Il Piano Cartesiano
[color=#c51414][b]Il diagramma cartesiano: un sistema per mettere ordine nella realtà, è come avere a disposizione una bussola per orientarsi nello spazio![/b][/color]
Table of Contents
- Cos'è il piano cartesiano
- Definizione di Piano Cartesiano
- Come si rappresentano i punti nel piano cartesiano
- Esercitazione1: Disponi i punti nel piano cartesiano, note le sue coordinate
- Esercitazione2: Individua le coordinate dei punti assegnati
- Distanza tra due punti
- La misura di un segmento nel piano cartesiano
- Misura di un segmento orizzontale
- Misura di un segmento verticale
- Misura di un segmento obliquo
- Esercitazione
- Verifica
- Problema
- Punto medio di un segmento
- Coordinate del punto medio
- Trova le coordinate del punti medio
- Verifica
- Problema1
- Problema2
- Problema3
- Problema4
- Baricentro di un triangolo
- Coordinate del baricentro di un triangolo
- Trova le coordinate del baricentro
- Esercitazione e verifica
- Test di verifica
Definizione di Piano Cartesiano
[size=150]Tracciamo nel piano due rette [b][color=#cc0000]orientate perpendicolari[/color][/b] fra loro (assi coordinati) dette, rispettivamente, [b][color=#cc0000]asse X o asse delle ascisse[/color][/b] (quella orizzontale) ed [b][color=#cc0000]asse Y o asse delle ordinate[/color][/b] (quella verticale).[br]Il punto O di intersezione delle due rette si dice [b][color=#cc0000]origine degli assi.[/color][/b][br][br]Su ogni retta è fissato un verso di percorrenza e una unità di misura: se sulle due rette è fissata la stessa unità di misura si dice che il sistema è monometrico[br][br][color=#0000ff][b][center]Si chiama Piano Cartesiano ortogonale xOy un piano sul quale siano stati fissati due assi coordinati ed una unità di misura[/center][/b][/color][/size]
La misura di un segmento nel piano cartesiano
[color=#1155cc][b]PROBLEMA:[/b] [/color][color=#000000]Assegnati due punti [b]A[/b](x[sub]A[/sub], y[sub]A[/sub]) e[b] B[/b](x[sub]B, [/sub]y[sub]B[/sub]),[b] calcolare la misura del segmento AB[/b][/color][br] [br][br][b][color=#1155cc]OSSERVA:[/color][/b] a secondo della posizione dei punti A e B, il segmento può essere verticale, orizzontale, obliquo
Coordinate del punto medio
Prendiamo una retta orientata e su di essa un sistema di coordinate. [br]Consideriamo i punti A e B che hanno ascissa rispettivamente [b]x[/b][sub][b]A[/b] [/sub]e [b]x[sub]B,[/sub][/b] in modo che [b]x[sub]A[/sub]< x[sub]B[/sub][/b].
Consideriamo poi il punto medio M del segmento AB. [br]Essendo[math]\overline{AM} = \overline{MB}[/math] possiamo scrivere:[br][br][b][center]|x[sub]M[/sub] -x[sub]A[/sub]| = |x[sub]B[/sub] - x[sub]M[/sub]|[/center][/b]Per come abbiamo preso i punti A e B, possiamo togliere i moduli e scrivere:[br][center][b]x[sub]M[/sub] -x[sub]A[/sub] = x[sub]B[/sub] - x[/b][sub][b]M[/b] [/sub]da cui [b]2x[sub]M[/sub] = x[sub]A[/sub] + x[sub]B[/sub][/b] quindi:[br][br][math]x_M=\frac{x_A+x_B}{2}[/math][/center]
[size=150][size=100]Consideriamo ora un sistema di riferimento cartesiano xOy e prendiamo due punti A(x[sub]A[/sub]; y[sub]A[/sub]) e B(x[sub]B[/sub]; y[sub]B[/sub]). [br]Vogliamo determinare le coordinate del punto medio M.[/size][/size][br][b][br][center][size=150][color=#1155cc]OSSERVA[/color][/size][/center][/b]
[size=150]Quindi le coordinate del punto medio M sono:[br][br][center][math]M\left(\frac{x_A+x_B}{2},\frac{y_A+yB}{2}\right)[/math][/center][/size]
Coordinate del baricentro di un triangolo
[size=150][b][color=#1155cc]DEFINIZIONE:[/color][/b] il baricentro di un triangolo è il punto di intersezione delle tre mediane.[br][br][b][color=#1155cc]PROPRIETA':[/color][/b] ogni mediana è divisa dal baricentro in due parti tali che quella che ha un estremo nel vertice è doppia dell'altra. [/size]
Per la proprietà del baricentro:[br][center][math]\overline{BG}=2\overline{GN}[/math][/center]Allo stesso modo, per il teorema di Talete:[br][center] [math]\overline{B_1G_1}=2\overline{G_1N_1}[/math][/center]Passando alla misura dei segmenti e osservando che [math]x_{B_1}=x_B[/math], [math]x_{G_1}=x_G[/math], [math]x_{N_1}=x_N[/math][br][br][center][math]\left|x_G-x_B\right|=2\left|x_N-x_G\right|[/math][br][/center]Considerata la posizione dei punti, possiamo togliere i valori assoluti e ricavare [math]x_G[/math][br][br][center][math]x_G=\frac{x_B+2x_N}{3}[/math][/center]Ma N è punto medio di AC cioè [math]N\left(\frac{x_A+x_C}{2},\frac{y_A+y_C}{2}\right)[/math]sostituendo la sua ascissa otteniamo:[br][br][center][math]x_G=\frac{x_A+x_B+x_C}{3}[/math][/center]Allo stesso modo troviamo che:[br][center][math]y_G=\frac{y_A+y_B+y_C}{3}[/math][/center]