Wenn ein Körper (nur unter dem Einfluss der Schwerkraft) nach unten fällt, so hat er nach t Sekunden einen Weg s(t) zurückgelegt. [br][br][center][math]s\left(t\right)=\frac{g}{2}\cdot t^2[/math] (s Weg in m; t Zeit in s; g Erdbeschleunigung: g = 9,81 m/s²)[/center]Rechne näherungsweise mit g ≈ 10 m/s², sodass der zurückgelegte Weg durch [math]s\left(t\right)=5\cdot t^2[/math] beschrieben wird.[br][br][b]Aufgabenstellung 1[/b][br]Berechne die Momentangeschwindigkeit des Körpers zum Zeitpunkt t = 1.[br][br][i]Grundlegende Idee:[/i] Näherungsweises Berechnen der mittleren Geschwindigkeit in kurzen Zeitintervallen. Ermitteln der Momentangeschwindigkeit als Grenzwert von mittleren Geschwindigkeiten [math]\overline{v}\left(t_0;t\right)[/math].[br]Nähere dich dem Zeitpunkt t[sub]0[/sub] = 1 von rechts und von links an. [br][br][table][br][tr][td][i]Rechtsseitige Annäherung[/i][/td][td][/td][td] [/td][td][i]Linksseitige Annäherung[/i][/td][td][br][/td][/tr][br][tr][td][math]\overline{v}\left(1;2\right)=[/math] ...[/td][td][/td][td][/td][td][math]$\overline{v}\left(0;1\right)=$[/math] ...[/td][td][br][/td][/tr][br][tr][td][math]$\overline{v}\left(1; 1,1\right)=$[/math] ...[/td][td][/td][td][/td][td][math]$\overline{v}\left(0,9;1\right)=$[/math] ...[/td][td][br][/td][/tr][tr][td][math]$\overline{v}\left(1;101\right)=$[/math] ...[/td][td][br][/td][td][/td][td][math]$\overline{v}\left(0,99;1\right)=$[/math] ...[/td][td][/td][/tr][br][tr][td][math]$\overline{v}\left(1; 1,001\right)=$[/math] ...[/td][td][/td][td][/td][td][math]$\overline{v}\left(0,999;1\right)=$[/math] ...[/td][td][/td][/tr][br][tr][td]Für [math]h>0[/math] gilt: [/td][td][/td][td][/td][td] [/td][td][/td][/tr][br][br][tr][br][td][math]\overline{v}\left(1; 1+ h\right)= \frac{s(1+h)-s(1)}{h} =...=10+5h[/math][/td][td][/td][td][/td][br][td][math]\overline{v}\left(1-h; 1\right)= \frac{s(1)-s(1-h)}{h} =...=10-5h[/math][/td][td][/td][/tr][br][tr][br][td][math]v(1)= \lim_{h \to 0}{\overline{v}\left(1; 1+ h\right)= \lim_{h \to 0}{10+5h} = 10[/math][/td][td][/td][td][/td][br][td][math]v(1)= \lim_{h \to 0}{\overline{v}\left(1-h; 1\right)= \lim_{h \to 0}{10-5h} = 10[/math] [/td][td][/td][/tr][br][/table][br]

Eine allgemeine Darstellung für die Durchschnittsgeschwindigkeit im Intervall [math][t_0;t][/math], wobei t>t[sub]0[/sub] oder t<t[sub]0[/sub] sein kann, ist[br][center][math]\overline{v}\left(t_0;t\right)=\frac{s\left(t\right)-s\left(t_0\right)}{t-t_0}=\frac{5t^2-5t_0^2}{t-t_0} = \frac{5(t-t_0)(t+t_0)}{t-t_0}[/math] .[/center]Die Funktion [math]\overline{v}[/math] ist an der Stelle [math]t_0[/math] allerdings nicht definiert.[br]Für die Funktion [math]\overline{v_1}[/math] mit [center][math]\overline{v_1}(t_0;t) = 5(t+t_0)[/math],[/center]die an der Stelle [math]t_0[/math] definiert und stetig ist, gilt aber für alle [math]t \neq t_0[/math], dass [math]\overline{v_1}(t_0; t) = \overline{v}(t_0;t)[/math] ist. [br] [math]\overline{v_1}[/math] ist eine [b]stetige Fortsetzung[/b] der Funktion [math]\overline{v}[/math].[br][br][br][b]Aufgabenstellung 2[/b][br]Spiele die [b]Animation [/b]ab.[br][br]Verwende für eine genaue Einstellung des Schiebereglers [b]t[/b] die [b]Pfeiltasten[/b] ◀ und ▶ der Tastatur. [br][b]Zoome[/b] bei Bedarf in die Konstruktion, um das Steigungsdreieck besser betrachten zu können.

Manchmal können bei der oben gezeigten Darstellung Verständnisschwierigkeiten entstehen, weil nicht unmittelbar einsichtig ist, warum sich ein [b]Körper beim freien Fall (scheinbar) nach oben bewegt[/b] und dementsprechend der Graph für den zurückgelegten Weg nach oben geht.[br]Um dieser Schwierigkeit entgegen zu wirken, kann der zurückgelegte Weg auch im negativen Sinn aufgetragen werden, was eine bessere Übereinstimmung mit der realen Situation ergibt. Zu beachten ist dabei, dass die so [b]berechnete Geschwindigkeit[/b] nun [b]negativ [/b]ist.