Um die [b]Krümmungskreise einer Ellipse[/b] zu konstruieren, gibt es eine einfache Vorgangsweise:[br]- Zeichne die Strecke BC.[br]- Lege eine Parallele zur Hauptachse durch C und eine Parallel zur Nebenachse durch B. Der Schnittpunkt dieser Geraden sei E.[br]- Errichte eine Normale auf die Strecke BC durch E. [br]Der Schnittpunkt dieser Normalen mit der Haupt- und Nebenachse ergibt die [b]Mittelpunkte der Krümmungskreise[/b].[br][br]Einfache Überlegungen mithilfe von ähnlichen Dreiecken führen auf die [b]Radien der Krümmungskreise[/b] in den Punkten B und C: [br][center] [math]r_B=\frac{b^2}{a}[/math] und [math]r_C=\frac{a^2}{b}[/math][/center][b]Aufgabe[/b][br]Arbeite die Konstruktion mithilfe der [b]Naviagtationsleiste [/b]schrittweise ab.

Man kann die [b]Krümmungskreise [/b]aber auch mithilfe der [b]Algebra [/b]finden.[br][br]Ein Kreis, dessen Mittelpunkt (0, y[sub]M[/sub]) auf der y-Achse liegt, hat mit der Ellipse maximal vier Schnittpunkte. Für den Krümmungskreis im Nebenscheitel C müssen diese vier Schnittpunkte in C zusammenfallen.[br]Daraus leitet sich folgende Vorgangsweise ab:[br][list][*]Schnitt von Ellipse und Kreis mit M(0, y[sub]M[/sub]), der bereits durch C geht und noch zwei weitere Schnittpunkte mit der Ellipse hat.[/*][*]Die y-Werte dieser Schnittpunkte müssen gleich b sein.[/*][*]Lösen der Gleichung nach y[sub]M[/sub] und Berechnung des Radius des Krümmungskreises.[/*][/list]

Aber auch mit den Mitteln der [b]Analysis [/b]lässt sich der Radius des Krümmungskreises berechnen.[br][br]Die Krümmung des Graphen einer Funktion f an der Stelle x[sub]0[/sub] wird berechnet mit [math]\kappa=\frac{f''\left(x_0\right)}{\left(1+\left(f'\left(x_0\right)\right)^2\right)^{3 / 2}}[/math] und daraus folgend der Radius des Krümmungskreises an der Stelle x[sub]0[/sub] mit [math]r=\frac{1}{\kappa}[/math].

Auch hier erhalten wir als Krümmungsradius [math]r_C=\frac{a^2}{b}[/math].[br]Das Vorzeichen kann so interpretiert werden, dass der Mittelpunkt des Krümmungsradius unterhalb des Graphen liegt, die Ellipse im Nebenscheitel C also negativ gekrümmt ist.