-
Całka funkcji jednej zmiennej
-
1. 1. Całka nieoznaczona
- Funkcja pierwotna
- Całkowanie przez części
- Całkowanie przez podstawienie
- Całkowanie funkcji wymiernych (1)
- Całkowanie funkcji wymiernych (2)
- Całkowanie funkcji wymiernych (3)
-
2. 2. Całka oznaczona
- Całka Riemanna - definicja
- Funkcja górnej granicy całkowania
- Przykład 2.1
- Interpretacja geometryczna
- Przykład 2.2
- Zadanie 1
- Przykład 2.3
- Twierdzenie Newtona-Leibniza
- Wartość średnia funkcji
- Zadanie 1
- Własności całki oznaczonej
-
3. 3. Całka niewłaściwa
- Całka niewłaściwa (1)
- Całka niewłaściwa (2)
-
4. 4. Zastosowania całek oznaczonych
- Pole trapezu krzywoliniowego
- Przykład 4.1
- Przykład 4.2
- Przykład 4.3
- Przykład 4.4
- Długość krzywej
- Przykład 4.5
- Objętość bryły obrotowej
- Przykład 4.6
- Pole powierzchni obrotowej
- Przykład 4.7
-
5. 5. Całkowanie przybliżone
- Metody przybliżonego obliczania całek
- Zadanie (o panelach)
- Przybliżanie długości krzywej
This activity is also part of one or more other Books. Modifications will be visible in all these Books. Do you want to modify the original activity or create your own copy for this Book instead?
This activity was created by '{$1}'. Do you want to modify the original activity or create your own copy instead?
This activity was created by '{$1}' and you lack the permission to edit it. Do you want to create your own copy instead and add it to the book?
Całka funkcji jednej zmiennej
Joanna Rzepecka, Jul 26, 2019
Laboratorium matematyczne z GeoGebrą Skrypt dla studentów uczelni technicznych Joanna Rzepecka, Elżbieta Kotlicka-Dwurznik Politechnika Łódzka, Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki Projekt finansowany w ramach budżetu zadaniowego PŁ „Granty dydaktyczne PŁ” Strona projektu na platformie Wikamp Łódź 2019
Table of Contents
- 1. Całka nieoznaczona
- Funkcja pierwotna
- Całkowanie przez części
- Całkowanie przez podstawienie
- Całkowanie funkcji wymiernych (1)
- Całkowanie funkcji wymiernych (2)
- Całkowanie funkcji wymiernych (3)
- 2. Całka oznaczona
- Całka Riemanna - definicja
- Funkcja górnej granicy całkowania
- Przykład 2.1
- Interpretacja geometryczna
- Przykład 2.2
- Zadanie 1
- Przykład 2.3
- Twierdzenie Newtona-Leibniza
- Wartość średnia funkcji
- Zadanie 1
- Własności całki oznaczonej
- 3. Całka niewłaściwa
- Całka niewłaściwa (1)
- Całka niewłaściwa (2)
- 4. Zastosowania całek oznaczonych
- Pole trapezu krzywoliniowego
- Przykład 4.1
- Przykład 4.2
- Przykład 4.3
- Przykład 4.4
- Długość krzywej
- Przykład 4.5
- Objętość bryły obrotowej
- Przykład 4.6
- Pole powierzchni obrotowej
- Przykład 4.7
- 5. Całkowanie przybliżone
- Metody przybliżonego obliczania całek
- Zadanie (o panelach)
- Przybliżanie długości krzywej
Funkcja pierwotna
Mówimy, że funkcja jest funkcją pierwotną funkcji w przedziale otwartym , jeśli dla .
Całką nieoznaczoną funkcji na przedziale nazywamy zbiór wszystkich funkcji pierwotnych funkcji na tym przedziale. Zapisujemy:
gdzie oznacza dowolnie ustaloną funkcję pierwotną funkcji , a - dowolną stałą zwaną stałą całkowania. Funkcję , dla której istnieje całka nieoznaczona na pewnym przedziale, nazywa się funkcją całkowalną na tym przedziale. Twierdzenie. Każda funkcja ciągła na pewnym przedziale jest funkcją całkowalną na tym przedziale.
Ćwiczenie 1.
Korzystając z poniższego apletu narysuj kilka funkcji pierwotnych dla funkcji danych wzorem:
a) , b)
Uwaga. Podczas obliczania całki nieoznaczonej w Widoku CAS lub w Widoku Algebry pojawia się stała , której wartość zależy od ustawienia suwaka (Widok Algebry), natomiast indeksowanie - od ilości obliczanych całek. W menu kontekstowym funkcji (Widok Grafiki lub Algebry) została zaznaczona opcja rysowania śladu wykresu.
Uwaga. Funkcja pierwotna funkcji elementarnej nie zawsze jest funkcją elementarną. Na przykład funkcje pierwotne funkcji: nie są funkcjami elementarnymi. Do ich przedstawienia w programach typu CAS stosuje się funkcje specjalne (patrz np. https://pl.wikipedia.org/wiki/Funkcje_specjalne). Takimi funkcjami są m.in. sinus całkowy zdefiniowany wzorem , czy funkcja błędu .
Ćwiczenie 2.
Zaznacz funkcje, których funkcje pierwotne nie są funkcjami elementarnymi.
Sprawdź w poniższym aplecie GeoGebry, czy odpowiedziałeś poprawnie. Do obliczania całek zastosuj narzędzie 
dostępne w pasku narzędziowym Widoku CAS lub skorzystaj z wirtualnej klawiatury.
dostępne w pasku narzędziowym Widoku CAS lub skorzystaj z wirtualnej klawiatury.
Całka Riemanna - definicja
Niech . Uporządkowany w ten sposób zbiór nazywamy podziałem przedziału . Jeżeli długość przedziału oznaczymy symbolem , to dla . Największą z liczb nazywamy średnicą rozważanego podziału i oznaczamy przez , tzn. . Mówimy, że ciąg podziałów przedziału jest ciągiem normalnym podziałów , gdy .
Niech funkcja będzie określona i ograniczona w przedziale i niech będzie podziałem przedziału , . Niech ponadto dane będą punkty pośrednie takie, że dla . Sumą całkową (sumą Riemanna) funkcji dla podziału i dla wybranych punktów pośrednich nazywamy
.
Jeżeli dla każdego normalnego ciągu podziałów przedziału istnieje ta sama skończona granica ciągu i nie zależy ona od wyboru punktów pośrednich , to nazywamy ją całką oznaczoną Riemanna funkcji na przedziale i oznaczamy przez
Ćwiczenie 1.
Korzystając z powyższego apletu wylosuj kilka nowych punktów podziału przedziału oraz punktów pośrednich dla rozważanej funkcji . Zaobserwuj jak zmieniają się wartości sum całkowych w zależności od podziałów oraz w zależności od . Otrzymane wyniki możesz porównać z przybliżoną wartością całki na tym przedziale (klikając na symbol całki).
Całka niewłaściwa (1)
1. Niech będzie funkcją całkowalną na każdym skończonym przedziale domkniętym . Granicę nazywamy całką niewłaściwą funkcji na przedziale i oznaczamy .
Jeżeli powyższa granica istnieje i jest skończona, to mówimy, że całka niewłaściwa jest zbieżna, natomiast jeżeli granica ta nie istnieje lub jest niewłaściwa, to mówimy, że całka jest rozbieżna.
Przykład 1.
Obliczymy całkę niewłaściwą
Rozwiązanie:
Poniższy aplet pokazuje jak zmienia się wartość całki wraz ze wzrostem wartości parametru .
2. Niech będzie funkcją całkowalną na każdym skończonym przedziale domkniętym . Granicę nazywamy całką niewłaściwą funkcji na przedziale i oznaczamy .
Jeżeli powyższa granica istnieje i jest skończona, to mówimy, że całka niewłaściwa jest zbieżna, natomiast jeżeli granica ta nie istnieje lub jest niewłaściwa, to mówimy, że całka jest rozbieżna.
Przykład 2.
Obliczymy całkę niewłaściwą .
Rozwiązanie:
Można zaobserwować (patrz aplet poniżej), że całka ta jest "wolniej zbieżna" niż całka z przykładu 1.
3. Niech będzie funkcją całkowalną na każdym skończonym przedziale domkniętym i niech będzie dowolną liczbą. Jeżeli obie całki niewłaściwe oraz istnieją i są zbieżne, to całkę nazywamy całką niewłaściwą na przedziale .
Pole trapezu krzywoliniowego
Niech funkcje oraz będą ciągłe na przedziale oraz niech dla każdego .
Pole trapezu krzywoliniowego ograniczonego wykresami funkcji i oraz prostymi , wyraża się wzorem:
Metody przybliżonego obliczania całek
W GeoGebrze dostępne są następujące polecenia związane z metodami przybliżonego całkowania:
SumaDolna(f,a,b,n),
SumaGórna(f,a,b,n),
SumaProstokątna(f,a,b,n,d),
SumaTrapezowa(f,a,b,n),
gdzie oznacza funkcję, i - końce przedziału całkowania, - liczbę odpowiednio prostokątów/trapezów, - jest usytuowaniem punktu pośredniego podziału (we wszystkich przedziałach jednakowo).
Ćwiczenie
Sprawdź działanie poleceń: SumaDolna(...), SumaGórna(...), SumaProstokątna(...), SumaTrapezowa(...),
dla funkcji wybranych z listy, a następnie rozwiąż zadanie na kolejnej karcie. Możesz zmienić funkcje, przedział całkowania.
Saving…
All changes saved
Error
A timeout occurred. Trying to re-save …
Sorry, but the server is not responding. Please wait a few minutes and then try to save again.