Całka funkcji jednej zmiennej
[color=#c51414][b]Laboratorium matematyczne z GeoGebrą[/b][/color] Skrypt dla studentów uczelni technicznych [b]Joanna Rzepecka, Elżbieta Kotlicka-Dwurznik Politechnika Łódzka, Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki[/b] Projekt finansowany w ramach budżetu zadaniowego PŁ „Granty dydaktyczne PŁ” [url=https://port.edu.p.lodz.pl/course/view.php?id=41]Strona projektu na platformie Wikamp[/url] Łódź 2019
Table of Contents
- 1. Całka nieoznaczona
- Funkcja pierwotna
- Całkowanie przez części
- Całkowanie przez podstawienie
- Całkowanie funkcji wymiernych (1)
- Całkowanie funkcji wymiernych (2)
- Całkowanie funkcji wymiernych (3)
- 2. Całka oznaczona
- Całka Riemanna - definicja
- Funkcja górnej granicy całkowania
- Przykład 2.1
- Interpretacja geometryczna
- Przykład 2.2
- Zadanie 1
- Przykład 2.3
- Twierdzenie Newtona-Leibniza
- Wartość średnia funkcji
- Zadanie 1
- Własności całki oznaczonej
- 3. Całka niewłaściwa
- Całka niewłaściwa (1)
- Całka niewłaściwa (2)
- 4. Zastosowania całek oznaczonych
- Pole trapezu krzywoliniowego
- Przykład 4.1
- Przykład 4.2
- Przykład 4.3
- Przykład 4.4
- Długość krzywej
- Przykład 4.5
- Objętość bryły obrotowej
- Przykład 4.6
- Pole powierzchni obrotowej
- Przykład 4.7
- 5. Całkowanie przybliżone
- Metody przybliżonego obliczania całek
- Zadanie (o panelach)
- Przybliżanie długości krzywej
Funkcja pierwotna
Mówimy, że funkcja [math]F[/math] jest [color=#c51414]funkcją pierwotną[/color] funkcji [math]f[/math] w przedziale otwartym [math]I[/math], jeśli [math]F'(x)=f(x)[/math] dla [math]x\in I[/math].[br][br][color=#c51414]Całką nieoznaczoną [/color] funkcji [math]f[/math] na przedziale [math]I[/math] nazywamy zbiór wszystkich funkcji pierwotnych funkcji [math]f[/math] na tym przedziale. Zapisujemy:[center][math] \int f(x)\;dx = F(x) + C,[/math] [/center]gdzie [math]F[/math] oznacza dowolnie ustaloną funkcję pierwotną funkcji [math]f[/math], a [math]C[/math] - dowolną stałą zwaną stałą całkowania. [br]Funkcję [math]f[/math], dla której istnieje całka oznaczona na pewnym przedziale, nazywa się [color=#c41414]funkcją całkowalną[/color] na tym przedziale.[br][br][b]Twierdzenie.[/b] Każda funkcja ciągła na pewnym przedziale jest funkcją całkowalną na tym przedziale.[br]
Ćwiczenie 1.
Korzystając z poniższego apletu narysuj kilka funkcji pierwotnych dla funkcji danych wzorem: [br]a) [math]f\left(x\right)=xe^{-x^2}[/math], b) [math]f\left(x\right)=\tfrac{1}{1+x^2}[/math] [br][br][b][u]Uwaga[/u][/b]. Podczas obliczania całki nieoznaczonej w Widoku CAS lub w Widoku Algebry pojawia się stała [math]c_i[/math], której wartość zależy od ustawienia suwaka (Widok Algebry), natomiast indeksowanie - od ilości obliczanych całek. W menu kontekstowym funkcji [math]F[/math] (Widok Grafiki lub Algebry) została zaznaczona opcja rysowania śladu wykresu.
[b][u]Uwaga[/u]. [/b]Funkcja pierwotna funkcji elementarnej nie zawsze jest funkcją elementarną. Na przykład funkcje pierwotne funkcji: [math]\frac{\sin x}{x}, \;e^{x^2},\;\frac{1}{\ln x}, \,\frac{e^x}{x}[/math] nie są funkcjami elementarnymi. Do ich przedstawienia w programach typu CAS stosuje się funkcje specjalne (patrz np. [url=https://pl.wikipedia.org/wiki/Funkcje_specjalne]https://pl.wikipedia.org/wiki/Funkcje_specjalne[/url]). Takimi funkcjami są m.in. sinus całkowy zdefiniowany wzorem [math]\textrm{Si}\left(x\right)=\limits\int_0^x\frac{\sin t}{t}dx[/math], czy funkcja błędu [math]\textrm{erf}\left(x\right)=\frac{2}{\pi}\limits\int_0^x e^{-t^2}dt[/math].
Ćwiczenie 2.
Zaznacz funkcje, których funkcje pierwotne nie są funkcjami elementarnymi. [br]Sprawdź w poniższym aplecie GeoGebry, czy odpowiedziałeś poprawnie. Do obliczania całek zastosuj narzędzie [icon]/images/ggb/toolbar/mode_integral.png[/icon] dostępne w pasku narzędziowym Widoku CAS lub skorzystaj z wirtualnej klawiatury.
Całka Riemanna - definicja
Niech [math]a=x_{0} < x_{1} < \ldots < x_{n}=b[/math]. Uporządkowany w ten sposób zbiór [math]P_n =\{ x_{0}, x_{1}, \ldots , x_{n}\}\subset [a,b][/math] nazywamy [color=#cc0000]podziałem przedziału[/color] [math][a,b][/math]. Jeżeli długość przedziału [math][x_{k-1},x_{k}][/math] oznaczymy symbolem [math]\Delta x_k[/math], to [math]\Delta x_{k}=x_{k}-x_{k-1}[/math] dla [math]k=1,\ldots ,n[/math]. Największą z liczb [math]\Delta x_k[/math] nazywamy [color=#cc0000]średnicą[/color] rozważanego [color=#cc0000]podziału [/color]i oznaczamy przez [math]\delta_n[/math], tzn. [math]\delta_n=\limits\max_{k\in \{1, \ldots, n \} }\Delta {x_k}[/math]. Mówimy, że ciąg podziałów [math](P_n)[/math] przedziału [math][a,b][/math] jest [color=#cc0000]ciągiem normalnym podziałów[/color] , gdy [math]\lim\limits_{n\to\infty}\delta_{n}=0[/math].
Niech funkcja [math]f[/math] będzie określona i ograniczona w przedziale [math][a,b][/math] i niech [math]P_n[/math] będzie podziałem przedziału [math][a,b][/math], [math]P_n =\{ x_{0}, x_{1}, \ldots , x_{n}\}\subset [a,b][/math]. Niech ponadto dane będą punkty pośrednie [math]\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots , \xi_{n}[/math] takie, że [math]\xi_k\in[x_{k-1},x_k][/math] dla [math]k=1,2,\ldots , n[/math]. [color=#cc0000]Sumą całkową (sumą Riemanna)[/color] funkcji [math]f[/math] dla podziału [math]P_n[/math] i dla wybranych punktów pośrednich nazywamy [br][center][math]S_n=\limits\sum_{k=1}^{n}f(\xi_k)\Delta {x_k}[/math].[/center][br]Jeżeli dla każdego normalnego ciągu podziałów przedziału [math][a,b][/math] istnieje ta sama skończona granica ciągu [math](S_n)[/math] i nie zależy ona od wyboru punktów pośrednich [math]\xi_k[/math] , to nazywamy ją [color=#cc0000]całką oznaczoną Riemanna[/color] funkcji [math]f[/math] na przedziale [math][a,b][/math] i oznaczamy przez [br][center][math]\int\limits_{a}^{b}f(x) \,dx[/math][/center]
Ćwiczenie 1.
Korzystając z powyższego apletu wylosuj kilka nowych punktów podziału przedziału [math][a,b][/math] oraz punktów pośrednich dla rozważanej funkcji [math]f[/math]. Zaobserwuj jak zmieniają się wartości sum całkowych [math]S_n[/math] w zależności od podziałów oraz w zależności od [math]n[/math]. Otrzymane wyniki możesz porównać z przybliżoną wartością całki na tym przedziale (klikając na symbol całki).
Całka niewłaściwa (1)
[b][size=150]1.[/size][/b] Niech [math]f:[a,\infty)\to\mathbb{R}[/math] będzie funkcją całkowalną na każdym skończonym przedziale domkniętym [math]\left[a,T\right][/math]. Granicę [center][math]\lim_{T\to\infty}\int\limits_a^{T}\! f(x)\,dx[/math][/center]nazywamy [color=#cc0000]całką niewłaściwą funkcji [/color][math]f[/math][color=#cc0000] na przedziale [/color][math][a,\infty)[/math] i oznaczamy [math]\int_a^{\infty}\!\!\!f\left(x\right)\,dx[/math].[br]Jeżeli powyższa granica istnieje i jest skończona, to mówimy, że całka niewłaściwa [math]\int_a^{\infty}\!\!\!f(x)\,dx[/math] jest [color=#cc0000]zbieżna[/color], natomiast jeżeli granica ta nie istnieje lub jest niewłaściwa, to mówimy, że całka [math]\int_a^{\infty}\!\!\!f\left(x\right)\,dx[/math] jest [color=#cc0000]rozbieżna[/color].
Przykład 1.
Obliczymy całkę niewłaściwą [math]\int_0^{\infty}\!\!\!e^{-x}\,dx[/math][br][br][u]Rozwiązanie:[/u][br][center][math]\int_0^{\infty}\!\!\!e^{-x}\,dx=\lim\limits_{T\to\infty}\int_0^{T}\!\!\!e^{-x}\,dx=\lim\limits_{T\to\infty}\big[-e^{-x}\big]\,\bigg|_{0}^{T}=\lim\limits_{T\to\infty}\big(-e^{-T}+e^{0}\big)=0+1=1[/math][/center][br]Poniższy aplet pokazuje jak zmienia się wartość całki wraz ze wzrostem wartości parametru [math]T[/math].
[b][size=150]2.[/size][/b] Niech [math]f:(-\infty,b]\to\mathbb{R}[/math] będzie funkcją całkowalną na każdym skończonym przedziale domkniętym [math]\left[T,b\right][/math]. Granicę [center][math]\lim_{T\to-\infty}\int\limits_{T}^{b}\! f(x)\,dx[/math][/center]nazywamy [color=#cc0000]całką niewłaściwą funkcji [/color][math]f[/math][color=#cc0000] na przedziale [/color][math](-\infty,b][/math] i oznaczamy [math]\int_{-\infty}^{b}\!\!\!f\left(x\right)\,dx[/math].[br]Jeżeli powyższa granica istnieje i jest skończona, to mówimy, że całka niewłaściwa [math]\int_{-\infty}^{b}\!\!\!f\left(x\right)\,dx[/math] jest [color=#cc0000]zbieżna[/color], natomiast jeżeli granica ta nie istnieje lub jest niewłaściwa, to mówimy, że całka [math]\int_{-\infty}^{b}\!\!\!f\left(x\right)\,dx[/math] jest [color=#cc0000]rozbieżna[/color].
Przykład 2.
Obliczymy całkę niewłaściwą [math]\int\limits_{-\infty}^{1}\!\frac{1}{(x-2)^2}\,dx[/math].[br][br][u]Rozwiązanie:[/u][br][center][math]\int\limits_{-\infty}^{1}\!\frac{1}{(x-2)^2}\,dx=\lim\limits_{T\to-\infty}\int\limits_{T}^{1}\!\frac{1}{(x-2)^2}\,dx=\lim\limits_{T\to-\infty}\bigg[\frac{-1}{x-2}\bigg]\,\bigg|_{T}^{1}=\lim\limits_{T\to-\infty}\bigg(\frac{-1}{1-2}-\frac{-1}{T-2}\bigg)=1-0=1[/math][/center][br]Można zaobserwować (patrz aplet poniżej), że całka ta jest "wolniej zbieżna" niż całka z przykładu 1.
[b][size=150]3.[/size] [/b]Niech [math]f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}[/math] będzie funkcją całkowalną na każdym skończonym przedziale domkniętym [math]\left[a,b\right][/math] i niech [math]c[/math] będzie dowolną liczbą. Jeżeli obie całki niewłaściwe [math]\int_{-\infty}^{c}\!\!f\left(x\right)\,dx[/math] oraz [math]\int_{c}^{\infty}\!\!f\left(x\right)\,dx[/math] istnieją i są zbieżne, to całkę [math]\int_{-\infty}^{\infty}\!\!f\left(x\right)\,dx=\int_{-\infty}^{c}\!\!f\left(x\right)\,dx+\int_{c}^{\infty}\!\!f\left(x\right)\,dx[/math][color=#cc0000] nazywamy całką niewłaściwą na przedziale [math](-\infty,\infty)[/math][/color].
Pole trapezu krzywoliniowego
Niech funkcje [math]f[/math] oraz [math]g[/math] będą ciągłe na przedziale [math][a,b][/math] oraz niech [math]g(x)\le f(x)[/math] dla każdego [math]x\in[a,b][/math].[br]Pole trapezu krzywoliniowego [math]D[/math] ograniczonego wykresami funkcji [math]f[/math] i [math]g[/math] oraz prostymi [math]x=a[/math], [math]x=b[/math] wyraża się wzorem:[br][center][math]|D|=\int\limits_{a}^{b}(f(x)-g(x))\,dx[/math][/center]
Metody przybliżonego obliczania całek
W GeoGebrze dostępne są następujące polecenia związane z metodami przybliżonego całkowania: [br][math]\bullet[/math] [b]SumaDolna(f,a,b,n)[/b], [br][math]\bullet[/math] [b]SumaGórna(f,a,b,n)[/b], [br][math]\bullet[/math] [b]SumaProstokątna(f,a,b,n,d)[/b], [br][math]\bullet[/math] [b]SumaTrapezowa(f,a,b,n),[/b] [br]gdzie [math]f[/math] oznacza funkcję, [math]a[/math] i [math]b[/math] - końce przedziału całkowania, [math]n[/math] - liczbę odpowiednio prostokątów/trapezów, [math]d\in[0,1][/math] - jest usytuowaniem punktu pośredniego podziału (we wszystkich przedziałach jednakowo). [br]
Ćwiczenie
Sprawdź działanie poleceń: [b]SumaDolna(...)[/b], [b]SumaGórna(...)[/b], [b]SumaProstokątna(...)[/b], [b]SumaTrapezowa(...),[/b] [br]dla funkcji wybranych z listy, a następnie rozwiąż zadanie na kolejnej karcie. Możesz zmienić funkcje, przedział całkowania.