[table][tr][td][url=https://www.geogebra.org/m/y9cj4aqt#material/vxq7ydsh][img]data:image/png;base64,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[/img][/url][/td][td] [size=50]Diese Aktivität ist eine Seite des [color=#980000][b]geogebra-books[/b][/color] [br] [color=#0000ff][u][b][url=https://www.geogebra.org/m/nzfg796n]Elliptische Funktionen & Bizirkulare Quartiken & ...[/url][/b][/u][/color] ([color=#ff7700][i][b]21.06.2023[/b][/i][/color])[/size][/td][/tr][/table][right][size=50][br][/size][/right]

[size=85]Im Applet oben ist eine [b]2-[/b]teilige [b][i][color=#ff7700]bizirkulare Quartik[/color][/i][/b] mit der Gleichung in Normalform[br] [math]\left(x^2+y^2\right)-2\cdot A_x\cdot x^2-2\cdot B_y\cdot y^2+1=0[/math], [math]A_x,B_y\in\mathbb{R}[/math][br]vorgegeben: die gestrichelte Kurve.[br]Die [b][i][color=#00ff00]Brennpunkte[/color][/i][/b] [b][color=#00ff00]f[/color][/b], -[b][color=#00ff00]f[/color][/b], 1/[b][color=#00ff00]f[/color][/b], -1/[b][color=#00ff00]f[/color][/b], berechnet mit Hilfe von [b][size=100](*)[/size][/b] [math]Q=\frac{1-A_x\cdot B_y}{A_x-B_y}[/math],[br][/size][list][*][math]f=\sqrt{Q+\sqrt{Q^2-1+0\cdot i}}[/math][br][/*][/list][size=85]In [b][color=#980000]geogebra[/color][/b] wird durch den "Trick" [math]+0\cdot i[/math] die [b][i][color=#38761d]Wurzelfunktion[/color][/i][/b] komplex berechnet! Dies hat die überraschende Folge, dass[br]die [b][i][color=#00ff00]Brennpunkte[/color][/i][/b] auch dann komplex berechnet werden, wenn sie auf der [math]y[/math]-Achse oder auf dem [b][i][color=#b45f06]Einheitkreis[/color][/i][/b] liegen![br][br][b][i][u][color=#cc0000]Warum[/color][/u][/i][/b] "[b][i][color=#00ff00][size=100]Brennpunkte[/size][/color][/i][/b]" [color=#cc0000][b][i]?[/i][/b][/color][br]Im Falle [b][i][color=#ff0000]konzyklischer[/color][/i][/b] [b][i][color=#00ff00]Brennpunkte[/color][/i][/b] kann man diese [b][color=#cc0000]4[/color][/b] [b][i][color=#00ff00]Brennpunkte[/color][/i][/b] auf [b][color=#cc0000]3[/color][/b] verschiedene Weisen aufteilen in die [br][b][i][color=#ff0000]Grund-Punkte-Paare[/color][/i][/b] von je [b][color=#cc0000]2[/color][/b] verschiedenen [b][color=#ff0000]elliptischen Kreisbüscheln[/color][/b]. Durch jeden [b][i][color=#ff0000]Punkt[/color][/i][/b] einer solchen [b][i][color=#ff7700]bizirkularen Quartik[/color][/i][/b][br]geht aus jedem der [b][i][color=#cc0000]2[/color][/i][/b] Kreisbüschel je [b][color=#cc0000]1[/color][/b] [b][i][color=#ff0000]Kreis[/color][/i][/b]. Die [b][i][color=#ff7700]Quartik[/color][/i][/b] ist [b][i][color=#0000ff]Winkelhalbierende[/color][/i][/b] dieser beiden [b][i][color=#ff0000]Kreise[/color][/i][/b].[br]Man könnte es auch [b][i][color=#ff00ff]dynamisch [/color][/i][/b]beschreiben: die sich[b][i][color=#9900ff] wellenförmig[/color][/i][/b] ausbreitenden [b][i][color=#ff0000]Kreise[/color][/i][/b] des einen [b][i][color=#ff0000]Büschels[/color][/i][/b] werden an[br]der [b][i][color=#ff7700]Quartik [/color][/i][/b]reflektiert in die [b][i][color=#ff0000]Kreise[/color][/i][/b] des anderen [b][i][color=#ff0000]Büschels[/color][/i][/b].[br][br][br]Da für [b][i][color=#38761d]konfokale[/color][/i][/b] [b][i][color=#ff7700]bizirkulare Quartiken[/color][/i][/b] die [b][i][color=#00ff00]Brennpunkte[/color][/i][/b] [b][color=#38761d]fix[/color][/b] sind, und damit [math]Q[/math] konstant ist, kann man aus der Formel [b](*)[/b][/size][br][size=85][b][u][color=#cc0000]1.[/color][/u][/b] zu vorgegebenem [/size][math]B'_y[/math] [size=85]das zugehörige[/size] [math]A'_x[/math] [size=85]berechnen[/size][br][size=85][b][u][color=#cc0000]2.[/color][/u][/b] zu vorgegebenem [b][i][color=#ff0000]Punkt[/color][/i][/b] [b][color=#ff0000]p[sub]0[/sub][/color][/b] die beiden [b][i][color=#0000ff]orthogonalen[/color][/i][/b] [b][i][color=#ff7700]bizirkularen Quartiken[/color][/i][/b] durch [b][color=#ff0000]p[sub]0[/sub][/color][/b] aus der [b][i][color=#38761d]konfokalen[/color][/i][/b] Schar berechnen.[/size][br][br][size=85]Der hierzu passende [b]Kalkül[/b]? Das Lösen quadratischer Gleichungen![/size] [size=50](Ein Schulmeister würde vielleicht sagen: [b]p-q-Formel![/b])[br][/size][size=85]Das [b][i][color=#00ffff]Vektorfeld[/color][/i][/b] ergibt sich aus der [b][i][color=#9900ff]elliptischen Differentialgleichung[/color][/i][/b] [math]\left(g'\right)^2=\left(g^2-f^2\right)\left(g^2-\frac{1}{f^2}\right)[/math].[br]Da die komplexe [/size][size=85][b][i][color=#38761d]Wurzelfunktion[/color][/i][/b][/size][size=85] im Spiel ist, wechselt das [b][i][color=#00ffff]Feld[/color][/i][/b] an manchen Stellen abrupt die Richtung.[br][br]Die Konstruktion [b][i][color=#999999]doppelt-berührender Kreise[/color][/i][/b] für die [b][i][color=#ff7700]Quartiken[/color][/i][/b] soll verdeutlichen, dass die [b][i][color=#ff7700]Quartiken[/color][/i][/b] [b][i][color=#ff00ff]Lösungskurven[/color][/i][/b] [br]der [b][i][color=#9900ff]Differentialgleichung[/color][/i][/b] sind. [br][br]Löst man die Sperre [icon]/images/ggb/toolbar/mode_keepinput.png[/icon][b][color=#38761d]f fix[/color][/b] für die Koeffizienten [math]A_x[/math] und [math]B_y[/math], so kann man durch Variation dieser Koeffizienten[br]die verschiedene mölichen Lagen [/size][size=85]der stets [b][i][color=#ff0000]konzyklischen[/color][/i][/b] [b][i][color=#00ff00]Brennpunkte[/color][/i][/b] und die Lagen [br][/size][size=85]der zugehörigen [b][i][color=#38761d]konfokalen[/color][/i][/b] [b][i][color=#ff7700]Quartiken[/color][/i][/b] erkunden. .[/size]

[size=85]Eigentlich unterscheiden sich [b][color=#cc0000]2[/color][/b]-teilige, [b][color=#cc0000]1[/color][/b]-teilige [b][i][color=#ff7700]bizirkulare Quartiken[/color][/i][/b] und [b][i][color=#ff7700]Kegelschnitte[/color][/i][/b] nur um ein [math]\delta\in\left\{1,0,-1\right\}[/math], [br]siehe [math]\hookrightarrow[/math] [b][i][color=#980000]book Möbiusebene[/color][/i][/b], [b][i][u][color=#0000ff][url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb#material/s9hvshds]Bizirkulare Quartiken - Die Formeln[/url][/color][/u][/i][/b][br]Mit [math]Q=\frac{A_x\cdot B_y+1}{B_y-A_x}[/math] berechnet man die [b][i][color=#00ff00]Brennpunkte[/color][/i][/b] der [b][color=#cc0000]1[/color][/b]-teiligen [b][i][color=#ff7700]Quartiken[/color][/i][/b]: [math]f=\sqrt{Q+\sqrt{q^2+1+0\cdot i}}[/math], [math]-f,\frac{i}{f},\frac{-i}{f}[/math].[br]Die [b][i][color=#ff7700]Quartik[/color][/i][/b]-Gleichung lautet: [math]\left(x^2+y^2\right)^2-2\cdot A_x\cdot x^2-2\cdot B_y\cdot y^2-1=0[/math].[br]Bei [b][i]fixen[/i][/b] [b][i][color=#00ff00]Brennpunkten[/color][/i][/b] berechnet man zu [math]B'_y[/math] das zugehörige [math]A'_x=\frac{B'_y\cdot Q-1}{B'_y+Q}[/math] und erhält damit [b][i][color=#38761d]konfokale[/color][/i][/b] [b][i][color=#ff7700]Quartiken[/color][/i][/b].[br]Mit den Lösungen einer [i]quadratischen Gleichung[/i] findet man die [b][color=#cc0000]2[/color][/b] [b][i][color=#0000ff]orthogonalen[/color][/i][/b] [b][i][color=#38761d]konfokalen[/color][/i][/b] [b][i][color=#ff7700]Quartiken[/color][/i][/b] durch einen Punkt [b][color=#ff0000]p[sub]0[/sub][/color][/b].[br][br]Die [b][i][color=#ff7700]Quartiken[/color][/i][/b] sind wieder [b][i][color=#0000ff]Winkelhalbierende[/color][/i][/b] der [b][i][color=#ff0000]Kreise [/color][/i][/b]zweier [color=#ff0000]Kreisbüschel[/color]: eines ist [b][i][color=#ff0000]elliptisch[/color][/i][/b], das andere [b][i][color=#ff0000]hyperbolisch[/color][/i][/b].[/size]