Familie Knöpfchen baut ein Haus und plant nun die Garagenauffahrt. Da das Grundstück an einem Hang liegt, muss die Auffahrt einen Meter Höhenunterschied überwinden. Dabei ist zu beachten, dass an der steilsten Stelle eine Steigung von 15%=0,15 nicht überschritten wird. [br][br]Die Funktion der Garagenauffahrt lässt sich mit Hilfe der Länge [math]L[/math] der Auffahrt mit einer Funktionsgleichung beschreiben: [math]f_L(x)=-2\cdot\left(\frac{x}{L}\right)^3+3\cdot\left(\frac{x}{L}\right)^2[/math] .[br][br]Die steilste Stelle der Auffahrt befindet sich dann immer bei [math]L/2[/math], also der halben Länge der Garagenauffahrt.[br][br]Eigentlich ist es die Funktion [math]f(x)=-2\cdot x^3+3\cdot x^2[/math], die um den Faktor [math]L[/math] entlang der Abszisse gestreckt ist, fällt Maja Knöpfchen auf, die gerade die 11te Klasse im beruflichen Gymnasium besucht.

Wähle die Länge [math]L[/math] der Garagenauffahrt so, dass die Steigung nicht größer ist, als 0,15 (=15%).[br]Das heißt, wähle ein [math]L[/math] , setze dieses in die Funktionsgleichung ein, und berechnen dann die Tangentensteigung an der Stelle [math]x=\frac{L}{2}[/math] mit der Ableitungsfunktion von [math]f_L(x)[/math]. [br][b]Wie lang muss die Auffahrt mindestens sein, damit die Bedingung erfüllt ist?[/b]