このワークシートは[url=https://www.geogebra.org/m/twxxx3yq]Math by Code[/url]の一部です。[br][br]前回は複素数のつぶ波（波動関数）を解とする[br]シュレディンガー方程式（波動の偏微分方程式）を作り、[br]その特徴をしらべました。不確定性原理を導くことができたね。[br][br]今回は、シュレーディンガー方程式を作り、つぶ波という解をさぐろう。

粒子（つぶ波、波動関数）φ（ｘ）が井戸の中に閉じ込められている。[br]「井戸」というのはたとえです。[br][br]線分上にだけ波が可能で、線分の両端には無限に高い壁があり超えることが不可能です。[br]これを井戸に閉じ込められた粒子というイメージです。[br][br]つぶ波の「定在波」のエネルギーＥｎを計算して、視覚化してみよう。[br][br]位置は一次元でｘが長さＬに粒子が閉じ込められている。[br]ポテンシャルエネルギーＵ（ｘ）はこの範囲で０だ。[br][b]ハミルトニアン演算子は^H=-[/b][math]\frac{\hbar^2}{2m}[/math][b] ∂[sup]2[/sup]/∂x[sup]2[/sup][/b][b][sup][/sup][/b][br]シュレーディンガー方程式は^Hφ＝Ｅφ[br]井戸の外にはつぶ波はないし、波動関数はゼロだから、φ(0)=φ(Ｌ)=0[br][b]φn(x) = Asin(nπ/Ｌ *x)[/b] n=1,2,3,.....(井戸の中）、[b]A=sqrt(2/L)[br][/b][br] ＝０（井戸の外）とすると、[br]^Hφ(x)=-[math]\frac{\hbar^2}{2m}[/math] {-(nπ/Ｌ)^2} ψ(x)となり、[br][b]固有値はＥn＝-[/b][math]\frac{\hbar^2}{2m}[/math][b] {-(nπ/Ｌ)^2}=[/b][math]\frac{\left(nh\right)^2}{8mL^2}[/math][b] （n=1,2,3,....)[br][/b][br][color=#9900ff][b][u][size=150]課題：井戸の中のつぶ波ψ(x) とエネルギーＥｎ を視覚化してみよう。[br][/size][/u][/b][/color][br]カンタンのために、L=slider(1,10), m=slider(0.001, 0.1, 0.001),h=1,A=sqrt(2/L)、[br]エネルギー準位Ｅ(p)=（p h)^2/8 m L^2 として、[br]つぶ波の式はn=1,2,3,4,5に対して、Curve(u, A sin (n pi u/L) + E(n), u, 0, a)となるように、nを代入して[br]５つの曲線式を入れます。[br]+E(n)があることで、エネルギーの高さごとにつぶ波の式がかぶらないように表示できますね。[br]また、y=E(n)を点線でかくと、エネルギーの高さがはっきりわかります。[br]n=1,2,3,4,5に対して、Ｅｎ＝Curve(u, E(n),u,0,a)とパラメータ曲線にすると、[br]つぶ波の式と同様に区間の中だけの点線にできます。[br]また、井戸の外は、不等式ｘ＜０、ｘ＞a, y<0によって、着色するとここに波がないことが強調できます。[br][br]まるで、ギターを奏でたときの弦の振動のようになるね。[br]Ｅｎ∝ｎ^2/m L^2なので2乗差は奇数なので、エネルギーの段差はどんどん奇数列に比例して開く。[br]また、井戸を広げて、Lをふやすと、aの2乗に反比例して沈む。[br]逆に井戸をせまくすると、エネルギー準位が全体として上がっていく。[br]粒子が軽くなる、ｍを小さくしてもエネルギーレベルが上がり離散的になるね。[br][br]これらの固有値Ｅ１からＥ５に対応するφ(x)は独立の状態だから、基底として使うことで、[br]井戸の中のつぶ波を、これらの基底の線形結合で表せるはずだね。[br]

さっき、作った井戸型のつぶ波[br]φn(x) = A sin(nπ/L *x) n=1,2,3,.....(井戸の中）、Ａ＝sqrt(2/L)[br]En=[math]\frac{\left(nh\right)^2}{8mL^2}[/math] [br]は空間型だった。[br][br]時間に依存する部分を捨てていた。[br][br]時間発展する部分g(t)=[color=#0000ff][b]exp[ー[/b][/color][math]\frac{i}{\hbar}[/math][color=#0000ff][b]E t)][/b][/color][br] φn(x)=A sin(nπ/a *x)とg(t)=[color=#0000ff][b]exp[ー[/b][/color][math]\frac{i}{\hbar}[/math][b]En t)]の積、ｆｇを求めて実部と虚部にわけて[br][/b]時間発展を考えよう。[br][br]オイラー等式（exp(iθ)=cosθ＋isinθ）を使う。[br]g(t)=exp(i k) k=-n^2 h/8mL^2 t[br]ψn(x,t)=fn(x)g(t)=A sin(nπ/a *x) exp(i k)[br]=A sin(nπ/a *x) cos k +i A sin(nπ/a *x) sin k[br]Re(ψ)=A sin(nπ/a *x) cos k[br]Im(ψ)=A sin(nπ/a *x) sin k[br]実部も虚部も定在波の各部をcos倍かsin倍している。[br][br][color=#9900ff][b][u][size=150]課題：井戸型のつぶ波の時間発展の視覚化をするにはどうしますか。[br][/size][/u][/b][/color][br]カンタンのために、変動したいものはスライダーで設定しよう。[br]L=slider(0.1,10), m=slider(0,0.1), h=1,A=＝sqrt(2/L),n=slider(1,5,1), t=slider(0,10,0.01)[br]関数を設定する。[br]Ｅ(p)=（p h)^2/8 m L^2[br]f(p)=A sin(n pi p/L)[br]k(p)= -E(p)*h/2pi[br]として、[br]gc(t)=cos(k(n) t)[br]gs(t)=sin(k(n) t)とすれば、[br]波の実部と虚部は[br]Rep(x,t)=f(x) gc(t)[br]Imp(x,t)=f(x) gs(t) となるから、[br]実部だけの平面的な表示　[b]Curve(s, f(s) gc(t) , s, 0,L)[/b][br]実部と虚部を合わせた立体表示　[b]Curve(u, f(u) gc(t), f(u) gs(t), u,0,L)[/b][br][br]これをそれぞれ表示窓を作ればいいね。[br][br]数式の窓はオブジェクトごとに並べて、スライダーだけ表示させることで、[br]スライダーだけのグラフィックス窓をなくせるね。[br][br]アプレットをみると、実部だけでは定在波が、[b]弦の振動に見えている[/b]けれど、[br]複素数の波として表示することで、[b]波の回転運動[/b]としてみることができるね。[br][br]回転としてみたときの各部分の半径は一定で、[br]虚部も入れることで、存在確率＝実部^2+虚部^2は各部分で一定になり、[br]とても安定した波だとわかるね。[br]井戸を広げたり、質量を大きくするとエネルギー が下がり、回転が遅くなります。[br]逆に井戸をせまく、粒子をかるくすると、回転が速くなりますね。[br]また、エネルギー準位をあげると、波の個性（基底）が変わります。

つぶ波、つまり、量子は、[br]空間を伝わるときは波として伝わり、観測すると粒子として現れるというものだ。[br][br]つぶ波を複数動かして、波のつぶを作りたい。[br][b][br]＜波の干渉＞[br][/b][br]波は重なると、単純なたし算になる。[br]これが波の重ね合わせだった。[br][br][b]・同じ波長の２つの波が同じ方向に1次元に進むと干渉[/b]がおきた。[br]上下逆転して重なれば波は消えるし、山どうしが重なれば2倍の高さの波になる。[br]打ち消しあいと増大がおきる。[br]これは、ヤングの2重スリットのアプリでも確認した。[br][br][b]・波長がちがう２つの波が重なる[/b]と、大きな波長の山の途中に小さな波長のうねりがうまれる、[br]そこに細かなこぶしをまわしたような音ができるでしょう。周期があってないところがほどんどんだが、[br]もちろん山と山が重なったり、山と谷が重なったりするところもあるだろうから、複雑化する。[br]同じ方向に進む波長が少しずつずれた波を重ねると、[b]波のお団子[/b]ができる。[br]これが[b]波束[/b]だ。[br][br]・弦の振動では、０点が両端にくるために左右に進む波が重なりあって、一定の場所に節ができる。[br]これが定在波だ。波長が違う定在波を重ねても[b]波束[/b]ができる。もちろん、[b]定在波の波束は動かない[/b]。[br][br]波束とは、異なるエネルギーＥ（＝異なる回転速度）を持つ複数の基底 ϕn​ を足し合わせたものです。[br][b]Ψ(x,t)=∑ c[sub]n​[/sub]ϕ[sub]n[/sub]​(x)e[sup]−iEn​t/ℏ[/sup]=Σc[sub]n[/sub] f[sub]n[/sub](x,t)[br][/b]なぜこれが「粒」に見えるのか?[br][b]f[sub]n[/sub](x,t)=ϕ[sub]n[/sub]​(x)e[sup]−iEn​t/ℏ[/sup][br][/b][br]これは、井戸の中の量子数ｎの定在波です。[br]これをナントカ倍（cn)した総和、線形結合がΨ(x,t)です。[br]ナントカ倍cnをガウス関数を適当につかうと、より、中ほどに集中した波のつぶが見えます。[br][br][br][b][color=#9900ff][u][size=150]課題：波束をgeogebraで表示するにはどうしたらよいですか。[br][/size][/u][/color][/b][br]さっきまで作ったアプリとどうように変数を導入します。[br][b][u]ただし、ｎをパラメータとして、グローバル変数化するのではなく、[br]関数の引数nnとしておきます。[br][br]nのままで関数を作ろうとして、すでにｎはスライダーで定義されているので、[br]衝突するからnnにします。[br][/u][/b]E(nn)=(((nn h)^(2))/(8)) m L^(2)[br]k(nn)=-E(nn)*((h)/(2 π))[br]c(nn)=ℯ^(-(nn-10)^(2))[br]gs(nn,t)=sin(k(nn) t)[br]gc(nn,t)=cos(k(nn) t)[br]f(nn,p)=A sin(nn π*((p)/(L)))[br][br]関数を定義し終わったら、スライダーｎを削除します。[br]これでようやく、波束ができます。[br][br]そのnnにn=8から12を入れてSumすることで、波の結合ができますね。[br]WavePacket(x)=Sum(c(n) f(n,x) gc(n,t),n,8,12)[br]これが波束です。