L'introduzione del calcolo degli integrali definiti nasce dalla necessità di determinare l'area di figure piane aventi contorno curvilineo chiuso. L'esempio più semplice è il cerchio, la cui area è stata determinata da [b]Archimede[/b] mediante il [color=#ff0000][b]metodo di eaustione[/b][/color]. Se si considerano due successioni di poligoni regolari di n lati inscritti e circoscritti al cerchio, si può dimostrare che l'area del cerchio coincide con il limite comune delle [u]due successioni[/u] costituite rispettivamente dalle aree dei poligoni inscritti e circoscritti al cerchio.[br]Consideriamo quindi una circonferenza di diametro unitario, la sua misura sarà quindi uguale a [br]2r x π =d x π =1 x π = π . [br]Poi consideriamo i poligoni regolari inscritti e circoscritti alla circonferenza. La loro area al variare del numero dei lati, sarà tale che approssimerà quella del cerchio per eccesso e per difetto. Facendo tendere il numero dei lati ad un valore elevato, si avrà che l'area tenderà ad assumere proprio il valore dell'area del cerchio πr[sup]2[/sup] . Con la costruzione possiamo verificare facilmente quanto detto.

Muovi la slider "[b][size=100][size=150]a[/size][/size][/b]", che rappresenta il numero di lati del poligono inscritto. Si vede chiaramente che all'aumentare di a le aree dei poligoni inscritti e circoscritti tendono ad assumere lo stesso valore dell'area del cerchio.