Geometria Analítica e Vetorial na escola
GeoGebraBook elaborado pelos mestrandos do Programa de Pós-graduação em Ensino de Matemática da Universidade Federal do Rio Grande do Sul. O livro trata de conceitos básicos da Geometria Analítica e Vetorial estudados na escola, utilizando recursos do GeoGebra.
Table of Contents
- Coordenadas no plano, distância entre dois pontos, ponto médio, razão de secção.
- Coordenadas Cartesianas
- Batalha Naval no Plano Cartesiano
- Distancia entre dois pontos
- PONTO MÉDIO
- Razão de Secção
- Equação da reta y = mx + n e métodos para determinação da equação da reta (dois pontos e ponto/coeficiente angular).
- Equação reduzida da reta: y = ax + b
- Posições relativas entre retas e sistemas de equações em 2 variáveis.
- Sistema de equações 2 x 2 e a respectiva análise das posições relativas entre retas
- Equação da circunferência e posições relativas.
- Equação reduzida da circunferência e posições relativas
- Vetores no plano e operações geométricas.
- Definições
- Operação com vetores: Adição
- Operação com vetores: Diferença
- Operação com vetores: Multiplicação por escalar
- Vetores no plano e operações algébricas.
- Vetores no Plano (Representação Algébrica)
- Operações Algébricas (Adição)
- Operações Algébricas (Subtração)
- Operações Algébricas (Multiplicação de Vetor por Escalar)
- Ortogonalidade de vetores, reta e vetor normal.
- Vetores Ortogonais
- Equação da Reta no Plano via Vetor Normal
- Conclusões Finais
- Vetores no espaço e operações (geométricas e algébricas).
- Plano e vetor normal e sistemas de equações em 3 variáveis.
- PLANO E VETOR NORMAL
- Plano perpendicular ao vetor N passando por Pzero
- Equação do Plano via Vetor Normal
- Sistemas de Equações em 3 Variáveis
Coordenadas Cartesianas
Equação reduzida da reta: y = ax + b
Autoras: Anelise e Elisete
Estudo do coeficiente angular(a) da reta y = ax + b
Estudo do coeficiente linear (b) da reta y = ax + b
ANÁLISE GRÁFICA DA FUNÇÃO y = ax + b
Sistema de equações 2 x 2 e a respectiva análise das posições relativas entre retas
Introdução
[justify][color=#000000]Para determinarmos as posições relativas entre duas retas em um sistema de equações, precisamos observar o vetor associado a cada reta e um ponto sob esta reta. O vetor associado é obtido por meio da equação, a primeira coordenada sendo o coeficiente de x e a segunda coordenadas o coeficiente de y. O ponto obtém-se quando atribuímos o valor zero à abcissa e assim determinamos a ordenada, com isso podemos analisar em ambos os casos (reta 1 e reta 2) em qual ponto interceptam o eixo das ordenadas.[/color][/justify]
Exploração
[justify][color=#000000]Por meio da manipulação do seguinte arquivo, faça representações, usando os controles deslizantes correspondentes, que ilustrem as respostas das perguntas. Sugestão: a cada construção o educando pode enviar a imagem ao professor.[br][br]a) Movimente os controles deslizantes, de maneira que as retas sejam paralelas. O que isso significa na classificação de um sistema 2 x 2?[br][br][color=#000000]b) Movimente os controles deslizantes, de maneira que as retas sejam paralelas e coincidam. O que isso significa na classificação de um sistema 2 x 2?[/color][br][br]c) Movimente os controles deslizantes, de maneira que as retas sejam concorrentes. O que isso significa na classificação de um sistema 2 x 2?[/color][/justify]
Equação reduzida da circunferência e posições relativas
[font=Arial][b][font=Arial][color=#000000] [/color][/font][/b][font=Arial][color=#000000]Circunferência é o conjunto de todos os pontos de um plano eqüidistantes de um ponto fixo, desse mesmo plano, denominado centro da circunferência:[/color][/font][/font][br][br][font=Arial] Assim, sendo [b]C[/b](a, b) o centro e [b]P[/b](x, y) um ponto qualquer da circunferência, a distância de [b]C[/b] a [b]P[/b](d[sub]CP[/sub]) é o raio dessa circunferência. Então:[br][br][/font]d[sub]CP=[math]\sqrt{\left(Xp-Xc\right)^2+\left(Yp-Yc\right)^2}[/math][br][br][math]r=\sqrt{\left(x-h\right)^2+\left(y-k\right)^2}[/math][br][br][math]r^2=\left(x-h\right)^2+\left(y-k\right)^2[/math][/sub][br][br][br][font=Arial] Portanto, (x - a)[sup]2[/sup] + (y - b)[sup]2[/sup] =r[sup]2[/sup] é a equação reduzida da circunferência e permite determinar os elementos essenciais para a construção da circunferência: as coordenadas do centro e o raio.[/font][br][font=Arial]Observação: Quando o centro da circunfer6encia estiver na origem ( C(0,0)), a equação da circunferência será x[sup]2[/sup] + y[sup]2[/sup] = r[sup]2[/sup] [/font]
EQUAÇÃO REDUZIDA DA CIRCUNFERÊNCIA DE CENTRO (H,K)
POSIÇÃO RELATIVA ENTRE CIRCUNFERÊNCIA E RETAS
Definições
Observe as figuras abaixo. Movimente um dos pontos da figura 1 e observe o que ocorre com o ponto da mesma cor na figura 2.
Definindo
Na animação, a figura 1 foi deslocada, permanecendo com as mesmas propriedades. Assim podemos dizer que a figura 1 foi transladada gerando a figura 2.[br]O efeito da translação pode ser representado por um conjunto de setas de mesma direção, sentido e comprimento.[br][br]Na animação abaixo movimente o ponto "mover" e analise o que ocorre com as demais setas
Vetor
Podemos entender um vetor como um conjunto de setas que tem a mesma direção, o mesmo sentido e o mesmo comprimento. [br]Setas que representam um mesmo vetor estão associadas por paralelogramos. Na animação acima marque a caixa "ver paralelogramo" e movimente os pontos observando o paralelogramo.[br][br]Na figura abaixo, há mais uma animação para que você verifique a translação, movimente-a e observe as propriedades já vistas anteriormente.
Vetores no Plano (Representação Algébrica)
[justify]Vejamos agora como representar, algebricamente, um vetor no plano cartesiano através da atividade abaixo:[/justify]A atividade mostra os pontos A e B formando o segmento orientado AB e o vetor u.[br]Mostra também os pontos C e D formando o segmento orientado CD e o vetor v.[br]O leitor deverá seguir as instruções contidas no arquivo GeoGebra e tirar suas próprias conclusões.
Representações Algébricas de Vetores
Conclusão:
[justify]Na imagem abaixo temos dois pontos:[/justify][justify]A = (xi, yi)[/justify][justify]B = (xf, yf)[/justify][justify]Temos também o vetor u que pode ser representado pelo segmento orientado AB. [/justify]
[justify]Percebe-se que a relação entre as coordenadas dos pontos A e B e as coordenadas do vetor u serão dadas por: [/justify][center]u = ( xf-xi , yf – yi )[/center][justify][br]Esta relação escrita em apenas uma linha pode, também, ser expressa através de uma coluna. [/justify]
Para saber mais...
Caso o aluno sinta-se interessado no assunto e queira se aprofundar, sugere-se que assista o vídeo abaixo até o final.[br]O vídeo trata sobre vetores no plano até o tempo: 9:16min. [br]Após isso, traz a ideia de vetores no espaço.
Geometria Analítica – Vetores no plano e no espaço
Vetores Ortogonais
ORTOGONALIDADE DE VETORES
[color=#000000][size=100]Se [math]\vec{u}=\vec{OP_1} (a,b)[/math] é ortogonal à [math]\vec{v}=\vec{OP_2} (c,d)[/math], o ângulo [math]\theta[/math] [math] [/math]entre os vetores [math]\vec{u}[/math] e [math]\vec{v}[/math] é 90˚.[/size][/color]
Vetores Ortogonais
[size=100][color=#000000]Observe o triângulo [/color][math][color=#000000]OP_1P_2.[/color][/math][/size][math][br][br][/math]
[color=#000000]Os lados desse triângulo têm as seguintes dimensões:[/color]
[color=#000000]Aplicando o Teorema de Pitágoras, temos:[/color]
[math][color=#000000]\left(\sqrt{\left(a-c\right)^2+\left(b-d\right)^2}\right)^2=\left(\sqrt{a^2+b^2}\right)^2+\left(\sqrt{c^2+d^2}\right)^2 [/color][br][br][/math]
[color=#444444]a²- 2ac + c² + b² - 2bd + d² = a² + b² + c² + d²[/color][br][br][color=#444444] a²- 2ac + c² + b² - 2bd + d² - a² - b² - c² - d² = 0[/color][br][br][color=#444444] - 2ac – 2bd = 0[/color][br][br][color=#444444] ac+ bd = 0[/color][br][br][color=#000000]Assim, podemos afirmar que:[br][br]Se [math]\vec{u}[/math][math] [/math](a, b) e [math]\vec{v}[/math][math] [/math] (c, d) são ortogonais, então a.c + b.d = 0.[/color]
PLANO E VETOR NORMAL
PLANO E VETOR NORMAL
Dado um ponto P e u[code][/code]m vetor N[math] [/math]existe um único plano que é ortogonal a N passando por P.[br][br]Na construção a seguir, movimente os controles deslizantes A, B e C para modificar o vetor normal N e movimento o ponto P na janela de visualização 3D para alterar o ponto pelo qual o plano passa.