[size=50][right]Diese Aktivität ist eine Seite des [color=#980000][b]geogebra-books[/b][/color] [br] [url=https://www.geogebra.org/m/nzfg796n][color=#0000ff][u][b]Elliptische Funktionen & Bizirkulare Quartiken & ...[/b][/u][/color] [/url]([color=#ff7700][i][b]27.07.2023[/b][/i][/color])[/right][/size]

[size=85][b]CASSINI[/b]-Kurven [math]\left|z-f_1\right|^2\cdot\left|z-f_2\right|^2=\mathbf{const}[/math] mit [math]z,f_1,f_2\in\mathbb{C}[/math] sind [b][i][color=#ff7700]bizirkulare Quartiken[/color][/i][/b].[br]In Analogie zur [b][i][color=#6aa84f]Gärtnerkonstruktion[/color][/i][/b] von [b][i][color=#ff7700]Ellipsen[/color][/i][/b] [math]\left|z-f_1\right|^2+\left|z-f_{^2}\right|^2=\mathbf{const}[/math] werden [math]f_1,f_2[/math] auch im [b]CASSINI[/b]-Falle[br]als [b][i][color=#00ff00]Brennpunkte[/color][/i][/b] bezeichnet.[br]Im Applet oben ist die [b][i]CASSINI[/i][/b]-Schar definiert als [math]\left|z-f\right|^2\cdot\left|z+f\right|^2=const=f^4-\delta\delta[/math] mit [math]f\in\mathbb{R},f>1[/math] und [math]\delta\delta\in\mathbb{R}[/math].[br]Als Schar [/size][size=85][b][i][color=#ff7700]bizirkularer Quartiken[/color][/i][/b][/size][size=85] kann man die [b]CASSINI[/b]-Schar nicht als [b][i][color=#6aa84f]konfokal[/color][/i][/b] bezeichnen:[br]neben den gemeinsamen [b][i][color=#00ff00]Brennpunkten[/color][/i][/b] [math]\pm f[/math] besitzen die Kurven jeweils [b][color=#980000]2[/color][/b] weitere, aber von Kurve zu Kurve [br]unterschiedliche [b][i][color=#00ff00]Brennpunkte[/color][/i][/b].[br]Implizit sind die [b]CASSINI[/b]-Kurven definiert durch die Gleichungen: [br][/size][list][*][size=85][math]\left|z-f\right|^2\cdot\left|z+f\right|^2-const=\\ =\left(\left(x-f\right)^2+y^2\right)\cdot\left(\left(x+f\right)^2+y^2\right)-f^4+\delta\delta=\\ =\left(x^2+y^2\right)^2-2\cdot f^2\cdot x^2+2\cdot f^2\cdot y^2+\delta\delta=0[/math][br][/size][/*][/list][size=85]In dieser Schar liegen [b][color=#980000]3[/color][/b] [b][i][color=#ff7700]bizirkulare Quartiken[/color][/i][/b] in [b][i][color=#0000ff]Normalform[/color][/i][/b]:[br][/size][list][*][size=85][math]\delta\delta=\delta=1[/math]: Die [b][i][color=#ff7700]Quartik[/color][/i][/b] ist [b]2[/b]-[b][i]teilig[/i][/b] und besitzt die [b][i][color=#00ff00]Brennpunkte[/color][/i][/b] [math]+f,-f,+\frac{1}{f},-\frac{1}{f}[/math]. [br]Sie ist [b][i][color=#f1c232]achsensymmetrisch[/color][/i][/b] und [b][i][color=#f1c232]symmmetrisch[/color][/i][/b] zum [b][i][color=#f6b26b]Einheitskreis[/color][/i][/b].[/size][/*][*][size=85][math]\delta\delta=\delta=0[/math]: Die [b][i][color=#ff7700]Quartik[/color][/i][/b] ist eine [b]Bernoulli[/b]-[i][b]Lemniskate. [/b][/i][br]Im Doppelpunkt [math]0[/math] durchdringt die Kurve sich unter 90°. [br]Gespiegelt am [/size][size=85][b][i][color=#f6b26b]Einheitskreis[/color][/i][/b][/size][size=85] erhält man eine [b][i][color=#ff7700]gleichseitige Hyperbel[/color][/i][/b]. [br][b][i][color=#00ff00]Brennpunkte[/color][/i][/b] sind [math]+f,-f[/math] und der doppelt-zählende Ursprung.[/size][/*][*][size=85][b][math]\delta\delta=\delta=-1[/math][/b]: Die [b][i][color=#ff7700]Quartik[/color][/i][/b] ist [b]1[/b]-[b][i]teilig[/i][/b], [b][i][color=#e69138]achsensymmetrisch[/color][/i][/b], die [b][i][color=#00ff00]Brennpunkte[/color][/i][/b] sind [math]+f,-f,\frac{i}{f},-\frac{i}{f}[/math].[i][b][br][/b][/i][/size][/*][/list][size=85]Aus den Gleichungen lassen sich die [b][i][color=#ff7700]Scheitelpunkte [/color][/i][/b]berechnen. Für jede der [b]3[/b] [b]CASSINI[/b]-Kurven wird [br]zum [b][i][color=#00ff00]Brennpunkt[/color][/i][/b] [math]+f[/math] der[b][i][color=#0000ff] Leitkreis[/color][/i][/b] für die [math]y[/math]-achsensymmetrischen [b][i][color=#999999]doppelt berührenden[/color][/i][/b] [b][i][color=#ff0000]Kreise[/color][/i][/b] angezeigt.[br]Diese [b][i][color=#0000ff]Leitkreise[/color][/i][/b] besitzen eine für [b]CASSINI[/b]-[b][i][color=#ff7700]Quartiken[/color][/i][/b] charakteristische Eigenschaft: ihr [b][i][color=#0000ff]Mittelpunkt[/color][/i][/b] stimmt mit [math]f[/math] überein![br]Die Konstruktion des [b][i][color=#0000ff]Leitkreises[/color][/i][/b] beruht auf folgender Eigenschaft: spiegelt man den ausgewählten [b][i][color=#00ff00]Brennpunkt [/color][/i][/b]an den [/size][size=85][b][i][color=#999999][br]doppelt berührenden[/color][/i][/b] [b][i][color=#ff0000]Kreisen[/color][/i][/b][/size][size=85], so liegt der Spiegelpunkt auf dem [/size][size=85][b][i][color=#0000ff]Leitkreis[/color][/i][/b][/size][size=85]. Umgekehrt konstruiert man zu jedem [b][i][color=#00ffff]Punkt[/color][/i][/b] [b][color=#00ffff]q[/color][/b][br]auf dem [/size][size=85][b][i][color=#0000ff]Leitkreis[/color][/i][/b][/size][size=85] den zugehörigen [/size][size=85][b][i][color=#999999]doppelt berührenden[/color][/i][/b] [b][i][color=#ff0000]Kreis[/color][/i][/b][/size][size=85] und die [b][i][color=#ff7700]Berührpunkte[/color][/i][/b] mit der [/size][size=85][b][i][color=#ff7700]Quartik[/color][/i][/b][/size][size=85].[br]Die [/size][size=85][b][i][color=#999999]doppelt berührenden[/color][/i][/b] [b][i][color=#ff0000]Kreise[/color][/i][/b][/size][size=85] und damit die [/size][size=85][b][i][color=#ff7700]Quartik[/color][/i][/b][/size][size=85] sind in den [b][i][color=#ff7700]Berührpunkten[/color][/i][/b] [b][i][color=#0000ff]Winkelhalbierende[/color][/i][/b] der [b][i][color=#ff0000]Büschelkreise[/color][/i][/b] [br]aus den [b][i][color=#ff0000]Kreisbüscheln[/color][/i][/b], welche von den [math]y[/math]-achsensymmetrischen [b][i][color=#00ff00]Brennpunktspaaren[/color][/i][/b] erzeugt werden.[/size]

[size=85]Die [b]CASSINI[/b]-Kurven besitzen noch weitere bemerkenswerte Eigenschaften, die an den [b][color=#980000]3[/color][/b] [b]CASSINI[/b]-Kurven in [b][i][color=#0000ff]Normalform[/color][/i][/b][br]exemplarisch gezeigt werden.[br] [/size][size=85]siehe auch das [b][color=#980000]book[/color][/b]-Kapitel [/size][size=85] [math]\hookrightarrow[/math] [url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb#chapter/168948][b][i][u][color=#0000ff]Berührorte oder CASSINI-Kurven[/color][/u][/i][/b][/url] im [math]\hookrightarrow[/math] [url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb][b][color=#980000]book[/color][/b] [b][u][color=#0000ff]Moebiusebene[/color][/u][/b][/url]. [br][math]\nearrow[/math] In einem geeigneten [b][i][color=#9900ff]euklidischen Koordinatensystem[/color][/i][/b] ist eine [b]CASSINI[/b]-Kurve Bild eines [b][i][color=#ff0000]Kreises[/color][/i][/b] unter der komplexen[br][b][i][color=#6aa84f]Wurzelfunktion[/color][/i][/b]: für [math]w=z^2[/math] gilt [math]\left|w-f^2\right|^2=\mathbf{const}[/math].[br]Der [b]THALES[/b]-[b][i][color=#ff0000]Kreis[/color][/i][/b] oder der [/size][size=85][b][i][color=#ff00ff]Peripheriewinkel-Kreis[/color][/i][/b][/size][size=85] ist der Ort, auf welchem sich die [b][i][color=#ff0000]Geraden[/color][/i][/b] zweier [b][i][color=#ff0000]Geradenbüschel[/color][/i][/b] [br]unter konstantem Winkel (zB. [b][i][color=#0000ff]orthogonal[/color][/i][/b]) schneiden. [br]Die [b][i][color=#ff0000]Büschelpunkte[/color][/i][/b] der [b][i][color=#ff0000]Geradenbüschel[/color][/i][/b] liegen dabei auf dem [b][i][color=#ff00ff]Peripheriewinkel-Kreis[/color][/i][/b].[br][math]\nearrow[/math] [b]CASSINI[/b]-[b][i][color=#ff7700]Quartiken[/color][/i][/b] sind analog der [b][i][color=#ff00ff]Peripheriewinkel-Ort[/color][/i][/b] für [b][i][color=#ff0000]Kreisbüschel[/color][/i][/b]: Die [b][i][color=#ff0000]Kreise[/color][/i][/b] zweier [b][i][color=#ff0000]Kreisbüschel[/color][/i][/b], deren [br][b][i][color=#ff0000]Büschelpunkte[/color][/i][/b] [b][i][color=#e69138]ursprungs-symmetrisch[/color][/i][/b] auf der [b]CASSINI[/b]-[b][i][color=#ff7700]Quartik[/color][/i][/b] liegen, schneiden sich auf der [/size][size=85][b]CASSINI[/b]-[b][i][color=#ff7700]Quartik[/color][/i][/b][/size][size=85] unter [b][i][color=#0000ff]konstantem Winkel[/color][/i][/b]![br]Für [math]\delta=1[/math] wird die [/size][size=85][b]CASSINI[/b]-[b][i][color=#ff7700]Quartik[/color][/i][/b][/size][size=85] oben quasi als "[b]THALES[/b]-[b][i][color=#ff0000]Kreis[/color][/i][/b]" für [b][i][color=#ff0000]Kreisbüschel[/color][/i][/b] angezeigt. [br][b][i][color=#ff0000]Büschelpunkte[/color][/i][/b] sind die ursprungs-symmetrischen [b][i][color=#ff0000]Scheitelpunkts[/color][/i][/b]-Paare[br]Für [math]\delta=-1[/math] [b][i][color=#0000ff]berühren[/color][/i][/b] sich die [b][i][color=#ff0000]Büschelkreise[/color][/i][/b] auf der [b][i][color=#ff7700]Quartik[/color][/i][/b]. [b][i][color=#ff0000]Büschel-Punkte[/color][/i][/b] sind die [b][i][color=#ff7700]Scheitelpunkte[/color][/i][/b] auf der [math]x[/math]-Achse[br] bzw. auf der [math]y[/math]-Achse.[br]Für die [b]BERNOULLI[/b]-[b][i][color=#ff7700]Lemniskate [/color][/i][/b]( [math]\delta=0[/math] ) schneiden sich die [b][i][color=#ff0000]Büschelkreise[/color][/i][/b] durch die [math]x[/math]-Achsen-[b][i][color=#ff7700]Scheitel[/color][/i][/b] und [br]die [b][i][color=#ff0000]Kreise[/color][/i][/b] eines [b][i][color=#ff0000]parabolischen Kreisbüschels[/color][/i][/b] im Ursprung (Doppelpunkt der [b][i][color=#ff7700]Lemniskate[/color][/i][/b]) unter einem konstanten Winkel,[br]den man mit dem [b][i][color=#00ffff]Punkt[/color][/i][/b] [b][color=#00ffff]pp[/color][/b] ändern kann![/size]

[size=85]Eine Schar von [b]CASSINI[/b]-[b][i][color=#ff7700]Quartiken[/color][/i][/b] mit [math]+1,-1[/math] als "[b][i][color=#00ff00]Brennpunkten[/color][/i][/b]" kann man auch als [math]y=\mathbf{const}[/math] Kurven[br]einer analytischen [b][i][color=#9900ff]komplexen Funktion[/color][/i][/b] erhalten: im [math]\hookrightarrow[/math] [b][i][color=#980000]book[/color][/i][/b] [url=https://www.geogebra.org/m/xtueknna#material/gtn4dhr2][b][i][u][color=#0000ff]geometry of some complex functions/CASSINI-Funktion[/color][/u][/i][/b][/url].[br]Diese [b][i][color=#9900ff]Funktion[/color][/i][/b] ist [b][i]nicht[/i][/b] elliptisch![/size]