La risoluzione delle equazioni irrazionali con somme algebriche di più radici quadrate si articola nelle seguenti fasi:[br][list=1][*]Si isola un termine con la radice in un membro trasportando tutti gli altri nel secondo membro[/*][*]Si compone un sistema composto dalle [b]condizioni di esistenza dei singoli radicali[/b], [b]eventuali condizioni di coerenza dei segni[/b] e dall'equazione ottenuta elevando alla seconda entrambi i membri[/*][*]Si ottiene un'equazione irrazionale per la quale ripetere le operazioni 1.+2. fino ad ottenere un'[b]equazione elementare[/b].[/*][*]Si risolve l'equazione elementare.[/*][/list]

Per semplicità verranno proposti esercizi con la somma algebrica di [b]sole due[/b] radici quadrate.

Risolvere la seguente equazione irrazionale:[br][center][math]\large \sqrt{2 x+1}+\sqrt{-2 x+9}=4[/math][/center]Per prima cosa si isola una delle radici a primo membro trasportando la seconda a secondo membro:[br][math]\sqrt{2x+1}=4-\sqrt{-2x+9}[/math][br]Si costituisce il seguente sistema composto dalle [b]condizioni di esistenza dei singoli radicali[/b] e dall'equazione ottenuta elevando alla seconda entrambi i membri, mentre la [b]condizione di coerenza dei segni[/b][sup](1)[/sup] del secondo membro si verificherà al termine dell'esercizio:[br][math]\begin{cases}2x+1=\left(4-\sqrt{-2x+9}\right)^2\\[br]2x+1\ge0\\ -2x+9\ge0\\^{\left(1\right)}4-\sqrt{-2x+9}\ge0\end{cases}\longrightarrow\ \begin{cases}2x+1=16-8\sqrt{-2x+9}-2x+9\\ x\ge-\frac{1}{2}\\ x\le\frac{9}{2}\\^{\left(1\right)}4-\sqrt{-2x+9}\ge0\end{cases}\longrightarrow\ \begin{cases}4x-24=-8\sqrt{-2x+9}\\ -\frac{1}{2}\le x\le\frac{9}{2}\\^{\left(1\right)}4-\sqrt{-2x+9}\ge0\end{cases}\longrightarrow\ \begin{cases}6-x=2\sqrt{-2x+9}\\ -\frac{1}{2}\le x\le\frac{9}{2}\\^{\left(1\right)}4-\sqrt{-2x+9}\ge0\end{cases}[/math][br]Si passa alla risoluzione dell'equazione irrazionale elementare ottenuta:[br][math]\begin{cases}6-x=2\sqrt{-2x+9}\\ -\frac{1}{2}\le x\le\frac{9}{2}\\^{\left(1\right)}4-\sqrt{-2x+9}\ge0 \end{cases} \longrightarrow\ \begin{cases}\left(6-x\right)^2=4\cdot\left(-2x+9\right)\\ -\frac{1}{2}\le x\le\frac{9}{2}\\ 6-x\ge0 \\ ^{\left(1\right)}4-\sqrt{-2x+9}\ge0 \end{cases}\longrightarrow\ \begin{cases}\cancel{36}-12x+x^2=-8x+\cancel{36}\\[br]-\frac{1}{2}\le x\le\frac{9}{2}\\ x\le6\\^{\left(1\right)}4-\sqrt{-2x+9}\ge 0 \end{cases}\longrightarrow\ \begin{cases} x^2-4x=0\ \begin{matrix}\nearrow&x=0\\ \searrow&x=4\end{matrix}\\ -\frac{1}{2}\le x\le\frac{9}{2}\\^{\left(1\right)}4-\sqrt{-2x+9}\ge0\end{cases}[/math][br]Quindi le soluzioni sono entrambe accettabili per le [b]condizioni di esistenza delle radici[/b]; si verifica la [b]condizione di coerenza dei segni[/b][sup](1)[/sup] citata sopra:[br][math]\begin{array}{l}\begin{cases}4-\sqrt{-2x+9}\ge0\\ x=0\end{cases}\longrightarrow\ 4-\sqrt{0+9}=1>0\\ \begin{cases}4-\sqrt{-2x+9}\ge0\\ x=4\end{cases}\longrightarrow\ 4-\sqrt{-8+9}=3>0\end{array}[/math][br]Concludendo le soluzioni dell'equazione sono:[br][center][math]\large \left\{0,\ 4\right\}[/math][/center]

[list][*]Con il bottone [b]"GENERA ESPRESSIONE"[/b] si crea un nuovo esercizio, nasconde il risultato qualora sia visibile e mostra il bottone "Mostra risultato" qualora sia nascosto.[/*][*]Con lo slider [b]"Valori max" [/b]è possibile variare il valore massimo dei numeri.[/*][*]Il bottone [b]"Mostra risultato"[/b] se premuto scompare e visualizza il risultato[/*][*]Con gli strumenti penna e cancella è possibile risolvere l'esercizio nello spazio dedicato.[/*][/list]