[size=85][size=100]Wo schneiden sich die [color=#ff0000][i][b]Geraden[/b][/i][/color] aus 2 [color=#ff0000][i][b]Geradenbüscheln[/b][/i][/color] unter einem [color=#0000ff][i][b]rechten Winkel[/b][/i][/color]?[/size][br][color=#cc0000][u][i][b]Antwort:[/b][/i][/u][/color] Die [color=#ff0000][i][b]Geraden[/b][/i][/color] aus 2 [color=#ff0000][i][b]Geradenbüschel[/b][/i][/color] schneiden sich auf dem [color=#0000ff][b][color=#000000]THALES[/color]-[color=#ff0000][i]Kreis[/i][/color][/b][/color] [color=#0000ff][i][b]rechtwinklig[/b][/i][/color].[br]Im Applet unten wird der THALES-Kreis als Ortskurve nach der angegebenen Bedingung erzeugt: [br]die [color=#38761D][i][b]Geraden[/b][/i][/color] des einen [color=#38761D][i][b]Büschels[/b][/i][/color] werden durch einen [color=#cc0000][i][b]Punkt[/b][/i][/color] auf einem [color=#38761D][i][b]konzentrischen Kreis[/b][/i][/color] um den[br][color=#38761D][i][b]Büschelpunkt[/b][/i][/color] bewegt! [br]Spiegelt man den anderen [color=#00ffff][i][b]Büschelpunkt[/b][/i][/color] an der bewegten [color=#38761D][i][b]Geraden[/b][/i][/color], so ist die [color=#00ffff][i][b]Verbindungsgerade[/b][/i][/color] [br][color=#0000ff][i][b]orthogonal[/b][/i][/color] dazu und schneidet in einem Punkt der gesuchten [color=#ff7700][i][b]Ortskurve[/b][/i][/color].[br][br]Die Frage: Wo berühren sich die [color=#ff0000][i][b]Geraden[/b][/i][/color] zweier [color=#ff0000][i][b]Geradenbüschel[/b][/i][/color]? - erscheint zunächst unsinnig! [br][color=#0000ff][b]Euklidisch[/b][/color] schneiden sich zwei [color=#ff0000][i][b]Geraden[/b][/i][/color] oder sie sind [color=#0000ff][i][b]parallel[/b][/i][/color]. [br][color=#0000ff][b]Möbiusgeometrisch[/b][/color] jedoch berühren zwei [color=#0000ff][i][b]parallele[/b][/i][/color] [color=#ff0000][i][b]Geraden[/b][/i][/color] sich in [math]\infty[/math]. [br][br][size=100]Wo schneiden sich die [color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color] zweier [color=#ff0000][i][b]elliptischen Kreisbüschel[/b][/i][/color] unter einem [color=#0000ff][i][b]rechten Winkel?[/b][/i][/color][br]Wo berühren sich die [color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color] zweier [color=#ff0000][i][b]elliptischen Kreisbüschel[/b][/i][/color]?[/size][br][color=#cc0000][i][b]Antwort[/b][/i][/color]: In beiden Fällen sind die [color=#ff7700][i][b]Ortskurven[/b][/i][/color] [color=#e69138][i][b]bizirkulare Quartiken[/b][/i][/color], die [color=#0000ff][i][b]möbiusgeometrisch[/b][/i][/color] Transformierte[br]von [b]CASSINI[/b]-[color=#ff00ff][i][b]Kurven[/b][/i][/color] sind![br]Ein [color=#ff0000][i][b]elliptisches Kreisbüschel[/b][/i][/color] besteht aus allen [color=#ff0000][b][i]Kreisen[/i][/b][/color] durch die zwei [color=#45818e][i][b]Grundpunkte[/b][/i][/color] eines solchen [color=#ff0000][i][b]Büschels[/b][/i][/color].[br]Die [color=#cc0000][i][b]ge[icon]/images/ggb/toolbar/mode_circle2.png[/icon]gebra[/b][/i][/color]-Konstruktion der [/size][size=85][size=85][color=#ff7700][i][b]Ortskurven[/b][/i][/color][/size] ist ähnlich wie die des [b]THALES[/b]-[color=#ff0000][i][b]Kreises[/b][/i][/color]: [br]Man bewege einen [color=#ff0000][i][b]Punkt[/b][/i][/color] auf einem zum [color=#ff0000][i][b]Kreisbüschel[/b][/i][/color] [color=#0000ff][i][b]orthogonalen[/b][/i][/color] [b][i]Kreis[/i][/b] um die [color=#00ff00][i][b]Büschelpunkte[/b][/i][/color] und bewege[br]mit diesem [color=#ff0000][i][b]Punkt[/b][/i][/color] einen [color=#00ff00][i][b]Kreis[/b][/i][/color] aus dem [color=#00ff00][i][b]Büschel[/b][/i][/color]. An diesem [color=#00ff00][i][b]Kreis[/b][/i][/color] spiegele man die [color=#00ffff][i][b]Grundpunkte[/b][/i][/color] des anderen [color=#00ffff][i][b]Büschels[/b][/i][/color].[br][icon]/images/ggb/toolbar/mode_circle3.png[/icon]-Verbunden erhält man einen [color=#0000ff][i][b]orthogonalen[/b][/i][/color] [color=#00ffff][i][b]Kreis[/b][/i][/color] aus dem [color=#00ffff][i][b]2. Büschel[/b][/i][/color]; bzw. etwas komplizierter einen [color=#00ffff][i][b]Berührkreis[/b][/i][/color].[br]Die [color=#00ffff][i][b]Kreise[/b][/i][/color] sind nicht immer reell![br][color=#cc0000][u][i][b]Übrigens[/b][/i][/u][/color]: Der [color=#ff7700][i][b]Berührort[/b][/i][/color] ist auch der [color=#ff7700][i][b]Ort[/b][/i][/color], in welchem sich die [color=#00ff00][i][b]elliptischen Kreise[/b][/i][/color] des einen [i][color=#00ff00][b]Büschels[/b][/color][/i] [br]und die [color=#00ffff][i][b]hyperbolischen Kreise[/b][/i][/color] des anderen [color=#00ffff][i][b]Büschels[/b][/i][/color] orthogonal schneiden![br][size=50]Die [color=#ff0000][i][b]hyperbolischen Kreise[/b][/i][/color] eines [color=#ff0000][i][b]Büschels[/b][/i][/color] sind die [color=#0000ff][i][b]orthogonalen[/b][/i][/color] [color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color] zu den [color=#ff0000][b][i]elliptischen Kreisen[/i][/b][/color] eines [color=#ff0000][i][b]Büschels[/b][/i][/color].[/size][br][/size]

[size=85]Dass es sich bei dem [color=#ff7700][i][b]Ort[/b][/i][/color], auf welchem sich die [color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color] zweier [color=#ff0000][i][b]Kreisbüschel[/b][/i][/color] berühren, oder unter 90° [br]oder allgemeiner unter [color=#38761D][i][b]konstantem Winkel[/b][/i][/color] schneiden, um [color=#ff7700][i][b]bizirkulare Quartiken[/b][/i][/color] handelt, läßt sich[br]mit nicht zu großem Aufwand begründen.[br]Größere Schwierigkeiten bereitet es nachzuweisen, dass es sich speziell um [br][color=#0000ff][i][b]möbiustransformierte[/b][/i][/color] [b]CASSINI[/b]-[color=#ff7700][i][b]Kurven[/b][/i][/color] handelt.[br][size=50]Auf den Seiten [br][table][tr][td][size=85][size=50] [math]\hookrightarrow[/math] [url=https://www.geogebra.org/m/urgjwqdj][color=#0000ff][u][i][b]CASSINI, Wurzel und Umfangswinkel[/b][/i][/u][/color][/url][/size][/size][/td][td][size=85][size=50] [math]\hookrightarrow[/math] [url=https://www.geogebra.org/m/bqrrxkyv][u][color=#0000ff][i][b]CASSINI-Peripheriewinkel 1[/b][/i][/color][/u][/url][/size][/size][/td][/tr][tr][td][size=85][size=50] [math]\hookrightarrow[/math] [url=https://www.geogebra.org/m/rg3n43jk][color=#0000ff][u][i][b]CASSINI, Wurzel und Umfangswinkel -2-[/b][/i][/u][/color][/url][/size][/size][/td][td][size=85][size=50] [math]\hookrightarrow[/math] [url=https://www.geogebra.org/m/vukb6ape][color=#0000ff][u][i][b]CASSINI-Peripheriewinkel 2[/b][/i][/u][/color][/url][/size][/size][/td][/tr][/table]haben wir die [b]CASSINI[/b]-Eigenschaft untersucht für den Fall, dass die 4 verschiedenen [color=#ff7700][i][b]Grundpunkte [/b][/i][/color]in [i][b]Normalform[/b][/i] liegen.[br][/size][/size][size=85][color=#0000ff][i][b]Normalform[/b][/i][/color] bedeutet, dass die [b]4[/b] [color=#38761D][i][b]Grundpunkte[/b][/i][/color] in Paaren punktsymmetrisch zu den [b]6[/b] Punkten einer [b]ON[/b]-Basis liegen,[br]das sind die Schnittpunkte von 3 paarweise [color=#0000ff][i][b]orthogonalen[/b][/i][/color] [color=#f1c232][i][b]Kreisen[/b][/i][/color]: beispielsweise die Punkte [math]0,\infty;1,-1;i,-i[/math] [br]als Schnittpunkte der Achsen und des Einheitskreises. In [/size][size=85][size=85][size=85][color=#0000ff][i][b]Normalform[/b][/i][/color][/size][/size] liegen dann die Punkte [math]f,-f,\frac{1}{f},-\frac{1}{f}[/math] mit [math]f\in\mathbb{C}[/math].[br]Es ist also zu zeigen, dass zu [b]4[/b] verschiedenen [color=#ff0000][i][b]Punkten[/b][/i][/color] stets eine [b]ON[/b]-Basis existiert, bezüglich [br]der die [color=#ff0000][i][b]Punkte[/b][/i][/color] in [/size][size=85][size=85][color=#0000ff][i][b]Normalform[/b][/i][/color][/size] liegen.[br][br][color=#cc0000][u][i][b]Geometrisch[/b][/i][/u][/color]: Die Konstruktion ist ziemlich aufwändig und wird in 3 fast identischen Schritten durchgeführt. [br][b]4 [/b]verschiedene [color=#ff0000][i][b]Punkte[/b][/i][/color] können auf [b]3[/b] verschiedenen Weisen in [b]2[/b] [color=#134F5C][i][b]Punktepaare[/b][/i][/color] zerlegt werden.[br]Für ein solches [color=#00ff00][i][b]Punktepaar[/b][/i][/color] bestimme man zuerst die 2 [color=#00ff00][i][b]Kreise[/b][/i][/color] des [color=#00ff00][i][b]Kreisbüschels[/b][/i][/color] durch die beiden [br]anderen [color=#00ffff][i][b]Punkte[/b][/i][/color] und dazu die [color=#00ff00][i][b]winkelhalbierenden Kreise[/b][/i][/color]. Dies gelingt auch, wenn die 4 [color=#ff0000][i][b]Punkte[/b][/i][/color] [color=#ff0000][i][b]konzyklisch[/b][/i][/color] sind![br]Entsprechend verfährt man für das andere [color=#00ffff][i][b]Punktepaar[/b][/i][/color]. Es ergeben sich 4 [color=#38761D][i][b]winkelhalbierende Kreise[/b][/i][/color].[br]2 von diesen Kreisen sind [color=#38761D][i][b]hyperbolische Kreise[/b][/i][/color] (sie schneiden sich nicht oder sind identisch), die 2 anderen sind [br][color=#38761D][i][b]elliptische Kreise[/b][/i][/color] für dasselbe Büschel. Die Schnittpunkte dieser Kreise sind 2 [color=#BF9000][i][b]Punkte[/b][/i][/color] der gesuchten [b]ON[/b]-Basis.[br]Die beiden [color=#38761D][i][b]Punkte-Paare[/b][/i][/color] liegen harmonisch zu diesen [color=#BF9000][i][b]Schnittpunkten[/b][/i][/color].[br]Für die beiden anderen Aufteilungen in [/size][size=85][size=85][color=#38761D][i][b]Punkte-Paare[/b][/i][/color][/size] erhält man [b]2*2[/b] weitere [color=#BF9000][i][b]Punkte[/b][/i][/color] der [b]ON[/b]-Basis.[br][u][color=#900000][i][b]Entscheidend[/b][/i][/color][/u] ist: diese [b]6[/b] Punkte sind die [/size][size=85][size=85][color=#BF9000][i][b]Schnittpunkte[/b][/i][/color][/size] von 3 paarweise [color=#BF9000][i][b]orthogonalen Kreisen[/b][/i][/color].[/size]

[size=85][color=#cc0000][i][b]Algebraisch:[/b][/i][/color] Die Berechnung der [b]ON[/b]-Basis wird ganz einfach und kurz, wenn man sie in der [b]LIE-[color=#0000ff][i]Algebra[/i][/color][/b] der[br][color=#0000ff][i][b]Möbiusgruppe[/b][/i][/color] durchführt! [br]Die [b]LIE[/b]-Algebra der [color=#0000ff][i][b]Möbiusgruppe[/b][/i][/color] ist ein [i][b]komplexer[/b][/i] [i][b]3-dimensionaler[/b][/i] [i][b]Vektorraum[/b][/i] [math]\mathbf{\mathcal{G}}[/math] mit [br]nicht-ausgearteter [color=#9900ff][i][b]symmetrischer Bilinearform[/b][/i][/color] [math]\bullet[/math] und einem [color=#9900ff][i][b]Kreuzprodukt[/b][/i][/color] - dem [b]LIE[/b]-Produkt [ , ].[br]Man kann die [b]LIE[/b]-Algebra als Komplexifizierung des [i][b][color=#0000ff]euklidischen Vektorraumes[/color][/b][/i] auffassen, die quadratische [br]Form [math]\bullet[/math] ist allerdings nicht positiv definit - daher eignet sich die Bezeichnung "Skalarprodukt" nicht so sehr.[br][color=#ff0000][i][b]Kreisbüschel[/b][/i][/color] und ihre [color=#ff00ff][i][b]Loxodrome[/b][/i][/color] mit den [color=#38761D][i][b]Grundpunkten[/b][/i][/color] [math]z_1,z_2\in\mathbb{C}[/math] lassen sich mit den Vektoren [math]\left[ z_1,z_2\right][/math] aus [math]\mathbf{\mathcal{G}}[/math] [br]und deren komplexen Vielfachen identifizieren.[br]Zu [b]4[/b] verschiedenen Punkten [math]z_1,z_2,z_3,z_4[/math] lassen sich die [color=#38761D][i][b]Kreisbüschel-Paare[/b][/i][/color] {[math]\left[z_1,z_2\right],\left[z_3,z_4\right][/math]}, {[math]\left[z_1,z_3\right],\left[z_2,z_4\right][/math]} [br]und {[math]\left[z_1,z_4\right],\left[z_2,z_3\right][/math]} bilden. Die Vektoren [math]\[ \big[\left[z_1,z_2\right],\left[z_3,z_4\right]\big]\][/math], [math]\[ \big[\left[z_1,z_3\right],\left[z_2,z_4\right]\big]\][/math] und [math]\[ \big[\left[z_1,z_4\right],\left[z_2,z_3\right]\big]\][/math] repräsentieren[br]3 Kreisbüschel, deren [color=#38761D][i][b]Grundpunkte[/b][/i][/color] eine [b]ON[/b]-Basis bilden. [br]Das ergibt sich aus einer einfachen Rechnung: die Vektoren sind [color=#0000ff][i][b]paarweise orthogonal[/b][/i][/color] bezüglich [math]\bullet[/math] und [br]sie sind [color=#0000ff][i][b]orthogonal[/b][/i][/color] zu ihren Faktoren: woraus insbesondere folgt, dass die [/size][size=85][size=85][color=#38761D][i][b]Grundpunkte[/b][/i][/color][/size] der Faktoren harmonisch[br]zu den [/size][size=85][size=85][color=#38761D][i][b]Grundpunkten[/b][/i][/color][/size] der zugehörigen [b]ON[/b]-Basis-Vektoren liegen.[br][color=#cc0000][u][i][b]Exemplarisch[/b][/i][/u][/color]: es gilt [math]\[ \big[\left[z_1,z_2\right],\left[z_3,z_4\right]\big]\]\bullet\left[z_1,z_2\right]=0 [/math]; woraus folgt, dass [math]z_1[/math] und [math]z_2[/math] harmonisch zu den[br][/size][size=85][size=85][color=#38761D][i][b]Grundpunkten[/b][/i][/color][/size] von [math]\[ \big[\left[z_1,z_2\right],\left[z_3,z_4\right]\big]\][/math] liegen. [br]Wählt man die [b]ON[/b]-Basis so dass [math]0,\infty[/math] die [/size][size=85][size=85][size=85][color=#38761D][i][b]Grundpunkte[/b][/i][/color][/size][/size] von [math]\[ \big[\left[z_1,z_2\right],\left[z_3,z_4\right]\big]\][/math] sind, [br]so gilt bezüglich dieser [b]ON[/b]-Basis die [color=#BF9000][i][b]Punktsymmetrie[/b][/i][/color] [math]z_2=-z_1[/math].[br]Die [b]LIE[/b]-Produkt-Berechnungen sind eine Folge der [color=#351C75][i][b]Entwicklungs-Regeln[/b][/i][/color] für das [/size][size=85][i][b][size=85][color=#9900ff][i][b]Kreuzprodukt[/b][/i][/color][/size][/b][/i] bzw. für das [b]LIE[/b]-Produkt.[br][br][br]Detailliert durchgeführt werden diese Rechnungen in der Aktivität [math]\hookrightarrow[/math] [url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb#material/XquUESgf][color=#0000ff][u][i][b]Lage von 4 Punkten[/b][/i][/u][/color][/url] [br]im [color=#980000][i][b]geogebra-book[/b][/i][/color] [math]\hookrightarrow[/math] [url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb][color=#0000ff][u][i][b]Moebiusebene[/b][/i][/u][/color][/url].[/size]