[right][size=85][size=50][size=85][size=85][size=50][size=50][i][b][size=50]Diese Aktivität ist eine Seite des [color=#980000]geogebra-books[/color] [url=https://www.geogebra.org/m/xtueknna][color=#0000ff][u]geometry of some complex functions[/u][/color][/url][/size][/b][/i] ([color=#ff7700][i][b]december 2021[/b][/i][/color])[/size][/size][/size][/size][/size][/size][/right][size=100][b][color=#980000]Elliptische Differentialgleichungen - möbiusgeometrisch charakterisiert[/color][/b][/size][br] - [color=#cc0000][i][b]Kurzfassung[/b][/i][/color][br][size=85]Wir wollen [color=#38761D][i][b]elliptische Differentialgleichungen[/b][/i][/color] [math]\left(g'\right)^2=c\cdot\left(g-f_1\right)\cdot\left(g-f_2\right)\cdot\left(g-f_3\right)\cdot\left(g-f_4\right)[/math] mit [math]f_1,f_2,f_3,f_4\in\mathbb{C}\cup\left\{\infty\right\}[/math][br]und ihre [color=#9900ff][i][b]komplex-analythischen[/b][/i][/color] [color=#ff7700][i][b]Lösungsfunktionen[/b][/i][/color] [math]z\mapsto g\left(z\right)[/math] [color=#0000ff][i][b]möbiusgeometrisch [/b][/i][color=#000000]charakterisieren.[br]Genauer und allgemeiner: Klassifiziert werden die Lösungen der [color=#38761D][i][b]Differentialgleichung[/b][/i][/color] [math]\left(g'\right)^2=P\left(g\right)[/math] [br]mit einem Polynom [math]w\mapsto P\left(w\right)[/math] von höchstens 4. Ordnung.[br]Dazu sind in erster Linie die[/color][i][b] [color=#00ff00]Brennpunkte[/color] [/b][/i][/color][i][b] [math]f_1,f_2,f_3,f_4\in\mathbb{C} [/math][/b][/i] (Nullstellen der Differentialgleichung) [color=#0000ff][i][b]möbiusgeometrisch[/b][/i][/color] zu klassifizieren.[br][br][color=#cc0000][b]I.:[/b][/color] Die [color=#38761D][i][b]Differentialgleichung[/b][/i][/color] besitzt einen [b]4[/b]-fachen [color=#00ff00][i][b]Brennpunkt[/b][/i][/color]: [math]\left(g'\right)^2=c\cdot\left(g-f\right)^4[/math] oder [math]g'=\tilde{c}\cdot\left(g-f\right)^2[/math].[br] [color=#ff7700][i][b]Lösungskurven[/b][/i][/color] sind die [i][b]Kreise[/b][/i] eines [color=#ff0000][i][b]parabolischen Kreisbüschels[/b][/i][/color]. [br] Durch eine geeignete [color=#0000ff][i][b]Möbiustransformation[/b][/i][/color] erreicht man [math]f=\infty[/math], die [color=#ff7700][i][b]Lösungskurven[/b][/i][/color] sind die Parallelen zur [math]x[/math]-Achse[br] und Lösung von [math]g'\left(z\right)=1[/math], also zB.: [math]g\left(z\right)=z[/math].[br][color=#cc0000][b]II.: [/b][color=#000000]Die [color=#38761D][i][b]Differentialgleichung[/b][/i][/color] besitzt 2 verschiedene [color=#666666][i][b]doppelt-zählende[/b][/i][/color] [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color]: [math]\left(g'\right)^2=c\cdot\left(g-f_1\right)^2\cdot\left(g-f_2\right)^2[/math][/color][/color],[br] also [math]g'=c\cdot\left(g-f_1\right)\cdot\left(g-f_2\right)[/math]. [color=#ff7700][i][b]Lösungskurven[/b][/i][/color] sind die Kreise eines [color=#ff0000][i][b]hyperbolischen Kreisbüschels[/b][/i][/color], bzw. deren [color=#9900ff][i][b]Loxodrome[/b][/i][/color].[br] Transformiert man die [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] nach [math]\infty[/math] und 0, so erhält man mit geeignetem [math]c\in\mathbb{C}[/math] [math]g'=\left(g-0\right)[/math][br] und als [color=#ff7700][i][b]Lösung[/b][/i][/color] [math]g\left(z\right)=e^z[/math]. [color=#ff7700][i][b]Lösungskurven[/b][/i][/color] sind die [color=#ff0000][i][b]Ursprungsgeraden[/b][/i][/color], orthogonal dazu die [color=#ff0000][i][b]konzentrischen Kreise[/b][/i][/color] um 0.[br][color=#cc0000][b]III.:[/b][/color] Die [/size][size=85][size=85][color=#cc0000][color=#000000][color=#38761D][i][b]Differentialgleichung[/b][/i][/color][/color][/color][/size] besitzt einen [b]3[/b]-fachen und einen [b]1[/b]-fachen [color=#00ff00][i][b]Brennpunkt[/b][/i][/color]: [math]\left(g'\right)^2=c\cdot\left(g-f_1\right)\cdot\left(g-f_2\right)^3[/math].[br] Transformiert man den [b]3[/b]-fachen [color=#00ff00][i][b]Brennpunkt[/b][/i][/color] nach [math]\infty[/math], den [b]1[/b]-fachen nach 0, so ergibt sich für [math]\left(g'\right)^2=\left(g-0\right)[/math][br] die [color=#ff7700][i][b]Lösung[/b][/i][/color] [math]z\mapsto g\left(z\right)=\frac{1}{4}z^2[/math] und als [color=#ff7700][i][b]Lösungskurven[/b][/i][/color] [color=#38761D][i][b]konfokale[/b][/i][/color] [color=#ff7700][i][b]Parabeln[/b][/i][/color] mit 0 als [color=#00ff00][i][b]Brennpunkt[/b][/i][/color].[br][color=#cc0000][b]IV.: [/b][/color][/size][size=85][size=85]Die [/size][size=85][size=85][color=#cc0000][color=#000000][color=#38761D][i][b]Differentialgleichung[/b][/i][/color][/color][/color][/size] besitzt einen [b]2[/b]-fachen und zwei [b]1[/b]-fache [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][color=#000000]: [math]\left(g'\right)^2=c\cdot\left(g-f_1\right)\cdot\left(g-f_2\right)\cdot\left(g-f_3\right)^2[/math].[/color][/color][/size][br] Transformiert man [math]f_3[/math] nach [math]\infty[/math] und [math]f_1,f_2[/math] nach [math]\pm1[/math], so ist [math]z\mapsto \mathbf{sin}\left(z\right)[/math] eine [color=#ff7700][i][b]Lösung[/b][/i][/color] von [math]\left(g'\right)^2=\left(g^2-1\right)[/math],[br] [color=#ff7700][i][b]Lösungskurven[/b][/i][/color] sind [color=#38761D][i][b]konfokale[/b][/i][/color] [color=#ff7700][i][b]Kegelschnitte[/b][/i][/color] mit den [color=#00ff00][i][b]Brennpunkten[/b][/i][/color] [math]\mp1[/math].[br][color=#cc0000][b]V.:[/b][/color] Die [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] sind paarweise verschieden: die [i][b]Lösungen[/b][/i] sind [color=#38761D][i][b]elliptische Funktionen[/b][/i][/color] im eigentlichen Sinne.[br] Transformiert man einen der [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] (zB. [math]f_4[/math]) nach [math]\infty[/math], so sind [color=#ff7700][i][b]Lösungen[/b][/i][/color] der entstehenden [color=#38761D][i][b]Differentialgleichung[/b][/i][/color][br] [math]\left(\wp^{'}\right)^2=4\cdot\left(\wp-f_1\right)\cdot\left(\wp-f_2\right)\cdot\left(\wp-f_3\right)[/math] die [b]Weierstraßschen[/b] [math]\wp[/math]-[color=#38761D][i][b]Funktionen[/b][/i][/color]. [br] [color=#cc0000][i][b]Normalform[/b][/i][/color]: [br] Die 4 verschiedenen [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] kann man stets mit einer [color=#0000ff][i][b]Möbiustransformation[/b][/i][/color] [br] abbilden auf [math]f,-f,\frac{1}{f},-\frac{1}{f}\mbox{ mit }f\in\mathbb{C}\backslash\left\{ 0,\infty,1,-1,i,-i\right\}[/math]. [br] Für die [color=#38761D][i][b]elliptischen[/b][/i][/color] [color=#ff7700][i][b]Lösungsfunktionen[/b][/i][/color] der [color=#38761D][i][b]Differentialgleichung[/b][/i][/color] in [i][color=#cc0000][b]Normalform[/b][/color][/i]:[br][/size][list][*][size=85] [math]\left(g'\right)^2=c\cdot\left(g^4-\left(f^2+\frac{1}{f^2}\right)\cdot g^2+1\right)[/math][/size][size=85] [br][/size][/*][/list][size=85] kennen wir keine [i]Bezeichnung[/i]. [br] Falls die [i][b]absolute Invariante[/b][/i] der 4 [/size][size=85][color=#00ff00][i][b][size=85][size=85][color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color][/size][/size][/b][/i][/color] [i][b]nicht[/b][/i] reell ist, besitzen die [/size][size=85][size=85][color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color][/size] und die [/size][size=85][size=85][color=#ff7700][i][b][br] Lösungskurven[/b][/i][/color][/size] außer den [color=#f1c232][i][b]Punktspiegelungen[/b][/i][/color] an den Grundpunkten [math]0,\infty,1,-1,i,-i[/math] keine weiteren [color=#f1c232][i][b]Symmetrien[/b][/i][/color].[br][color=#cc0000][b]Va.:[/b][/color] Die [i][b]absolute Invariante[/b][/i] ist reell und nicht-negativ. Das ist dann und nur dann der Fall, wenn die [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] [br] [color=#ff0000][i][b]konzyklisch[/b][/i][/color] liegen, also beispielsweise auf der [math]x[/math]-Achse oder auf dem [color=#BF9000][i][b]Einheitskreis[/b][/i][/color]. [br] In [/size][size=85][size=85][i][color=#cc0000][b]Normalform[/b][/color][/i][/size] sind die [/size][size=85][size=85][color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color][/size] und die [/size][size=85][size=85][color=#ff7700][i][b]Lösungskurven[/b][/i][/color][/size] [color=#f1c232][i][b]symmetrisch[/b][/i][/color] zu den Koordinatenachsen, [br] dem [color=#BF9000][i][b]Einheitskreis[/b][/i][/color] und dem zu diesen orthogonalen [color=#BF9000][i][b]imaginären Kreis[/b][/i][/color].[br] Die [b]Jacobi[/b]-[color=#38761D][i][b]Funktionen[/b][/i][/color] [b]sn[/b] und [b]dn[/b] sind fast von diesem Typ: durch eine einfache Streckung (oder Stauchung) ergeben[br] sich [color=#ff7700][i][b]Lösungsfunktionen[/b][/i][/color] in [/size][size=85][size=85][i][color=#cc0000][b]Normalform[/b][/color][/i][/size] mit [/size][size=85][size=85][color=#00ff00][i][b]Brennpunkten[/b][/i][/color][/size] auf der [math]x[/math]-Achse.[br][color=#cc0000][b]Vb.:[/b][/color] [/size][size=85][size=85]Die [i][b]absolute Invariante[/b][/i] ist reell und nicht-positiv.[/size] Das ist dann und nur dann der Fall, wenn 2 [/size][size=85][size=85][color=#00ff00][i][b]Brennpunkt[/b][/i][/color][/size]-Paare[br] spiegelbildlich auf 2 [color=#0000ff][i][b]orthogonalen[/b][/i][/color] [color=#ff0000][i][b]Kreisen[/b][/i][/color] liegen.[br] In [/size][size=85][size=85][size=85][i][color=#cc0000][b]Normalform[/b][/color][/i][/size][/size] liegen die [/size][size=85][size=85][size=85][color=#00ff00][i][b]Brennpunkt[/b][/i][/color][/size]-Paare[/size] auf den Achsen oder auf den Winkelhalbierenden.[br] Die [/size][size=85][size=85][b]Jacobi[/b]-[color=#38761D][i][b]Funktion[/b][/i][/color][/size] [b]cn[/b] ist bis auf eine Streckung von diesem Typ.[/size]

[size=85][color=#cc0000][i][b]Wie läßt sich die Normalform[/b][/i][/color] [math]f,-f,\frac{1}{f},-\frac{1}{f}\mbox{ mit }f\in\mathbb{C}[/math] [color=#cc0000][i][b]kurz (?) begründen?[/b][/i][/color][br][br]Im [color=#980000][i][b]geogebra-book [math]\hookrightarrow[/math] [/b][/i][/color][color=#0000ff][u][i][b][url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb]Möbiusebene[/url][/b][/i][/u][/color], insbesondere im Kap. [math]\hookrightarrow[/math] [color=#0000ff][u][i][b]Lage von 4 Punkten[/b][/i][/u][/color] wird dies ausführlich begründet [br]und es werden geometrische Konstruktionen dazu angegeben.[br][br]Berechnen läßt sich dies unseren Erachtens nach am ehestens durch die Darstellung der [color=#0000ff][i][b]Möbiusgruppe[/b][/i][/color] als[br] [b]Spezielle komplexe orthogonale Gruppe[/b] [math]\mathbf{SO(3,\mathbb{C})}[/math] und die Deutung des [color=#0000ff][i][b]Geradenraum[/b][/i][/color]s als [b]LIE[/b]-Algebra dieser Gruppe.[br]Dazu dient als [color=#0000ff][i][b]Übertragung[/b][/i][/color] das [i][b]euklidische Koordinatensystem[/b][/i]: in einem 3-dimensionalen komplexen Vektorraum,[br]unten als [color=#0000ff][i][b]Geradenraum[/b][/i][/color] [math]\mathbf{\mathcal{G}}[/math] bezeichnet, ist eine nichtausgeartete symmetrische Bilinearfom und ein alternierendes Produkt[br]ausgezeichnet. [br]Der Vektorraum [math]\mathbf{\mathcal{G}}[/math] wird dadurch zu einer Komplexifizierung des Euklidischen Vektorraums mit Skalarprodukt und[br]Kreuzprodukt. Geometrisch deuten läßt sich dieser [/size][size=85][size=85][color=#0000ff][i][b]Geradenraum[/b][/i][/color][/size] mit Hilfe der stereographischen Projektion:[br]Die komplexe Ebene [math]\bold{\mathbb{C}}[/math] wird auf die [color=#85200C][i][b]Einheitskugel[/b][/i][/color] projiziert. Geraden in dem umgebenden dreidimensionalen Raum[br]können als [color=#ff0000][i][b]Kreisbüschel [/b][/i][/color]gedeutet werden: die Ebenen durch eine [color=#ff0000][i][b]Berührgerade[/b][/i][/color] schneiden die [b]Riemann[/b]sche [color=#5B0F00][i][b]Zahlenkugel[/b][/i][/color][br]in einem [color=#ff0000][i][b]parabolischen Kreisbüschel[/b][/i][/color]; Ebenen durch Schnittgeraden schneiden in einem [color=#ff0000][i][b]elliptischen Kreisbüschel[/b][/i][/color],[br]Ebenen durch eine ganz außerhalb verlaufenden Geraden schneiden in einem [color=#ff0000][i][b]hyperbolischen Kreisbüschel[/b][/i][/color].[br][br]Nun seien [math]f_1,f_{2,}f_3,f_4[/math] vier verschiedene [color=#ff0000][i][b]Punkte[/b][/i][/color] in [math]\mathbb{C}\cup\{\infty\}[/math]. [math]\mathbf\vec{g}_{ij}=\mathbf\vec{g}\left(f_i,f_j\right)\mbox{ für }i\ne j[/math] seien die [i][b]Verbindungsgeraden[/b][/i].[br]Von einem komplexen Faktor abgesehen ist [math]\mathbf\vec{g}_{ij}[/math] das [b]LIE[/b]-Produkt der beiden Berührgeraden-Vektoren [math]\mathbf\vec{p}\left(f_i\right),\mathbf\vec{p}\left(f_j\right)[/math].[br]Die 3 Geradenvektoren [math]\mathbf\vec{g}_{1234}=\left[\mathbf\vec{g}_{12},\mathbf\vec{g}_{34}\right],\mathbf\vec{g}_{1324}=\left[\mathbf\vec{g}_{13},\mathbf\vec{g}_{24}\right],\mathbf\vec{g}_{1423}=\left[\mathbf\vec{g}_{14},\mathbf\vec{g}_{23}\right][/math] sind paarweise [color=#0000ff][i][b]orthogonal[/b][/i][/color]. [br]Die Verbindungsgeraden [math]\mathbf\vec{g}_{ij},i\ne j[/math], aus denen die [b]LIE[/b]-Produkte gebildet werden, sind ebenfalls orthogonal zu den Produkten.[br]Rechnerisch folgt dies aus den[b] Lagrange[/b]schen Entwicklungsregeln. Im 3-dimensionalen [i][b]euklidischen Vektorraum [/b][/i]sind[br]diese Regeln für das [i][b]Kreuz[/b][/i]-Produkt ([i][b]cross[/b][/i]-product) vertraut.[br]Geometrisch sind 2 [i][b]Geraden[/b][/i] orthogonal, wenn sich ihre [color=#ff0000][i][b]Pole[/b][/i][/color] (Schnittpunkte mit der [b]Riemann[/b]schen [color=#5B0F00][i][b]Zahlenkugel[/b][/i][/color]) [br][color=#0000ff][i][b]harmonisch[/b][/i][/color] trennen; insbesondere sind sie dann [color=#ff0000][i][b]konzyklisch[/b][/i][/color].[br]Wählt man die 3 orthogonalen Koordinatenachsen im Raum als die drei oben angegebenen paarweise orthogonalen[br]Geraden, so sind [math]0,\infty,1,-1,i,-i[/math] die [i][b]Pole[/b][/i] und je zwei der 4 [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] liegen punkt-symmetrisch [br]zu jeweils 2 [i][b]Polen[/b][/i].[br]Dies ist nur möglich, wenn die [color=#ff0000][i][b]Punkte[/b][/i][/color] [math]f_1,f_2,f_3,f_4[/math] sich möbiusgeometrisch transformieren lassen[br]in Punkte [math]f,-f,\frac{1}{f},-\frac{1}{f}[/math].[/size]

[size=50]Durch [b]4[/b] verschiedene [color=#00ff00][i][b]Punkte[/b][/i][/color] gehen, wenn sie nicht konzyklisch sind, [b]4[/b] [i][b]Kreise[/b][/i].[br]Die 6 [color=#cc0000][i][b]Winkelhalbierenden-Kreise[/b][/i][/color] dieser [b]4[/b] [i][b]Kreise[/b][/i] schneiden sich - geeignet gepaart - in den [color=#e69138][i][b]Grundpunkten[/b][/i][/color][br]der [color=#f1c232][i][b]Symmetrie-Kreise; [/b][/i][color=#000000]das sind oben die Punkte[/color][/color] ([math]0,\infty,1,-1,i,-i[/math]).[br]Dies folgt geometrisch aus der [b]Lagrange[/b]schen Entwicklungsregel: [math]\left[\mathbf\vec{g}_1,\mathbf\vec{g}_2\right]\bullet\left[\mathbf\vec{g}_3,\mathbf\vec{g}_4\right]=\left(\mathbf\vec{g}_1\bullet \mathbf\vec{g}_3\right)\cdot\left(\mathbf\vec{g}_2\bullet \mathbf\vec{g}_4\right)-\left(\mathbf\vec{g}_2\bullet \mathbf\vec{g}_3\right)\cdot\left(\mathbf\vec{g}_1\bullet \mathbf\vec{g}_4\right)[/math].[/size]

Ein [b]euklidisches Koordinatensystem[/b] ist eine [i]orientierte[/i] Basis [math]\mathbf\vec{p}_\infty,\,\mathbf\vec{g}_0,\,\mathbf\vec{p}_0[/math] [br]im Geradenvektorraum [math]\large\mathcal{G}[/math] mit [math]\mathbf{Det}\left(\mathbf\vec{p}_\infty,\mathbf\vec{g}_0,\mathbf\vec{p}_0\right)=1[/math], für welche die beiden Produkttabellen gelten: [br][list][br][math]\mbox{ }\Large\begin{tabular} {|c||c|c|c|} \hline [br]\bullet & \mathbf\vec{p}_\infty &\mathbf\vec{g}_0 & \mathbf\vec{p}_0 \\ \hline\hline [br]\mathbf\vec{p}_\infty & 0 & 0 & 1 \\ \hline [br]\mathbf\vec{g}_0 & 0 & -1 & 0 \\ \hline [br]\mathbf\vec{p}_0 & 1& 0 & 0 \\ \hline\end{tabular}[/math] [math]\Large\begin{tabular}{|c||c|c|c|} \hline [br][\;\,,\;] & \mathbf\vec{p}_\infty & \mathbf\vec{g}_0 & \mathbf\vec{p}_0 \\ \hline\hline [br]\mathbf\vec{p}_\infty & \mathfrak{o} & \mathbf\vec{p}_\infty & \mathbf\vec{g}_0 \\ \hline [br]\mathbf\vec{g}_0 & -\mathbf\vec{p}_\infty & \mathfrak{o}& \mathbf\vec{p}_0 \\ \hline [br]\mathbf\vec{p}_0 & - \mathbf\vec{g}_0 & - \mathbf\vec{p}_0& \mathfrak{o} \\ \hline\end{tabular}[/math][/list][list][*]Die Punkte auf der Möbiusquadrik mit Ausnahme von [math]\infty\equiv \mathbf\vec{p}_\infty[/math] erreicht man durch die [br]komplexe Parametrisierung der Berührgeraden: [math]\mathbf\vec{p}(z):=\frac{z^2}{2}\cdot \mathbf\vec{p}_\infty+z\cdot\mathbf\vec{g}_0+\mathbf\vec{p}_0,\mbox{ mit }z\in\mathbb{C}[/math].[/*][/list][list][*]Die Verbindungsgerade zweier Punkte [math]z_1,z_2\in\mathbb{C}[/math]: [br][math]\mbox{ }\mathbf\vec{g}(z_1,z_2)=\frac{\left[\mathbf\vec{p}(z_1),\mathbf\vec{p}(z_2)\right]}{\mathbf\vec{p}(z_1)\bullet\mathbf\vec{p}(z_2)} =\frac{1}{z_1-z_2}\left(z_1z_2\cdot\mathbf\vec{p}_\infty+\left(z_1+z_2\right)\cdot\mathbf\vec{g}_0+2\cdot\mathbf\vec{p}_0\right)[/math], [br]es ist [math]\left(\mathbf\vec{g}(z_1,z_2)\right)^2=-1[/math].[/*][/list][list][*][math]\mathbf\vec{g}\in\large\mathcal{G}[/math] ist eine Gerade, wenn [math]\mathbf\vec{g}\bullet\mathbf\vec{g}\in \mathbb{R}[/math] gilt: [br] [math]\left\{\begin{matrix}{\mathbf\vec{g}\bullet\mathbf\vec{g}<0} & {\mbox{ Schnittgerade: elliptisches Kreisbüschel }}\\{\mathbf\vec{g}\bullet\mathbf\vec{g}=0} &{\mbox{ Berührgerade: parabolisches Kreisbüschel}}\\{\mathbf\vec{g}\bullet\mathbf\vec{g}>0} & {\mbox{ Gerade außerhalb: hyperbolisches Kreisbüschel}}\end{matrix}\right\}[/math] [/*][br][*]Zwei Geraden [math]\mathbf\vec{g}_1,\mathbf\vec{g}_2\in\large\mathcal{G}[/math] schneiden sich, wenn [math] \mathbf\vec{g}_i\bullet\mathbf\vec{g}_i\in \mathbb{R},i=1,2[/math] und [math] \mathbf\vec{g}_1\bullet\mathbf\vec{g}_2\in \mathbb{R}[/math] gelten.[br]Die Geraden schneiden sich dann [math]\left\{\begin{matrix} \mbox{innerhalb der Möbiusquadrik} & \mbox{ wenn } & {\Delta\left(\mathbf\vec{g}_1,\mathbf\vec{g}_2\right)>0} \\\mbox{auf der Möbiusquadrik} &\mbox{ wenn } &{\Delta\left(\mathbf\vec{g}_1,\mathbf\vec{g}_2\right)=0}\\\mbox{außerhalb der Möbiusquadrik} & \mbox{ wenn } & {\Delta\left(\mathbf\vec{g}_1,\mathbf\vec{g}_2\right)<0}\end{matrix}\right\}[/math] ,[br]für die Diskriminante [math]\Delta\left(\mathbf\vec{g}_1,\mathbf\vec{g}_2\right)={\mathbf\vec{g}_1}^2\cdot{\mathbf\vec{g}_2}^2-\left(\mathbf\vec{g}_1\bullet\mathbf\vec{g}_2\right)^2[/math] gilt.[/*][/list]

[size=85][size=85][size=50][right][size=85][size=50][i][b][size=50]Diese Aktivität ist eine Seite des [color=#980000]geogebra-books[/color] [url=https://www.geogebra.org/m/xtueknna][color=#0000ff][u]geometry of some complex functions[/u][/color][/url] [color=#ff7700]Dezember 2021[/color][/size][/b][/i][/size][/size][br]Diese Seite ist auch Teil des [color=#980000][b]GeoGebra-Books [i][color=#000000][url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb]Moebiusebene[/url][/color][/i][/b][/color] [/right][/size][/size]Es gibt 3 Möglichkeiten, 4 verschiedene [color=#ff0000][i][b]Punkte[/b][/i][/color] in 2 [color=#ff0000][i][b]Punkte-Paare[/b][/i][/color] zu zerlegen.[br]Ein [color=#ff0000][i][b]Punkte-Paar[/b][/i][/color] (z.B.: [math]\left[f_1,f_2\right][/math]) repräsentiert ein (elliptisches) [color=#ff0000][i][b]Kreisbüschel[/b][/i][/color], bestehend aus allen [color=#ff0000][i][b]Kreisen[/b][/i][/color] [br]durch die beiden [color=#ff0000][i][b]Punkte[/b][/i][/color]. Die [b]LIE[/b]-Klammern verwenden wir analog zu den [b]LIE[/b]-Klammern der [b]LIE[/b]-Algebra der [br][color=#0000ff][i][b]Möbius-Gruppe[/b][/i][/color]: Stellt man die Gruppe der Möbiustransformationen als komplexe [math]\mathbf{SO(3,\mathbb{C})}[/math] dar, so kann man [br]die komplexen Vektoren der zugehörigen [b]LIE[/b]-Algebra deuten als [color=#ff0000][i][b]Kreisbüschel[/b][/i][/color] und den dazugehörigen [color=#38761D][i][b]loxodromischen Kurven[/b][/i][/color].[br]Die komplexe [color=#0000ff][i][b]Möbius[/b][/i][/color]-[b]LIE[/b]-Algebra ist die komplexifizierung des dreidimensionalen [i][b]euklidischen Vektorraumes[/b][/i] mit [br][color=#cc0000][i][b]Skalarprodukt[/b][/i][/color] und [color=#cc0000][i][b]Kreuzprodukt[/b][/i][/color].[br]Wir untersuchen beispielsweise die beiden Kreisbüschel [math]\left[f_1,f_2\right][/math] und [math]\left[f_3,f_4\right][/math]. [br]Falls die 4 [color=#ff0000][i][b]Punkte[/b][/i][/color] nicht [color=#ff0000][i][b]konzyklisch[/b][/i][/color] sind, d.h. falls sie nicht auf einem Kreis oder einer Geraden liegen,[br]gibt es aus dem [color=#ff0000][i][b]elliptischen Kreisbüschel[/b][/i][/color] [math]\left[f_1,f_2\right][/math] je ein [color=#ff0000][i][b]Kreis[/b][/i][/color] durch [math]f_3[/math] und durch [math]f_4[/math].[br]Dazu konstruiere man die Winkelhalbierenden-Kreise (rot) [color=#cc0000][b]cw12[sub]1[/sub][/b][/color], [color=#cc0000][b]cw12[sub]2[/sub][/b][/color]. [br]Auf dieselbe Weise konstruiere man Winkelhalbierenden-Kreise (grün) [color=#38761D][b]cw34[sub]1[/sub][/b][/color], [color=#38761D][b]cw34[sub]2[/sub][/b][/color] für das [color=#ff0000][i][b]elliptische Kreisbüschel[/b][/i][/color] [math]\left[f_3,f_4\right][/math][br]und die [color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color] durch [math]f_1[/math] und [math]f_2[/math]. [br]Eines der Kreis-Paare [color=#cc0000][b]cw12[sub]i[/sub][/b][/color], [color=#38761D][b]cw34[sub]j[/sub][/b][/color] liegen in einem [color=#ff0000][i][b]hyperbolischen Kreisbüschel[/b][/i][/color] (sie schneiden sich nicht reell),[br]das andere Kreis-Paar schneidet sich in den Grundpunkten des [color=#ff0000][i][b]hyperbolischen Kreisbüschels[/b][/i][/color]: [math]z12_1[/math] und [math]z12_2[/math][br]es sind die Grundpunkte des [color=#ff0000][i][b]Kreisbüschels[/b][/i][/color] [math]\left[\left[f_1,f_2\right],\left[f_3,f_4\right]\right][/math].[br]Die [color=#ff0000][b]Punkte-Paare[/b][/color] [math]f_1,f_2[/math] und [math]f_3,f_4[/math] liegen jeweils [color=#BF9000][i][b]punkt-symmetrisch[/b][/i][/color] zu den Grund-Punkten [math]\left[\left[f_1,f_2\right],\left[f_3,f_4\right]\right][/math].[br]Eine [color=#BF9000][i][b]Punktspiegelung[/b][/i][/color] ist eine gleichsinnige [color=#0000ff][i][b]Möbiustransformation[/b][/i][/color], sie entsteht als Produkt von 2 [color=#BF9000][i][b]Kreisspiegelungen[/b][/i][/color] [br]an 2 [color=#0000ff][i][b]orthogonalen [/b][/i][/color][color=#ff0000][i][b]Kreisen[/b][/i][/color] aus dem [color=#ff0000][i][b]elliptischen Kreisbüschel[/b][/i][/color] [math]\left[\left[f_1,f_2\right],\left[f_3,f_4\right]\right][/math].[br]Rechnerisch folgt dies daraus, dass die [b]LIE[/b]-Produkte [math]\left[f_1,f_2\right][/math] und [math]\left[f_3,f_4\right][/math] [color=#0000ff][i][b]orthogonal[/b][/i][/color] zu [math]\left[\left[f_1,f_2\right],\left[f_3,f_4\right]\right][/math] sind.[br][br]Analog konstruiert für die anderen [color=#ff0000][i][b]Punkte-Paare[/b][/i][/color] die [b]LIE[/b]-Produkte und ihre [color=#ff0000][i][b]Kreisbüschel[/b][/i][/color]:[br][/size][size=85][list][*]Die [b]LIE[/b]-Produkte [math]\left[\left[f_1,f_2\right],\left[f_3,f_4\right]\right][/math], [math]\left[\left[f_1,f_3\right],\left[f_2,f_4\right]\right][/math] und [math]\left[\left[f_1,f_4\right],\left[f_2,f_3\right]\right][/math] sind paarweise [color=#0000ff][i][b]orthogonal[/b][/i][/color], [br]ihre Grundpunkte liegen auf 4 paarweise [color=#0000ff][i][b]orthogonalen[/b][/i][/color] [color=#ff0000][i][b]Kreisen[/b][/i][/color] (einer davon imaginär) [br]und die vorgegebenen Punkte-Paare liegen zu den zugeordneten [color=#BF9000][i][b]Grundpunkten[/b][/i][/color] punkt-symmetrisch[/*][/list]Die Rechnungen ergeben sich aus der [b]Lagrange[/b]schen [color=#0000ff][i][b]Entwicklungsregel[/b][/i][/color] für das [b]LIE[/b]-Produkt. [br]Die [color=#BF9000][i][b]Grundpunkte[/b][/i][/color] lassen sich mittels einer [color=#0000ff][i][b]Möbiustransformation[/b][/i][/color] auf [math]0,\infty,1,-1,i,-i[/math] abbilden,[br]aus der [color=#BF9000][i][b]Punktsymmetrie[/b][/i][/color] folgt dann, dass die Bilder von [math]f_1,f_2,f_3,f_4[/math] sich als [math]f,-f,\frac{1}{f},-\frac{1}{f}[/math] mit [math]f\in\mathbb{C}[/math] darstellen lassen.[/size]