[b][size=150][b][size=150][color=#999999]このページは電子ブック「[i][url=https://www.geogebra.org/m/a4dwkkhh]探求　数学Ⅲ[/url]」の一部です[/i]。[/color][br][/size][/b][br]＜区分求積法＞[/size][/b][br]関数ｆ（ｘ）の定義域の閉区間[a,b]を適当にn個の区間に細分a=a0, a1,...,ai,...an=bして、[br]f(a[sub]i[/sub])と細分された幅h[sub]i[/sub]との積S[sub]i[/sub]=f(a[sub]i[/sub])h[sub]i[/sub]の和I[sub]n[/sub]＝∑S[sub]i[/sub]を近似和という。[br]この和をｎ→∞にしたときh[sub]i[/sub]→dxとなるので、[br] I[sub]n[/sub]の極限値limI[sub]n[/sub]=Iを[color=#0000ff][b]定積分[/b][/color]という。lim[sub]n→0[/sub]f(a[sub]i[/sub])h[sub]i[/sub]=∫f(x)dxとかく。[br]この細分は区間の等分とはかぎらず一定値に収束するとき、Iを[a,b]で[color=#0000ff][b]積分可能[/b][/color]という。[br]一般には、細分化は等分することが多い。区間をｎ等分した場合、[br]細分幅はh=(b-a)/nで、a[sub]i[/sub]=a+i・hとなる。S[sub]i[/sub]=hf(a[sub]i[/sub]) の和はI[sub]n[/sub]=h∑f(a[sub]i[/sub])。[br]さらにa=0,b=1であれば、h=(1-0)/n=1/n、ai=a+i/n=0+i/n=i/n。[br]細分でできる短冊は２つのメモリで挟まれている。[br]・０スタートのメモリ、[b]短冊の左側のメモリ[/b]で高さf(x)を求めると、[br]１枚めの短冊の高さはf(0/n)=f(0)になり、ｎ枚目の高さがf((n-1)/n)になるから、[br][math]\int^1_0f\left(x\right)dx=lim_{n\rightharpoondown\infty}\sum^{n-1}_{k=0}f\left(\frac{k}{n}\right)\frac{1}{n}=lim_{n\rightharpoondown\infty}\frac{1}{n}\sum^{n-1}_{k=0}f\left(\frac{k}{n}\right)[/math][br]・１スタートのメモリ、[b]短冊の右側のメモリ[/b]で高さf(x)を求めると、[br]１枚目の短冊の高さはf(1/n)になり、ｎ枚目の高さがf(n/n)=f(1)になるから、[br][math]\int^1_0f\left(x\right)dx=lim_{n\rightharpoondown\infty}\sum^n_{k=1}f\left(\frac{k}{n}\right)\frac{1}{n}=lim_{n\rightharpoondown\infty}\frac{1}{n}\sum^n_{k=1}f\left(\frac{k}{n}\right)[/math][br]・左固定、右固定ではなくて、１つの細分に対する左右の高さのうち小さい方だけあつめた[br][color=#0000ff][b]下方和[LowerSum][/b][/color]と大きい方だけあつめた[color=#0000ff][b]上方和[UpperSum][/b][/color]のそれぞれの極限値は[br]曲線積分値を挟み撃ちすることでも積分可能が説明できるね。[br][color=#0000ff]（例）[br][/color]「自然数ｎについて、1+1/2+1/3+....+1/n>log(n+1)が成り立つ」のはどうして？[br] y=1/xは減少関数なので、f(x)>f(x+1)となるね。[br]だから、ｘ=kとx=k+1の２メモリにはさまれた短冊S(k)の高さをf(k)=1/kとすると、短冊の右端の曲線との交点の高さがf(k+1)でf(k)より小さい。[br]だから、この短冊の面積f(k)よりも、曲線の下の面積integral(1/x,k,k+1)は小さい。つまり、[math]\int^{k+1}_k\frac{1}{x}dx<\frac{1}{k}[/math][br]このような短冊S(k)をk=1,2,3,.......,nと動かして合計したのが、Sum(S(k),k,1,n)＝1/1+1/2+......+1/n。[br]これよりも曲線の下の面積もk=1,2,3,......,nと動かした合計integral(1/x,1,n+1)=[math]\int^{n+1}_1\frac{1}{x}dx=\left[log\left|x\right|\right]^{n+1}_1=log\left(n+1\right)-log1=log\left(n+1\right)[/math]が小さい。 [br][br][b]＜定積分と不定積分のつながり＞[/b][br]ここで、ｂを動かした関数[br][math]S\left(x\right)=\int^x_af\left(t\right)dt[/math] を定義するとき、この微分は[math]S'\left(x\right)=\frac{d}{dx}\int^x_af\left(t\right)dt=f\left(x\right)[/math]となる。[br]つまり、S(x)はｆ(x)の原始関数の１つだ。だらか、F(x)=S(x)+Cとおける。[br]すると、F(b)-F(a)=S(b)-S(a)=[math]\int^b_af\left(t\right)dt-\int^a_af\left(t\right)dt=\int^b_af\left(t\right)dt[/math] [br] この等式の最初と最後から、[math]\int^b_af\left(x\right)dx=F\left(b\right)-F\left(a\right)[/math]　（不定積分の基本）[br][size=150][size=100]・定積分は[color=#0000ff][b]線形[linear][/b][/color]の操作である。（[color=#0000ff][b]和・差・定数倍は積分記号の外に出せる[/b][/color]。）[br]　線形だから、ベクトルと同じで折れ線をつなぐように切ったりつないだりできる。[br]　たとえば、integral(f,a,c)+integral(f,c,b)=integral(f,a,b)のように。[br]・定積分はf(x)が区間[a,b]で０以上ならば、その区間での関数とｘ軸がはさむ面積を意味する。[br]・区間[a,a]の定積分は０である。[br]・定積分も微分係数と同様に中間値の定理、平均値の定理が成り立つ。[br][/size][b][br]＜偶関数と奇関数＞[br][/b][/size]偶関数f(x)はｙ軸対称なので、f(-x)=f(x)からintegral(f(x),-a,a)=2 integral(f(x),0,a)[br]奇関数f(x)は原点対称なので、f(-x)+f(x)=0からintegral(f(x),-a,a)=0。[br][br][color=#0000ff]（例）[/color][br]「[math]P=lim_{n\longrightarrow\infty}\left(\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+4}+.........+\frac{1}{n+2n}\right)[/math]の値」は？[br][math]lim_{n\longrightarrow\infty}\frac{1}{n}\sum^n_{k=1}\frac{n}{n+2k}=lim_{n\longrightarrow\infty}\frac{1}{n}\sum^n_{k=1}\frac{1}{1+\frac{2k}{n}}=\int^1_0\frac{1}{1+2x}dx=\frac{1}{2}\int^1_0\frac{\left(1+2x\right)'}{1+2x}dx=\frac{1}{2}\left[log\left|1+2x\right|\right]^1_0[/math][br]=1/2(log3-log1)=1/2・log3[br][color=#0000ff]（例）[/color][br]「[math]Q=lim_{n\longrightarrow\infty}\left(\frac{n}{n^2+1^2}+\frac{n}{n^2+2^2}+.........+\frac{n}{n^2+n^n}\right)[/math]の値」は？[br][math]Q=lim_{n\longrightarrow\infty}\frac{1}{n}\sum^n_{k=1}\frac{n^2}{n^2+k^2}=lim_{n\longrightarrow\infty}\frac{1}{n}\sum^n_{k=1}\frac{1}{1+\left(\frac{k}{n}\right)^2}=\int^1_0\frac{1}{1+x^2}dx[/math][br]置換積分しよう。x=tanθとおくと、x=[0,1]のときθ=[0,π/4]。dx/dθ=1/cos[sup]2[/sup]θ　だから、dx=1/cos[sup]2[/sup]θ dθ。[br]また、1+tan[sup]2[/sup]θ=1/cos[sup]2[/sup]θも使える。[br]Q=[math]\int^{\frac{\pi}{4}}_0\frac{1}{1+tan^2\theta}\cdot\frac{1}{cos^2\theta}d\theta=\int^{\frac{\pi}{4}}_0\frac{cos^2\theta}{1}\cdot\frac{1}{cos^2\theta}d\theta=\int^{\frac{\pi}{4}}_01d\theta=\left[\theta\right]^{\frac{\pi}{4}}_0=\frac{\pi}{4}[/math][br][color=#0000ff]（例）[/color][br]「[math]R=lim_{n\longrightarrow\infty}\frac{1}{n}log\left(\left(1+\frac{1}{n}\right)\left(1+\frac{2}{n}\right)\cdot.........\cdot\left(1+\frac{n}{n}\right)\right)[/math]の値」は？[br][math]R=lim_{n\longrightarrow\infty}\sum^n_{k=1}\frac{1}{n}log\left(1+\frac{k}{n}\right)=\int^1_0log\left(1+x\right)dx=\int^1_01\cdot log\left(1+x\right)dx[/math][br]部分積分しよう。F,G=1+x, log(1+x)とすると、f,g=1,1/(1+x）だから、[br]R=[math]\left[\left(1+x\right)log\left(1+x\right)\right]^1_0-\int^1_0\left(1+x\right)\cdot\frac{1}{1+x}dx=\left(2log2-1log1\right)-\left[x\right]^1_0=log4-loge=log\frac{4}{e}[/math][br][color=#0000ff]（例）[/color][br]「[math]S=lim_{n\longrightarrow\infty}\left(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+.........+\frac{1}{n+n}\right)[/math]の値」は？[br][math]lim_{n\longrightarrow\infty}\frac{1}{n}\sum^n_{k=1}\frac{n}{n+k}=lim_{n\longrightarrow\infty}\frac{1}{n}\sum^n_{k=1}\frac{1}{1+\frac{k}{n}}=\int^1_0\frac{1}{1+x}dx=\int^1_0\frac{\left(1+x\right)'}{1+x}dx=\left[log\left|1+x\right|\right]^1_0[/math][br]=(log2-log1)=log2

積分方程式から関数を求める。[br]見かけは複雑になるけど、[color=#0000ff][b]定積分は数値だから文字で仮定[/b][/color]して求めよう。[br]たとえば、f(x)=sinx+[math]\int^{\frac{\pi}{6}}_0f\left(t\right)costdt[/math] のときのf(x)を求めたいとする。[br]定積分をAとしよう。f(x)=sinx+Aだから、cost dt=df/dt dt =f'(t)dt。部分積分をしよう。[br]（部分積分では、積分区間は変わらないので、途中式では省略する）[br]A=∫f(t)cost dt =∫ f(t)f'(t) dt=f(t)f(t) - ∫ f'(t)f(t)dt=f(t)[sup]2[/sup]-A。[br]2A=(sin(π/6)+A)[sup]2[/sup]-(sin0+A)[sup]2[/sup]=1/4+A。だから、A=1/4。[br][color=#0000ff]（例）[/color][br]「f(x)=x+[math]\int^1_0e^tf\left(t\right)dt[/math] のときの関数の定積分の数値」は？[br]定積分をAとすると、f(x)=x+Aだから、f'(t)=df/dt= 1 g(t)=e[sup]t[/sup]とすると、 (g)'=g。部分積分をしよう。[br]（部分積分では、積分区間は変わらないので、途中式では省略する）[br]A=∫g'f(t)dt=[gf]-∫gf' dt=[e[sup]t[/sup](t+A)-e[sup]t[/sup]]=[e[sup]t[/sup](t+A-1)]=(e[sup]1[/sup](1+A-1))-(e[sup]0[/sup](0+A-1))=eA-(A-1)=A(e-1)+1。[br]これから、A(1-e+1)=1なので、A＝[math]\frac{1}{2-e}[/math]。[br]

２変数関数の積分[br]積分変数でない文字は数値として扱えばいいね。[br]同じ関数でも積分変数がちがうと積分関数も変わるね。[br]I(x)=∫(2t・x - t[sup]2[/sup])dx=tx[sup]2 [/sup]- t[sup]2[/sup]x 積分区間ｘ＝[0,1]ならば、I(1)-I(0)=t[sup] [/sup]- t[sup]2[br][/sup]J(t)=∫(2t・x - t[sup]2[/sup])dt=xt[sup]2[/sup] - 1/3t[sup]3[/sup] 積分区間t＝[0,1]ならば、J(1)-J(0)=x-1/3[br]（例）[br]「f(x)=[math]\int^{\pi}_{-\pi}\left(sint-xt\right)^2dt[/math]を最小とするｘの値」は？[br]積分関数を展開する。tを変数とすると(1)sin[sup]2[/sup]t- (2x)tsint+(x[sup]2[/sup])t[sup]2[/sup]どの項も偶関数。[br]だから積分区間t=[0,π]の値の２倍になる。[br]A=sin[sup]2[/sup]t, B=tsint,C=t[sup]2[/sup]とすると、ｔについて積分すると定数になる。[br]2integral[A,0,π]=2integral[(1-cos2t)/2,0,π]=integral[1-cos2t,0,π]=π-1/2sin2π-(0-1/2sin0)=π[br]2integral[B,0,π]=2[t(-cost)+sinx,0,π]=2(π-0)=2π（部分積分の結果）[br]2integral[C,0,π]=2[1/3t[sup]3[/sup], 0, π]=2/3π[sup]3[/sup]-0=2/3π[sup]3[/sup][br]f(x)=2integral[(1)sin[sup]2[/sup]t- (2x)tsint+(x[sup]2[/sup])t[sup]2[/sup],0,π]=(1)π-(2x)2π＋(x[sup]2[/sup])2/3π[sup]3[br][/sup]f(x)=2/3π[sup]3[/sup]x[sup]2[/sup]-4πx+π。y=f(x)は下に凸なので、はf'(x)=4/3π[sup]3[/sup]x-4π＝０で最小。[br]f'(x)=0の解はx=3/π[sup]2[/sup][br]