[justify][/justify][justify][/justify][justify]Os "Postulados" de Euclides:[br][/justify][list][*][i][b]I Postulado[/b]: "Dados dois pontos, há um segmento de reta que os une";[/i][/*][*][i][b]II Postulado[/b]: "Um segmento de reta pode ser prolongado indefinidamente para construir uma reta";[/i][/*][*][i][b]III Postulado[/b]: "Dados um ponto qualquer e uma distância qualquer pode-se construir um círculo de centro naquele ponto e com raio igual à distância dada";[/i][/*][*][i][b]IV Postulado[/b]: "Todos os ângulos retos são iguais";[/i][/*][*][i][b]V Postulado[/b]: "Se uma linha reta cortar duas outras retas de modo que a soma dos dois ângulos internos de um mesmo lado seja menor do que dois retos, então essas duas retas, quando suficientemente prolongadas, cruzam-se do mesmo lado em que estão esses dois ângulos".[br][/i][br][justify]Neste trabalho vamos substituir o V Postulado pelo equivalente "[b][i]axioma euclidiano de paralelismo[/i][/b]", no sentido em que substituindo um pelo outro se obtêm axiomáticas equivalentes. Este axioma estabelece que "[i]por um ponto fora de uma reta não passa mais que uma reta a ela paralela[/i]".[/justify][/*][/list][justify]De seguida vamos abordar individualmente cada um destes postulados (à exceção do [i]V Postulado[/i] em que o iremos substituir pelo o [i]axioma euclidiano de paralelismo[/i]) recorrendo a apliquetas que nos permitam explorar representações geométricas dos mesmos no plano.[/justify]

[color=#0000ff][i][b]I Postulado[/b][/i]: [i]"Dados dois pontos, há um segmento de reta que os une".[/i][/color][br][br][color=#0000ff][justify][b]Apliqueta 3:[/b] Nesta apliqueta são dados dois pontos [math]$A$[/math] e [math]$B$[/math] que podes mover arbitrariamente para constatar que há sempre um segmento de reta que une [math]$A$[/math] a [math]$B$[/math] (para isso basta selecionares a 1.ª caixa).[br]Podes adicionalmente acrescentar um ponto extra, [math]$C$[/math], e o segmento de reta [math]$[AC]$[/math] (para isso basta selecionares a 2.ª caixa). Ao moveres arbitrariamente o ponto [math]$C$[/math], uma vez que os segmentos de reta [math]$[AB]$[/math] e [math]$[AC]$[/math] já partilham o extremo [math]$A$[/math], podemos conjeturar que, o segmento de reta [math]$[AC]$[/math] coincide com o segmento de reta [math]$[AB]$[/math] se e só se [math]$B$[/math] e [math]$C$[/math] forem o mesmo ponto (isto é, "se coincidirem"). Então, podemos agora conjeturar que [b]em Geometria no Plano, dados dois pontos, existe um e um só segmento de reta que os une[/b].[/justify][/color]

[justify][color=#0000ff][i][b]II Postulado[/b]: "Um segmento de reta pode ser prolongado indefinidamente para construir uma reta".[br][br][/i][b]Apliqueta 4:[/b] Nesta apliqueta são dados dois pontos [/color][math]$A$[/math][color=#0000ff] e [/color][math]$B$[/math][color=#0000ff] que podes mover arbitrariamente pelo plano para:[/color][/justify][list][*][color=#0000ff][color=#0000ff]ativando a 1.ª caixa, podermos observar que há sempre um segmento de reta que une [/color][math]$A$[/math][color=#0000ff] a [/color][math]$B$[/math][color=#0000ff] (na apliqueta, notado por [math]$[AB]$[/math]), e[/color][/color][/*][*][color=#0000ff][color=#0000ff]ativando a 2.ª caixa, podermos ver que esse segmento de reta pode ser sempre prolongado a uma reta (na apliqueta, denotada por [math]$AB$[/math]).[/color][/color][/*][/list][color=#0000ff][color=#0000ff][br][justify]Podemos agora conjeturar que [b]em Geometria no Plano, dado um segmento de reta, ele pode ser sempre prolongado indefinidamente para construir uma reta.[br][/b][br]Nesta apliqueta, podes adicionalmente acrescentar um ponto extra, [math]$C$[/math], e a reta [math]$AC$[/math] (para isso basta selecionares, respetivamente, a 3.ª e a 4.ª caixas). Ao moveres arbitrariamente o ponto [math]$C$[/math], uma vez que as retas [math]$AB$[/math] e [math]$AC$[/math] já partilham um ponto, o ponto [math]$A$[/math], podemos conjeturar que, a reta [math]$AC$[/math] é um prolongamento do segmento de reta [math]$[AB]$[/math] se e só se coincide com a reta [math]$AB$[/math] (isto é, se e só se [math]$B$[/math] e [math]$C$[/math] forem colineares, pois o ponto [math]$A$[/math] é comum às duas retas). Então, podemos agora conjeturar que em [b]Geometria no Plano[/b], dado um segmento de reta, ele pode ser sempre prolongado indefinidamente para construir [b]uma única[/b] reta.[/justify][/color][/color]

[justify][/justify][color=#0000ff][b][i]III Postulado[/i][/b][i]: "Dados um ponto qualquer e uma distância qualquer pode-se construir um círculo de centro naquele ponto e com raio igual à distância dada".[br][br][/i][/color][justify][color=#0000ff][b]Apliqueta 5:[/b] Nesta apliqueta é dado um ponto [/color][math]$A$[/math][color=#0000ff] arbitrário e um seletor [/color][math]$a$[/math][color=#0000ff] que toma valores entre 0 e 999 (este último valor pode ser um número não negativo tão grande quanto se queira, mas aqui escolhemos o valor 999 - um valor "grande" mas não "demasiadamente grande" - para facilitar a visualização na apliqueta) e podemos observar que, para qualquer qualquer valor positivo de [/color][math]$a$[/math][color=#0000ff], é possível construir um círculo/circunferência de centro em [/color][math]$A$[/math][color=#0000ff] e de raio com medida de comprimento igual ao valor de [/color][math]$a$[/math][color=#0000ff]. Podemos observar que quando [math]$a=0$[/math], a construção que se obtém é o próprio ponto [math]$A$[/math] (será que pode ser considerado um círculo/circunferência? momento de reflexão).[br][/color][color=#0000ff]Para comprovares que de facto as construções aqui apresentadas satisfazem as hipóteses descritas, basta selecionares na apliqueta a 1.ª e a 2.ª caixas.[/color][color=#0000ff] Podes agora mover livremente o ponto [math]$B$[/math] ao longo da circunferência e verificar que, para qualquer raio da circunferência [b]enquanto segmento de reta[/b], [/color][math]$[AB]$[/math][color=#0000ff], se obtém o mesmo raio [b]enquanto medida de comprimento[/b] (o valor de [/color][math]$\overline{AB}$[/math][color=#0000ff]).[/color][/justify]

[justify][color=#0000ff][i][b]IV Postulado[/b]: "Todos os ângulos retos são iguais".[br][b][br][/b][/i][b]Apliqueta 6:[/b] Nesta apliqueta são dados dois pontos arbitrários, [/color][math]$A$[/math][color=#0000ff] e [/color][math]$B$[/math][color=#0000ff], uma reta definida por esses pontos, [/color][math]$AB$[/math][color=#0000ff] (que, pela arbitrariedade dos pontos [/color][math]$A$[/math][color=#0000ff] e [/color][math]$B$[/math][color=#0000ff] é, também ela, arbitrária) e, ainda, um terceiro ponto arbitrário, [/color][math]$P$[/math][color=#0000ff].[br]Recorrendo às funcionalidades do GeoGebra, construímos uma reta [math]$p$[/math] que passa em [math]$P$[/math] e é perpendicular à reta[/color][color=#0000ff] [/color][math]$AB$[/math][color=#0000ff]). [/color][color=#0000ff]Como esta reta perpendicular a [math]$AB$[/math] depende apenas do ponto arbitrário [/color][math]$P$[/math][color=#0000ff], é também ela arbitrária. Para visualizares a reta [math]$p$[/math] basta selecionares a 1.ª caixa da apliqueta.[br]De seguida, recorrendo às capacidades do GeoGebra, medimos as medidas de amplitude de todos os ângulos formados pela interseção das duas retas perpendiculares (para isso basta selecionares a 3.ª caixa da apliqueta). Uma vez que todos têm a mesma medida de amplitude, podemos conjeturar que todos os ângulos retos entre as retas [math]$AB$[/math] e [math]$p$[/math] são iguais. Alertamos que as medidas de amplitude calculadas poderão aparecer com dois valores distintos, [/color][math]$90^\circ$[/math][color=#0000ff], ou [/color][math]$270^\circ$[/math][color=#0000ff], sendo que esta dualidade ocorre apenas por motivo das posições relativas entre os pontos e de particularidades das construções do GeoGebra. No entanto, isto não nos suscita qualquer problema uma vez que sabemos que [math]$270^\circ = 360^\circ - 90^\circ$[/math], podendo assim concluir que o valor [math]$270^\circ$[/math] corresponde ao ângulo [math]$90^\circ$[/math] quando percorrido no sentido horário ("negativo").[/color][color=#0000ff][br]Como as retas perpendiculares entre si, [/color][math]$AB$[/math][color=#0000ff] e [/color][math]$p$[/math][color=#0000ff], são arbitrárias (tal como já foi observado), podemos então conjeturar que em [b]Geometria no Plano, todos os ângulos retos são iguais.[/b][/color][/justify]

[justify][color=#0000ff][i][b]Axioma euclidiano de paralelismo[/b]: "P[/i][/color][i][color=#0000ff]or um ponto fora de uma reta não passa mais que uma reta a ela paralela".[/color][br][br][/i][color=#0000ff][b]Apliqueta 7:[/b] Nesta apliqueta são dados dois pontos arbitrários, [/color][math]$A$[/math][color=#0000ff] e [/color][math]$B$[/math][color=#0000ff] (podes movê-los livremente pelo plano), uma reta definida por esses pontos, [/color][math]$AB$[/math][color=#0000ff] (que, pela arbitrariedade dos pontos [/color][math]$A$[/math][color=#0000ff] e [/color][math]$B$[/math][color=#0000ff], é também ela arbitrária) e, ainda, um terceiro ponto arbitrário, [/color][math]$P$[/math][color=#0000ff] (podes movê-lo livremente pelo plano).[br]Recorrendo às potencialidades do GeoGebra, podemos agora, dada uma reta qualquer,[/color][color=#0000ff] [/color][math]$AB$[/math][color=#0000ff], e um ponto não pertencente a [math]$AB$[/math] arbitrário, [math]$P$[/math], [/color][color=#0000ff]traçar uma reta a ela paralela, [/color][math]$p$[/math][color=#0000ff] (basta selecionar a 1.ª caixa da apliqueta). Com esta primeira manipulação da apliqueta podemos conjeturar que, [b]em Geometria no Plano, por um ponto fora de uma reta passa pelo menos uma reta que é paralela à reta dada.[br][/b][/color][color=#0000ff]De seguida, podemos conjeturar que qualquer outra reta que passe em [math]$P$[/math], tem de coincidir com a própria reta [math]$p$[/math] para que seja paralela à reta [math]$AB$[/math]. Para isso basta[color=#0000ff] [/color][color=#0000ff]selecionar a 2.ª caixa, e manipular a reta $q$ para observar que ela apenas é paralela a $AB$ quando coincide com[/color] [math]$p$[/math], ou seja, quando e apenas quando a medida de amplitude do ângulo formado pelas retas $p$ e $q$ tem o valor [math]$0^\circ$[/math] ou [math]$180^\circ$[/math]. Tal como na apliqueta anterior, esta dualidade de valores nem sempre acontece e deve-se apenas a particularidades das das construções GeoGebra feitas e[/color][color=#0000ff] das posições relativas entre os pontos utilizados, (no entanto, por um raciocínio análogo ao feito na apliqueta anterior, facilmente podemos concluir que ambos os valores mostram o pretendido). Com esta segunda manipulação da apliqueta podemos conjeturar que, [b]em Geometria no Plano,[/b] [b]por um ponto fora de uma reta passa no máximo uma reta que é paralela à reta dada[/b].[/color][color=#0000ff][br][/color][color=#0000ff]No conjunto das duas manipulações descritas desta apliqueta, podemos finalmente conjeturar que, [b]em Geometria no Plano, por um ponto fora de uma reta passa uma e uma só reta que é paralela à reta dada.[/b][/color][/justify]