La [b]curvatura[/b] [math]κ[/math] de una curva es la cantidad escalar[br][br] [math]k=\parallel\frac{dT}{ds}\parallel[/math]
La curvatura de la curva suave trazada por la función vectorial [math]r(t)[/math] es dada por:[br][br] [math]k=\frac{\parallel r´\left(t\right)\times r´´\left(t\right)\parallel}{\parallel r'\left(t\right)\parallel^3}[/math]
[b][color=#0000ff]Encuentre la curvatura en el punto dado de los siguientes ejercicios.[/color][/b]
[size=150][b]19.-[/b][/size][math]\text{r(t) = \left\langle e^{−2t}, 2t, 4\right\rangle, t = 0}[/math][br][br]Entonces, buscamos las derivadas de [math]r\left(t\right)[/math]:[br][br][math]r´\left(t\right)=\left\langle-2e^{-2t},2,0\right\rangle[/math] y [math]r´´\left(t\right)=\left\langle4e^{-2t},0,0\right\rangle[/math][br][br]Ahora, hacemos el punto cruz:[br][br][math]r'\left(t\right)\times r''\left(t\right)=\left(2\cdot0-\left(0\cdot0\right)\right)i-\left(-2e^{-2t}\cdot0-\left(4e^{-2t}\cdot0\right)\right)j+\left(-2e^{-2t}\cdot0-\left(4e^{-2t}\cdot2\right)\right)k=-8e^{-2t}k[/math][br][br]Entonces, aplicando el teorema, tenemos lo siguiente:[br][br] [math]k=\frac{\parallel r'\left(t\right)\times r´´\left(t\right)\parallel}{\parallel r'\left(t\right)\parallel}=\frac{\sqrt{0^2+0^2+\left(-8e^{-2t}\right)^2}}{\left(\sqrt{\left(-2e^{-2t}\right)^2+\left(2\right)^2}\right)^3}=\frac{\sqrt{\left(-8e^{-2t}\right)^2}}{\left(\sqrt{\left(-2e^{-2t}\right)^2+\left(2\right)^2}\right)^3}[/math][br][br]Ahora, cuando [math]t=0[/math]:[br][br] [math]k=\frac{\sqrt{\left(-8e^{-2t}\right)^2}}{\left(\sqrt{\left(-2e^{-2t}\right)^2+\left(2\right)^2}\right)^3}=\frac{\sqrt{\left(-8e^{-2\left(0\right)}\right)^2}^{ }}{\left(\sqrt{\left(-2e^{-2\left(0\right)}\right)^2+4}\right)^3}=\frac{1}{2\sqrt{2}}=0.35[/math]
[b][size=150]21.-[math]r\left(t\right)=\left\langle t,sin\left(t\right),3t\right\rangle,t=0[/math][br][br][/size][/b]Entonces, buscamos las derivadas de [math]r\left(t\right)[/math]:[br][br][math]r'\left(t\right)=\left\langle1,cos\left(t\right),3\right\rangle[/math] y [math]r''\left(t\right)=\left\langle0,-sen\left(t\right),0\right\rangle[/math][br][br]Ahora, hacemos el punto cruz:[br][br][math]r'\left(t\right)\times r''\left(t\right)=\left(0-\left(-3sen\left(t\right)\right)\right)i-\left(0-\left(0\right)\right)j+\left(-sem\left(t\right)-\left(0\right)\right)k=3sen\left(t\right)i-sen\left(t\right)k[/math][br][br]Entonces, aplicando el teorema, tenemos lo siguiente:[br][br][math]k=\frac{\parallel r'\left(t\right)\times r''\left(t\right)\parallel}{\parallel r'\left(t\right)\parallel^3}=\frac{\sqrt{\left(3sen\left(t\right)\right)^2+\left(-sem\left(t\right)\right)^2}}{\left(\sqrt{1^2+\left(cos\left(t\right)\right)^2+3^2}\right)^3}=\frac{\sqrt{10sen^2\left(t\right)}}{\left(\sqrt{10+cos^2\left(t\right)}\right)^3}[/math][br][br]Ahora, cuando [math]t=0[/math]:[br][br][math]k=\frac{\sqrt{10sen^2\left(t\right)}}{\left(\sqrt{10+cos^2\left(t\right)}\right)^3}=\frac{\sqrt{10sen^2\left(0\right)}}{\left(\sqrt{10+cos^2\left(0\right)}\right)^3}=0[/math]