[size=85][size=85][size=85][size=50][right][size=85][size=50]Diese Aktivität ist eine Seite des [color=#980000][i][b]geogebra-books[/b][/i][/color] [url=https://www.geogebra.org/m/fzq79drp][u][color=#0000ff][i][b]Leitlinien und Brennpunkte[/b][/i][/color][/u][/url] ([color=#ff7700][i][b]September 2021[/b][/i][/color])[/size][/size][/right][/size][/size][/size]Eine [color=#ff7700][i][b]bizirkulare Quartik[/b][/i][/color] mit 4 verschiedenen [color=#ff0000][i][b]konzyklischen[/b][/i][/color] [color=#00ff00][i][b]Brennpunkten[/b][/i][/color]: durch eine geeignete [color=#0000ff][i][b]Möbiustransformation[/b][/i][/color][br]erreicht man stets obige Normalform.[br][color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] sind [color=#00ff00][b]f[/b][/color] : reell und oBdA [/size][size=85][size=85][color=#00ff00][b]f[/b][/color][/size] > 1, und [color=#00ff00][b]f'[/b][/color] = -[/size][size=85][size=85][color=#00ff00][b]f[/b][/color][/size], [color=#00ff00][b]f''[/b][/color] = 1/[/size][size=85][size=85][color=#00ff00][b]f[/b][/color][/size], [color=#00ff00][b]f'''[/b][/color] = -1/[/size][size=85][color=#00ff00][b]f[/b][/color][/size][size=85].[br]Die [color=#38761D][b]konfokalen[/b][/color] [color=#ff7700][i][b]Quartiken[/b][/i][/color] sind [color=#f1c232][i][b]symmetrisch[/b][/i][/color] zu den [color=#BF9000][i][b]Achsen[/b][/i][/color] und dem [color=#BF9000][i][b]Einheitskreis[/b][/i][/color].[br]Das Produkt der 3 Spiegelungen ergibt die Spiegelung am [color=#BF9000][i][b]imaginären Kreis[/b][/i][/color].[br]Für jede Konstruktion wird [color=#00ff00][b]f[/b][/color] ausgewählt.[br]Zu einer [color=#ff7700][i][b]Quartik[/b][/i][/color] und dem ausgewählten [color=#00ff00][i][b]Brennpunkt[/b][/i][/color] [/size][size=85][size=85][color=#00ff00][b]f[/b][/color][/size] gehören 3 verschiedene [color=#0000ff][i][b]Leitkreise[/b][/i][/color].[br]Diese liegen in einem [color=#ff0000][i][b]hyperbolischen Kreisbüschel[/b][/i][/color] mit [/size][size=85][size=85][color=#00ff00][b]f[/b][/color][/size] als einem Grundpunkt und einem 2.ten Grundpunkt [color=#cc0000][b]f#[/b][/color].[br]Liegt dieser 2.te Grundpunkt in einem der [color=#BF9000][i][b]Symmetrie-Kreis-Schnittpunkte[/b][/i][/color], so ist die [color=#ff7700][i][b]Quartik[/b][/i][/color] eine [b]Cassini-Quartik[/b]![br][br][color=#cc0000][i][b]Konstruktion exemplarisch:[/b][/i][/color][br]Das [color=#ff0000][i][b]elliptische Kreisbüschel[/b][/i][/color] [math]\mathbf{\mathcal{B}}_1[/math] mit den Grundpunkten [color=#00ff00][b]f[/b][/color] , [color=#00ff00][b]f''[/b][/color] und [math]\mathbf{\mathcal{B}}_2[/math] mit den Grundpunkten [color=#00ff00][b]f'[/b][/color] , [color=#00ff00][b]f'''[/b][/color] sind [color=#f1c232][i][b]symmetrisch[/b][/i][/color] zum [br][color=#f1c232][i][b][color=#BF9000]imaginären Kreis[/color][/b][/i][/color].[br][color=#0000ff][i][b]Leitkreise[/b][/i][/color] bei ausgewähltem [color=#00ff00][i][b]Brennpunkt[/b][/i][/color] [color=#00ff00][b]f[/b][/color] sind die [color=#0000ff][i][b]Kreise[/b][/i][/color] des zu [math]\mathbf{\mathcal{B}}_2[/math] [color=#ff0000][i][b][color=#9900ff]orthogonalen[/color] hyperbolischen Kreisbüschels[/b][/i][/color].[br]Zu einem Punkt [color=#00ffff][b]q[/b][/color] auf einem [color=#0000ff][i][b]Leitkreis[/b][/i][/color] [color=#0000ff][b]ci[sub]L[/sub][/b][/color] sei der [color=#00ffff][i][b]Berührkreis[/b][/i][/color] an [/size][size=85][size=85][color=#0000ff][b]ci[sub]L[/sub][/b][/color][/size] durch [color=#00ffff][b]q[/b][/color] und [color=#00ff00][b]f[/b][/color] konstruiert.[br]Der zu diesm [color=#00ffff][i][b]Berührkreis[/b][/i][/color] [color=#ff0000][i][b]orthogonale Brennkreis[/b][/i][/color] aus [math]\mathbf{\mathcal{B}}_1[/math] durch [color=#00ff00][b]f[/b][/color] schneidet den [color=#ff0000][i][b]Brennkreis[/b][/i][/color] durch [color=#00ff00][b]f'[/b][/color], [color=#00ff00][b]f''[/b][/color], [color=#00ffff][b]q[/b][/color] in 2 [color=#ff7700][i][b]Punkten[/b][/i][/color] der[br][color=#ff7700][i][b]Quartik[/b][/i][/color]. Einer der beiden [color=#999999][i][b]winkelhalbierenden-Kreise[/b][/i][/color] der [color=#ff0000][i][b]Brennkreise[/b][/i][/color] ist [color=#999999][i][b]doppelt-berührender Kreis[/b][/i][/color] der [color=#ff7700][i][b]Quartik[/b][/i][/color].[br]An diesem gespigelt werden die [color=#ff0000][i][b]Brennkreise[/b][/i][/color] sowie [color=#00ffff][b]q[/b][/color] und [color=#00ff00][b]f[/b][/color] vertauscht.[br]Diese Eigenschaft dient auch dazu, diesen [color=#999999][i][b]doppelt-berührenden Kreis[/b][/i][/color] herauszufiltern. [br][br]Mit dieser Konstruktion erhält man 3 Scharen [color=#999999][i][b]doppelt-berührender Kreise[/b][/i][/color] jeweils zu einer anderen [color=#f1c232][i][b]Symmetrie[/b][/i][/color].[br]Es gibt jedoch noch eine 4. Schar [color=#999999][i][b]doppelt-berührender Kreise[/b][/i][/color]: diese sind [color=#f1c232][i][b]symmetrisch[/b][/i][/color] zur Hauptachse, [br]das ist der [color=#BF9000][i][b]Kreis[/b][/i][/color], auf welchem die [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] liegen.[br]Die [color=#999999][i][b]Kreise[/b][/i][/color] dieser Schar können nicht mit Hilfe eines [color=#0000ff][i][b]Leitkreises[/b][/i][/color] konstruiert werden.[br]Eine alternative Konstruktionsvorschrift: [i][b]siehe [math]\hookrightarrow[/math] [/b][/i][url=https://www.geogebra.org/m/fzq79drp#material/vmzxsesf][i][b]nächste Seite[/b][/i][/url].[br][/size]