Die allgemeine Funktionsgleichung einer Exponentialfunktion lautet [math]f\left(x\right)=c\cdot a^x[/math].[br][br]Zunächst soll es um die [u]Ableitung[/u] dieser Funktion gehen. Durchlaufen Sie dazu folgende Schritte mithilfe des GeoGebra-Applets:[br][list=1][*]Schritt: [b]Wählen [/b]Sie individuell Werte von a und c.[/*][*]Schritt: [b]Notieren [/b]Sie eine Vermutung, wie eine Ableitungsfunktion von der Funktion [math]f\left(x\right)[/math] lauten könnte. [/*][*]Schritt: [b]Überprüfen [/b]Sie Ihre Vermutung [b]graphisch[/b], indem Sie den Ableitungsgraphen anzeigen (über das Kontrollkästchen aktivieren).[/*][/list]
________________________________________________________________________________________________________[br][br][br][br][br]Vermutlich stimmt Ihre Vermutung noch nicht mit dem korrekten Ableitungsgraphen überein, falls doch: direkt weiter zu 2. Fall. [br][list=1][*][u]Fall "Stimmt nicht überein": [/u][b]Versuchen [/b]Sie Ihre Vermutung immer [b]weiter zu verbessern[/b], sodass sie möglichst genau mit dem angezeigten Ableitungsgraphen übereinstimmt.[br][br]--> Geschafft? --> weiter zu 2. Fall.[br][br][/*][*][u]Fall "Stimmt überein"[/u]: BRAVO! Aber ob das nicht Zufall war? [b]Probieren[/b] Sie es nochmal mit einer anderen Wahl von a und c. [/*][/list][br]An dieser Stelle sollten Sie es an mindestens zwei verschiedenen Funktionen [br][math]f\left(x\right)[/math] probiert haben. [b]Notieren [/b]Sie sich die beiden Funktionen und die zugehörigen (ausprobierten) Ableitungsfunktionen. [br][br]__________________________________________________________________________________________________________
Kreuzen Sie die korrekten Aussagen an.
[b][u]__________________________________________________________________________________________________________[br][br][br][br][br][br][br][br][br][br][br][br]INFO[/u][/b][br][br]Die Ableitungsfunktion einer Funktion [math]f\left(x\right)=c\cdot a^x[/math] ist [math]f'\left(x\right)=c\cdot ln\left(a\right)\cdot a^x=c\cdot log_e\left(a\right)\cdot a^x[/math]. [br][math]ln\left(a\right)[/math] ist dabei ein spezieller Logarithmus, darauf kommen wir noch später zurück. [br][br]Im Folgenden schauen wir uns die Funktion [math]f\left(x\right)=a^x[/math] an, also mit [math]c=1[/math]. Die Ableitung [math]f'\left(x\right)[/math] ist damit gegeben durch [math]f'\left(x\right)=ln\left(a\right)\cdot a^x[/math].
[b][u]__________________________________________________________________________________________________________[br][br][br][br][br][br][br][br][br][br][br][br][br][br][br][br][br]Info - Euler'sche Zahl e[br][br][/u][/b]Vielleicht ist es Ihnen schon aufgefallen? Die Funktion [math]f\left(x\right)=2,7^x[/math] stimmt FAST mit der EIGENEN Ableitung überein, da [math]0,99\approx1[/math] (siehe gelbe Markierung). [br][br][img]data:image/png;base64,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[/img][br]Es gibt sogar eine besondere Zahl e, sodass die Funktion [math]f\left(x\right)=e^x[/math]EXAKT mit der eigenen Ableitung übereinstimmt, also [math]f'\left(x\right)=f\left(x\right)=e^x[/math]. [br][br]Kreuzen Sie die korrekten Aussagen an.
[b][u]__________________________________________________________________________________________________________[br][br][br][br][br][br][br][br][br][br][br][br][br][br][br]INFO[br][br][/u][/b]Die [b]Euler'sche Zahl e[/b] hat folgenden Wert: [math]e\approx2,718281828...[/math] [br]e ist (genauso wie [math]\pi[/math]) eine irrationale Zahl und hat unendlich viele Nachkommastellen. [br][br]Die zugehörige Exponentialfunktion [math]f[/math] mit [math]f\left(x\right)=e^x[/math] heißt [b]natürliche Exponentialfunktion[/b]. [br]Die Ableitungsfunktion stimmt mit der Funktion überein: [math]f'\left(x\right)=e^x[/math]. [br]F mit [math]F\left(x\right)=e^x[/math] ist eine Stammfunktion von f.