Matemáticas las conjeturas deben demostrarse, es decir, hay que probar que son ciertas en cualquier situación que cumpla las condiciones iniciales del problema.[br][br]Intenta, pues, demostrar esa relación ayudándote con las igualdades que se muestran en la aplicación. [br][br]Si lo consigues, intenta también calcular el radio del cono en función del radio de la esfera.[br][br][b][i]Sugerencia[/i][/b]: [br]Localiza los triángulos rectángulos que se muestran en la imagen. El teorema de Pitágoras puede ayudar.

Si no consigues dar con la demostración, en el siguiente archivo encontrarás una.