Als der Paderborner Erzbischof Hans-Josef Becker mit seinem Messdiener Tom auf den Weg zum sonntäglichen Festhochamt im Paderborner Dom ist, macht er eine interessante Entdeckung. Sie unterhalten sich.[br][br][b]Bischof:[/b] "Schau mal, die Kondensstreifen der Flugzeuge kreuzen sich genau über unserem Kirchturm. Und es sieht so aus, als würden die sich auch noch im rechten Winkel schneiden. Das ist bestimmt ein göttliches Zeichen." [br][br][b]Tom: [/b]"Mit dem bloßen Auge kann man doch nicht erkennen, ob sich die Kondensstreifen wirklich rechtwinklig schneiden." [br][br][b]Bischof:[/b] "Da hast du Recht, habt ihr in der Schule nicht vielleicht einen Weg kennen gelernt, wie man so etwas berechnen kann? Heute ist doch alles möglich!"[br][br]Tom überlegt einen kurzen Moment und erinnert sich zurück an seinen Mathematikunterricht der vergangenen Woche. [br][br][b]Tom: [/b]"Herr Pastor, in Mathe behandeln wir gerade tatsächlich die analytische Geometrie. Ab und zu waren da auch Aufgaben mit Flugzeugen bei. Wenn ich mindestens 2 Punkte der jeweiligen Flugbahn kennen würde, könnte ich sogar die Geraden dadurch aufstellen. Wie man den Winkel dazwischen berechnet, weiß ich aber leider nicht."[br][br][b]Bischof:[/b] "Ich werde mich nach dem Gottesdienst sofort an den Tower des Flughafens Paderborn-Lippstadt wenden, die können mir bestimmt die Koordinaten durchgeben, die du für deine Rechnung brauchst. Du bist so ein schlaues Kerlchen, du findest bestimmt heraus, wie man den Winkel berechnen kann oder zumindest, ob der Winkel 90° ist. Das würde uns ja schon reichen."

Um die Lage der Kondensstreifen zueinander mathematisch untersuchen zu können, können wir sie als Geraden auffassen. [br]Stelle zu den Kondensstreifen jeweils die Geradengleichung in Parameterform auf.[br][br]Zur Überprüfung der Geradengleichung gib die Koordinaten der Stütz- und Richtungsvektoren in die Eingabefelder ein und überprüfe anhand der rechten Grafik, ob deine Geraden mit den richtigen Geraden der Kondensstreifen übereinstimmen. [br]Zur Überprüfung kannst du dir die richtige Geraden anzeigen lassen. Diese wird in rot eingeblendet, sobald du auf f_1 bzw. f_2 drückst. [br]

Nun kennst du die Geradengleichungen der Kondensstreifen und kannst nun versuchen, mithilfe deines bisherigen Wissens herauszufinden, ob sie sich im rechten Winkel schneiden.

Du kennst bereits verschiedene Vektoroperationen. Vielleicht kann dir das Skalarprodukt weiterhelfen, um zu überprüfen, ob die Geraden orthogonal zueinander sind.[br][br]Schau dir dazu erstmal die Orthogonalität von Vektoren an.

In der folgenden GeoGebra-Datei kannst du die Vektoren und den Winkel zwischen den Vektoren mit den Schiebereglern variieren und beobachten, wie sich der Wert des Skalarproduktes verändert.[br][br]Erkunde die GeoGebra-Datei und stelle eine Vermutung auf, ob mithilfe des Skalarproduktes etwas über die Orthogonalität zweier Vektoren ausgesagt werden kann und umgekehrt.

Nun möchten wir begründen, warum unsere Beobachtungen auch immer gelten.[br]Bisher kennst du die Summenformel zur Berechnung des Skalarproduktes. [br]Um unsere Beobachtungen zu begründen, brauchen wir eine andere Darstellung des Skalarprodukts, die möglichst etwas mit Winkeln zu tun hat.[br][br]Leiten wir uns nun eine neue Darstellung des Skalarproduktes her!

Bringe dafür die einzelnen Teile des Beweispuzzles in die richtige Reihenfolge. [br]Dabei sind der Start (7) und das Ziel (4) vorgegeben. [br]Ob die Reihenfolge stimmt, kannst du am Ende mithilfe der Lösungszahl überprüfen, die sich aus den Nummern der Teile ergibt (ohne Leerzeichen eingeben). Bestätige deine Eingabe mit ENTER.

Für zwei Vektoren [math]\vec{a}[/math] und [math]\vec{b}[/math] und deren eingeschlossenen Winkel [math]\gamma[/math] kann man das Skalarprodukt der Vektoren alternativ zur bereits bekannten Summenformel auch mit dem Ausdruck [br][math]\vec{a}\circ\vec{b}=|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|\cdot cos\left(\gamma\right)[/math] [br]beschreiben.

Schaue dir nun die beiden Lernvideo an. [br]Mithilfe der Videos wirst du die Kosinus-Darstellung des Skalarproduktes inhaltlich noch besser verstehen. Insbesondere wirst du lernen, wieso das Skalarprodukt 0 ist, wenn die Vektoren orthogonal sind und umgekehrt.

Du kennst nun sowohl die Summendarstellung als auch die Kosinus-Darstellung für das Skalarprodukt. Es bleibt die Frage offen, welche Darstellung du wann nutzt. [br][br]Mithilfe der Kosinus-Darstellung hast du dir inhaltlich erschlossen, wieso das Skalarprodukt 0 ist, wenn die Vektoren orthogonal sind und umgekehrt. [br]Um das Skalarprodukt zu berechnen, damit du überprüfen kannst ob es 0 ist, nutzt du die Summendarstellung. Mit dieser Darstellung kannst du ein Skalarprodukt von zwei Vektoren nämlich einfach berechnen. [br]Die Kosinus-Darstellung solltest du dir aber auch gut merken, weil diese in den folgenden Unterrichtsstunden zu den Winkel noch sehr wichtig wird!

Die folgenden 5 Aufgaben haben jeweils eine unterschiedliche Anzahl an Sternen. [br]Insgesamt sollst du mindestens 5 Sterne sammeln. [br]Welche Aufgaben du dazu bearbeitest ist dir überlassen. [br]Zu Beginn steht, wie viele Sterne du jeweils bekommst. [br]Viel Erfolg!