Math + Geogebra
Programa de Ampliación e Innovación Matemática para alumnos de 2º, 3º y 4ºESO del Colegio Marista "La Inmaculada" de Granada
Table of Contents
- 1. Puntos, segmentos y rectas en Geogebra
- Introducción al entorno gráfico de Geogebra
- 2. Polígonos y circunferencias en Geogebra
- Ecuación de la circunferencia a partir del Teorema de Pitágoras
- Polígonos regulares inscritos en una circunferencia
- 3. Reto: estimar el número Pi a través de polígonos inscritos en una circunferencia
- Obtener aproximación del número Pi
- 4. Deslizadores en Geogebra. Parámetros matemáticos
- Mover objetos en Geogebra con deslizadores
- 5. Funciones en Geogebra. Casilla de entrada
- ¿Cómo dibujar funciones en Geogebra?
- 6. Reto: estimar el área encerrada por una función con el eje horizontal, en un intervalo cerrado
- Area between curves
Introducción al entorno gráfico de Geogebra
Lo primero que llama nuestra atención, al abrir Geogebra, es su sistema de referencia cartesiano ([b]Vista Gráfica[/b]) y la gran cantidad de botones disponibles para introducir elementos geométricos en dos dimensiones: puntos, segmentos, rectas, ángulos, etc.[br]Cada elemento que introduzcamos se llama [b]objeto[/b] y con sus propiedades puede cambiarse fácilmente su apariencia: nombre, color, estilo del trazo, etc. (botón derecho del ratón)[br][b]Prueba a incluir dos puntos y el segmento que los une con los botones superiores del programa. Y cambia su apariencia (color, grosor, estilo,...).[/b][br]Fíjate que al crear un objeto, a la izquierda ([b]Vista Algebraica[/b]), aparece su nombre en Geogebra.[br]Los objetos también se pueden crear desde la línea de entrada de la izquierda. Debes saber el nombre del [b]comando[/b] correspondiente. Por ejemplo, si tecleas [i]Segmento[/i], el programa te informa de las opciones disponibles para dicho comando.
Cuando creas un punto, ¿cómo aparece representado en la Vista Algebraica de la izquierda? Escribe tu respuesta para el posterior debate en clase.
Cuando dibujas 3 o más puntos en el plano, puedes formar polígonos. En la siguiente ventana tienes un triángulo. [b]Usa el botón de mediatriz en cada lado del triángulo.[/b][br]Recuerda que la mediatriz es la línea perpendicular a un segmento que lo divide en dos partes iguales.
Si seleccionas la flecha blanca del primer botón superior, puedes mover la posición de cualquier objeto de Geogebra. Si mueves los vértices, ¿Las tres mediatrices se siguen cortando en un mismo punto? ¿Sabes cómo se llama ese punto? Escribe tu respuesta.
En la vista algebraica de la izquierda, verás que los segmentos vienen nombrados por una letra minúscula "a", "b", "c". Acompañados de un número con decimales. ¿Se te ocurre qué representa ese número decimal? Escribe tu respuesta.
En la web de Geogebra ([url=http://www.geogebra.org]www.geogebra.org[/url]) encontrarás infinidad de recursos matemáticos con los que interaccionar, diseñados por otros usuarios. Puedes registrarte en la web de Geogebra usando tu propio correo electrónico.[br]Incluso existe un portal español llamados MATES GG ([url=https://intef.es/recursos-educativos/recursos-para-el-aprendizaje-en-linea/matesgg]https://intef.es/recursos-educativos/recursos-para-el-aprendizaje-en-linea/matesgg[/url]) con una selección de recursos válidos para todos los niveles educativos de Primaria, Secundaria y Bachillerato.[br]Para que te hagas una idea de la infinidad de posibilidades del programa, [b]fíjate en la siguiente animación donde se demuestra gráficamente (sin palabras) el Teorema de Pitágoras[/b]: el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los dos catetos de un triángulo rectángulo.[br][math]h^2=x^2+y^2[/math][br]Autoría del recurso: [url=https://www.geogebra.org/m/pmxXRa55]https://www.geogebra.org/u/manuel+sada[/url]
Vamos a comprobar que, efectivamente, el Teorema de Pitágoras se cumple numéricamente. Y lo vamos a comprobar con un ejemplo muy sencillo: un triángulo rectángulo de de base 3 unidades y de altura 4 unidades.[br][math]3^2+4^2=h^2[/math][br][math]9+16=h^2[/math][br][math]25=h^2[/math][br][math]h=5[/math] unidades[br][b]Une los vértices de la siguiente ventana de Geogebra y forma el triángulo rectángulo. Puedes usar varias veces el botón segmento para formar los lados, o directamente el botón polígono para formar el triángulo[/b].
En la siguiente animación de Geogebra puedes practicar con el Teorema de Pitágoras.[br][b]El enunciado te da las dimensiones de dos de los tres lados de un triángulo rectángulo. Y tienes que dar la solución exacta y la solución decimal redondeando a la primera cifra decimal más cercana.[/b][br]Fíjate que aparece un botón de un teclado con el que puedes introducir operadores matemáticos como la raíz cuadrada. Úsala para escribir la solución exacta.[br]Autoría del recurso: [url=https://www.geogebra.org/u/tbrzezinski]https://www.geogebra.org/u/tbrzezinski[/url]
Para terminar esta introducción a Geogebra, vamos a crear rectas y ángulos con comandos de la línea de entrada.[br]En la siguiente ventana tienes los puntos A, B y C.[br][b]Recta(A,B)[/b] crea la recta que pasa por A y por B.[br][b]Recta(A,C)[/b] crea la recta que pasa por A y por C.[br]Geogebra da nombre a todos los objetos. Si has creado en primer lugar la Recta(A,B) verás que tiene el nombre f. Si has creado en segundo lugar la Recta(A,C) verás que tiene el nombre g.[br]Puedes calcular el ángulo entre ambas rectas haciendo [b]Ángulo(g,f)[/b].[br]Cuando tengas creado el ángulo, selecciona la flecha blanca y prueba a modificar las coordenadas de cualquiera de los tres puntos. Verás que la ecuación de la recta cambiará y también lo hará el ángulo de intersección.
Ecuación de la circunferencia a partir del Teorema de Pitágoras
Imagina un triángulo rectángulo de base "x" y altura "y".[br]Si la hipotenusa de este triángulo la llamamos "h", ¿qué ecuación resulta de aplicar el Teorema de Pitágoras?[br][math]x^2+y^2=h^2[/math][br][b]Fíjate ahora en la siguiente circunferencia centrada en el origen de coordenadas (0,0) y el triángulo que se ha dibujado dentro de ella.[/b]
¿Qué relación hay entre las coordenadas (x,y) del punto A con la base y la altura del triángulo rectángulo? ¿Si la hipotenusa vale 1, cómo queda la ecuación del Teorema de Pitágoras? Escribe tu respuesta.
Si el punto A se sitúa en el tercer cuadrante, ¿cómo serán las coordenadas (x,y), positivas o negativas? Escribe tu respuesta.
Si "x" o "y" son negativos, ¿tiene sentido decir que la base o la altura del triángulo serán distancias negativas? ¿Conoces algún operador matemático que convierta en positivo los valores negativos? Escribe tu respuesta.
¿Cuánto vale el radio de la circunferencia? ¿Puedes aplicar Pitágoras al triángulo? ¿Qué ecuación resulta? Escribe tu respuesta.
La circunferencia de radio unidad corta a los ejes de coordenadas en los puntos (1,0), (0,1), (-1,0) y (0,-1).[br][b]Si achatamos la circunferencia vertical u horizontalmente, ¿qué figura obtendremos? [br]Antes de contestar, interacciona con la siguiente animación.[/b]
¿Qué figura plana se forma al mover los deslizadores? ¿Qué diferencia principal tiene esa figura con una circunferencia?
Obtener aproximación del número Pi
Vamos a trabajar, una vez más, con la circunferencia de radio unidad centrada en el origen (0,0).[br]Si señalamos los cortes con los ejes de coordenadas, tendremos los cuatro puntos siguientes:[br]A(1,0)[br]B(0,1)[br]C(-1,0)[br]D(0,-1)[br]Si unimos esos cuatro puntos, obtenemos un cuadrado.[br][b]¿Eres capaz de obtener, aplicando Teorema de Pitágoras, la longitud de uno de los lados del cuadrado?[/b]
¿Cuánto vale la longitud de uno de los lados del cuadrado de la figura superior? ¿Cuánto vale su perímetro? Escribe tu respuesta, utilizando si es necesario el editor de ecuaciones que te ofrece Geogebra al escribir la respuesta.
El perímetro del cuadrado inscrito a la circunferencia puede valernos como una primera aproximación al perímetro de la circunferencia.[br]Recuerda que el perímetro de una circunferencia es:[br][math]Perímetro=2·\pi·radio[/math][br]Si el radio es igual a 1, el perímetro queda:[br][math]Perímetro=2·\pi[/math][br]Si despejamos el valor de Pi obtenemos:[br][math]\pi=\frac{Perímetro}{2}[/math][br]En el cuadrado anterior, llegamos a la conclusión que su perímetro era igual a [math]4·\sqrt{2}[/math]. Por lo tanto, si usamos este valor para aproximar el número Pi nos queda:[br][math]\pi=\frac{4·\sqrt{2}}{2}=2·\sqrt{2}\approx2,83[/math][br][b]¿Es una buena aproximación?[/b][br]Sabemos que el número Pi es 3,141592.... Por lo tanto, aún tenemos mucho margen para mejorar la aproximación.[br]En el siguiente enlace puedes encontrar, a modo de curiosidad, [url=http://mimosa.pntic.mec.es/jgomez53/matema/conocer/pi_1500.htm]los primeros 1.500 decimales del número Pi[/url].[br][b]Para mejorar nuestra aproximación, vamos a pasar del cuadrado al octógono inscrito.[/b]
¿Se te ocurre algún método, con ayuda del dibujo técnico, para obtener los cuatro nuevos vértices que han aparecido en el octógono? Ayuda: recordar cómo se dibuja la mediatriz de un segmento. Escribe tu respuesta.
Obtener a mano, mediante Teorema de Pitágoras, la longitud de uno de los lados del octógono ya no es una tarea tan fácil como la que hicimos con el cuadrado.[br]Si somos capaces de dibujar el octógono en Geogebra, podemos usar el comando [i]Perímetro[/i] para obtener directamente la suma de los lados del polígono. Y obtendríamos fácilmente que el valor del perímetro del octógono es 6,12.[br]Por lo que la aproximación al número Pi quedaría:[br][math]\pi\approx\frac{6,12}{2}=3,06[/math][br][b]Este valor ya se aproxima mucho más al famoso 3,14....[br]¡Vamos por el buen camino![br]Avancemos ahora hacia el hexadecágono (16 lados iguales).[/b]
El perímetro del hexadecágono es 6,24. Por lo que la aproximación del número Pi queda:[br][math]\pi\approx\frac{6,24}{2}=3,12[/math][br][b]¡Ya hemos conseguido fijar el primer decimal del número Pi![br]Si repetimos el proceso con polígonos de 32 lados, 64 lados, 128 lados, etc. iremos mejorando paulatinamente en nuestra aproximación.[/b]
RETO: Crear archivo Geogebra con cuadrado, octógono y hexadecágono inscritos para aproximar el número Pi
[b]Te planteamos el siguiente reto.[/b][br]Abre Geogebra en tu ordenador y dibuja una circunferencia de radio unidad centrada en el origen (0,0).[br]Señala los puntos iniciales (1,0), (0,1), (-1,0) y (0,-1) y crea el cuadrado inicial.[br]Con ayuda del [b]botón para dibujar la mediatriz de un segmento[/b] y del [b]botón para obtener la intersección entra una recta y la circunferencia[/b], obtener el el resto de puntos del octógono. Con ayuda del [b]comando Perímetro[/b], calcular numéricamente la perímetro del octógono. E introducir un[b] cuadro de texto[/b] con los cálculos de la aproximación para el número Pi.[br]Repetir el mismo proceso para obtener el hexadecágono.[br]¿Eres capaz de llegar, al menos, hasta el polígono de 32 lados?
Mover objetos en Geogebra con deslizadores
Objetos que se mueven automáticamente en Geogebra
En Matemáticas y en Ciencias es muy común preguntarnos por situaciones parecidas a los siguientes ejemplos:[br][list][*]¿Cómo cambia la posición de un objeto conforme pasa el tiempo?[/*][*]¿Cómo cambia el volumen de un objeto según varía la temperatura?[/*][/list]Son dos muestras del concepto de [b]parámetro[/b]. Un parámetro es un valor numérico cuya variación provoca el cambio de una magnitud física o de una función matemática.[br]Geogebra permite introducir con facilidad parámetros con el botón [b]Deslizador[/b].
Desplaza el deslizador k para observar el movimiento del punto A.
En la animación anterior, ¿cómo crees que se escriben las coordenadas del punto A en Geogebra para que pueda moverse con el deslizador k? Escribe tu respuesta.
Observa como, al deslizar el valor de k, se actualiza el valor del lado y el valor del área del cuadrado.
En el cuadrado de la animación anterior, las coordenadas del punto A son (0,0). ¿Cuáles serán las coordenadas del punto C en función del parámetro k? ¿Cómo calcular el área del cuadrado en función del parámetro k? Escribe tu respuesta.
Mueve el deslizador k para modificar la longitud de la arista del prisma y su volumen.
¿Qué es una recta en un plano en 2 dimensiones?
Imagina un punto A en el plano. Tendrá una coordenada horizontal y otra coordenada vertical:[br][math]A\left(x_A,y_A\right)[/math][br]Ahora considera otro punto B:[br][math]B\left(x_B,y_B\right)[/math][br]Una recta que pasa por A y por B es una línea sin principio ni fin que dentro de los infinitos puntos que la forman se encuentran los puntos A y B.[br]La diferencia entre las coordenadas horizontales de A y B es:[br] [math]x_B-x_A[/math][br]La diferencia entre las coordenadas verticales es:[br][math]y_B-y_A[/math][br]El cociente siguiente se llama [b]pendiente de la recta[/b], y se suele representar con la recta m:[br][math]m=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}[/math]
Mueve los deslizadores p y q para modificar la posición del punto B(p,q) y cambiar así la pendiente de la recta que pasa por A y B.
Si A y B tienen la misma coordenada vertical, ¿cuánto vale la pendiente de la recta que pasa por A y B?
¿Qué crees que pasa si A y B tienen la misma coordenada horizontal? ¿Cómo sería la recta que pasa por A y B? ¿Cuánto valdría su pendiente? Escribe tu respuesta.
En la animación anterior aparece un triángulos rectángulo. ¿Con qué valor coincide la base del triángulo? ¿Y la altura? Escribe tu respuesta.
¿Cómo escribir la ecuación de una recta?
Hemos llamado [b]m[/b] a la pendiente de la recta. [b]Esta pendiente nos informa de la inclinación de la recta[/b].[br]Si m es positiva, la recta es creciente.[br]Si m es negativa, la recta es decreciente.[br]Si m es igual a 0, la recta es completamente horizontal.[br][b]¡Ojo![/b] Si la recta se hace cada vez más vertical, se dice que la pendiente tiende a infinito porque el denominador con el que se calcula la pendiente se acerca a 0. Y al dividir por algo próximo a 0 el resultado del cociente se hace muy, muy, muy grande (infinito).[br][b]Supongamos que tenemos una recta de pendiente m y que pasa por el punto A(0,n)[/b]. Ese punto está sobre el eje vertical, ya que su primera coordenada vale 0. En concreto, el punto A(0,n) es el punto de corte de la recta con el eje horizontal.[br]La ecuación de la recta que tiene pendiente m y pasa por el punto A(0,n) se escribe así:[br][math]y=mx+n[/math][br]Fíjate que si [math]x=0[/math] en la ecuación, obtenemos [math]y=n[/math]. Es decir, la recta pasa por el punto A(0,n) como ya sabíamos.[br]Con la ecuación de la recta podemos obtener las coordenadas de cualquier punto de la recta, ya que la pendiente nos da la proporción en que crece o decrece la recta que pasa por el punto de referencia A(0,n). Por ejemplo:[br]Si [math]x=1[/math] tendremos [math]y=m+n[/math] para formar el punto [math]\left(1,m+n\right)[/math].[br]Si [math]x=2[/math] tendremos [math]y=2x+n[/math] para formar el punto [math]\left(2,2m+n\right)[/math].[br]Si [math]x=3[/math] tendremos[math]y=3m+n[/math] para formar el punto [math]\left(3,3m+n\right)[/math].[br]Y así podemos razonar con cualquier valor que demos a la variable [math]x[/math].[br][b]Fíjate en la siguiente simulación donde la pendiente m es un deslizador, y donde la recta pasa por el punto A(0,1).[/b][br]
Intenta crear esta simulación en tu Geogebra de escritorio o bien en la simulación en blanco que tienes más abajo. La pendiente m es un deslizador, y el corte de la recta con el eje vertical es el punto A(0,1).
Simulación en blanco para que reproduzcas por ti mismo la de arriba, incluyendo el punto A, el deslizador y el cuadro de texto que cambie de forma dinámica con la ecuación de la recta.
¿Cómo dibujar funciones en Geogebra?
Una función es un juego con reglas matemáticas.
Imagina el siguiente juego. A cada color le vamos a asociar un número que coincida con el número de letras que forman el nombre del color.[br]Por ejemplo: [br][list][*]ROJO se asocia al número 4, porque hay cuatro letras en el nombre ROJO.[/*][*]VERDE se asocia al número 5, porque hay cinco letras en el nombre VERDE.[/*][*]AZUL se asocia también al número 4, porque hay cuatro letras en el nombre AZUL.[/*][*]...[/*][*]...[/*][/list]Y así podríamos razonar con todos los colores: AMARILLO (8), NARANJA (7), BLANCO (6), etc.[br]Cada color tiene asociado un único número. Mientras que cada número puede estar vinculado a más de un color distinto.[br]Si en vez de relacionar colores con números, relacionamos números con números, tendremos una función matemática.[br]Por ejemplo:[br][math]y=2x+1[/math][br]Significa que al número "x" que imaginemos, lo vamos a multiplicar por 2 y luego le vamos a sumar 1 para conseguir el valor de "y". Así podemos obtener:[br][list][*]si [math]x=3[/math] tendremos [math]y=2·3+1=7[/math] y la pareja de valores relacionados es [math]\left(3,7\right)[/math].[br][/*][*]si [math]x=-1[/math] tendremos [math]y=2·\left(-.1\right)+1=-1[/math] y la pareja de valores relacionados es [math]\left(-1,-1\right)[/math].[/*][*]si [math]x=0[/math] tendremos [math]y=2·0+1=1[/math] y la pareja de valores relacionados es [math]\left(0,1\right)[/math].[/*][*]...[/*][*]...[/*][/list]Si estas operaciones las reproducimos con los infinitos valores de la recta real, y dibujamos las parejas de valores resultantes en un sistema de ejes perpendiculares (primera coordenada en el eje horizontal, segunda coordenada en el eje vertical), tendremos la gráfica de la función.[br]El valor de "x" se conoce como variable independiente. Mientras que el valor de "y" se conoce como variable dependiente. La pareja de valores se expresa (x,y).[br]Geogebra llama a "y" con el nombre f(x): función f que depende de la variable x.[br]Si dibujamos muchas funciones en Geogebra, aparecen otros nombres (g(x), h(x), etc.)).[br][b]Para escribir en la línea de entrada una función, solo debes escribir la ecuación que depende de "x", sin necesidad de nombrarla como "y" o como "f(x)". Geogebra dará automáticamente un nombre a la función.[/b][br]
Escribe en la línea de entrada otras funciones matemáticas distintas de la del ejemplo. Puedes usar polinomios de cualquier grado.
Funciones polinómicas.
Un polinomio es una expresión matemática donde una variable "x" se eleva a cualquier potencia y se multiplica por números reales.[br]Una recta como la de antes ([math]f\left(x\right)=2x+1[/math]) es una función polinómica de grado uno (porque la variable "x" aparece elevada, como máximo, al exponente 1).[br]El siguiente ejemplo es una función polinómica de grado dos:[br][math]f\left(x\right)=x^2+3x-4[/math][br]Y este ejemplo muestra una función polinómica de grado tres:[br][math]f\left(x\right)=2x^3-x+6[/math][br]Como puedes imaginar, hay infinitas funciones polinómicas de grado uno, de grado dos, de grado tres, de grado cuatro, etc.[br][b]Vamos a centrarnos en las funciones polinómicas de grado dos[/b]. También llamadas funciones parabólicas por la forma de su gráfica.[br]En una función polinómica aparece un número "a" que multiplica a la variable "x" al cuadrado, más un número "b" que multiplica a la variable "x" más un número "c". Su forma general es:[br][math]f\left(x\right)=ax^2+bx+c[/math][br]Donde [math]a,b,c[/math] son números reales.[br]El número "a" se llama coeficiente líder.[br]El número "c" se llama término independiente.
Escribe en la línea de entrada funciones polinómicas de grado dos. Comprueba cómo cambia la forma de la parábola según modificas los valores de a, b, c.
¿Qué pasa si el coeficiente líder "a" pasa de positivo a negativo? ¿Cómo cambia la forma de la parábola? Escribe tu respuesta.
El eje horizontal se representa por la función y=0. ¿Se te ocurre cómo obtener una ecuación que nos de los valores de los puntos de corte de una parábola con el eje horizontal? Escribe tu respuesta.
Para que una función parabólica [math]f\left(x\right)=ax^2+bx+c[/math] corte al eje horizontal, necesitamos que el valor de la variable dependiente[math]f\left(x\right)[/math] sea igual a cero. Es decir:[br][math]f\left(x\right)=0[/math][br]Eso provoca que tengamos que resolver una ecuación de segundo grado:[br][math]ax^2+bx+c=0[/math][br]Una ecuación de segundo grado de números reales puede tener:[br][list=1][*]dos soluciones: la gráfica de la parábola corta dos veces al eje horizontal.[/*][*]una solución: la gráfica de la parábola corta una sola vez al eje horizontal.[/*][*]ninguna solución: la gráfica e la parábola nunca corta al eje horizontal.[/*][/list][b]Fíjate en la siguiente animación.[/b] En vez de introducir deslizadores vamos a usar[b] casillas de entrada[/b] en Geogebra para modificar los valores de los parámetros "a", "b" y "c".[br][b]Crea en tu versión de Geogebra de escritorio una simulación lo más parecida a la que tienes a continuación. [/b]Primero deberás crear tres deslizadores a, b y c. Y luego deberás actualizar los valores de los deslizadores con las casillas de entrada.[br]Además, Geogebra tiene un botón para obtener los puntos de corte de la función con la recta y=0 del eje horizontal.
Varía los valores de las casillas de entrada para modificar los parámetros de la función parabólica. Busca valores que provoquen que la parábola corte dos veces, una vez o ninguna vez al eje horizontal.
Area between curves
This is a parabolic function:[br][math]f\left(x\right)=x^2[/math][br]What is its graph?[br][math]...[/math][br][math]...[/math][br][math]x=-2\longrightarrow f\left(-2\right)=\left(-2\right)^2=4[/math][br][math]x=-1\longrightarrow f\left(-1\right)=\left(-1\right)^2=1[/math][br][math]x=0\longrightarrow f\left(0\right)=\left(0\right)^2=0[/math][br][math]x=1\longrightarrow f\left(1\right)=\left(1\right)^2=1[/math][br][math]...[/math][br][math]...[/math]
If you get infinite points you will have the graph.[br]We don't have infinite time to draw infinite points. However, we have Geogebra!!
[b]How we can get the area between the graph and the x-axis in a closed interval?[/b]
How do you think that we can measure the area? Write your answer.
We can use rice grains to measure the area. [b]Look at the next photo![br][br][img]http://www.danipartal.net/imagenes-cuestionario/parabola-con-arroz-area.jpg[/img][/b]
How do you can measure a mathematical area with rice grains?
[list=1][*]Print the graphic on paper and spread glue over the rectangle ([b]Rectangle Area: 8 units square[/b]).[/*][*]Throw alleatory rice grains over the rectangle.[/*][*]Repeat the process until you have finished with all the grains.[/*][*]Wait a while for the glue to dry.[/*][*]Count the number of grains over the region between the function and the x-axis [b](success number: F)[/b]. Add to F the number of grains situated over the rest of the rectangle [b](total number: N)[/b].[/*][*]If N is a big number, we can assume that the relative frecuency F/N tend to the probability ([b]P[/b]) of finding a rice grain on the area created by the function and the x-axis, in the closed interval [0,2].[/*][*]Multiply [math]Area\times P[/math] to get the solution area.[/*][*]What is your result?[/*][/list]
Geogebra can create bunch of rice grains to measure the area!!
If Start = 0, Finish = 2 and maxPoints = 10000, what value does the probability tend to? Write your answer.
Challenge: Design a Geogebra simulation with a parabolic function, a closed interval and 500 points to estimate the area
[b][i]Hints for the task![/i][/b][br]Function:[br] [math]f\left(x\right)=x^2[/math][br]Interval: [br] [0,2][br]Image of the interval: [br] [0,4][br]Slider[b] [i]numPoints:[/i][/b] [br] from 1 to 500 [br]Random horizontal coordinate of a point from x=0,001 to x=2: [br] [b][i]aleaHor = AleatorioEntre(1,2000)/1000[/i][/b][br]Random vertical coordinate of a point from y=0,001 to y=4: [br] [b][i]aleaVer = AleatorioEntre(1,4000)/1000[/i][/b][br]Create a list of random horizontal coordinates: [br] [b][i]coordHor =[/i] [i]Secuencia(aleaHor, i , 1, 500)[br][/i][/b]Create a list of random vertical coordinates:[br] [b][i]coordVer =[/i] [i]Secuencia(aleaVer, i , 1, 500)[br][/i][/b]Create a list of points:[br] [i][b]points = Secuencia((coordHor(i), coordVer(i)),i,1,500)[/b][/i][b][br][br][color=#980000]Watch out! [/color][/b][color=#980000]Compare the vertical coordinate of each point with the image of the function generated by the horizontal coordinate: [br][i][b]count = Secuencia(Si(y(points(i)) < f(x(points(i))), true, false), i, 1, numPoints)[/b][br][/i]How do we know the number of points that belong to the solution area?[br]Commands: Secuencia() and Si(condition, then, else)[br]We need to compare the vertical coordinate of each point with the image of each horizontal coordinate in the function.[/color][br][i][i][i][br]Probability: [br] [b]prob = Suma(count)/500[/b][br]Solution area:[br] [b]areaSolution = 8·prob[/b][/i][/i][/i]