Beweis, dass der 2. Strahlensatz nicht umkehrbar ist.

Voraussetzung

Wenn [math]\frac{SA}{SA'}=\frac{AB}{A'B'}[/math] gilt,

Behauptung

dann gilt, dass die Geraden [math]g[/math] und [math]h[/math] parallel sind.

Beweis

Angenommen, die Umkehrung würde gelten. So könnten wir folgende Skizze zeichnen.

Abbildung 1: Skizze zur Umkehrung des zweiten Strahlensatzes.

Wir zeichnen nun um [math]B'[/math] einen Kreis mit dem Radius[math]r=A'B'[/math].

Abbildung 2: Kreis um B'

Durch Ziehen des Kreises um den Punkt [math]B'[/math] mit dem oben genannten Radius [math]r=A'B'[/math] entsteht auf dem Strahl, auf dem die Punkte [math]A[/math] und [math]A'[/math] liegen, ein weiterer Punkt. Wir nennen diesen [math]T[/math].[br][br]

Abbildung 3: Gleich lange Strecken

Wir zeichnen nun durch die Punkte [math]B'[/math] und [math]T'[/math] eine Gerade [math]i[/math]. Nach Konstruktion sind die Strecken [math]A'B'[/math]und [math]TB'[/math] gleich lang. Es gilt also [math]A'B'=TB'[/math].[br][br]Wir können nun also die Voraussetzung anwenden. [br][br]Demnach gilt: [math]\frac{SA}{SA'}=\frac{AB}{A'B'}[/math][br]Da [math]A'B'=TB'[/math] gilt, können wir für [math]A'B'[/math] in die Gleichung einsetzen[br][br][math]\frac{SA}{SA'}=\frac{AB}{TB'}[/math][br][br]Daraus würde folgen, dass die Geraden [math]g[/math] und [math]i[/math] parallel sind. Das sind sie aber offensichtlich nicht (siehe Abbildung 3). Wir haben demnach ein Gegenbeispiel gefunden. Folglich ist der 2. Strahlensatz nicht umkehrbar.