Observemos la siguiente figura, la cual es una versión editada de la primera figura de la sección 1.7
Los pies de las tres alturas de cualquier triángulo, los puntos medios de los tres lados, y los puntos medios de los segmentos de los tres vértices al ortocentro yacen en el mismo círculo de radio [math]\frac{1}{2}R[/math]. [br][br][b]Demostración[/b]: [br][br]K, L, M son los puntos medios de los segmentos AH, BH, CH de las tres alturas. Como BC es un lado común de los dos triángulos ABC y HBC, los cuales sus lados son bisecados por C', B' (respectivamente) y L, M, ambos segmentos C'B' y LM son paralelos a BC (y mitad de largos). Similarmente, como AH es un lado común de los dos triángulos BAH y CAH, ambos segmentos C'L y B'M son paralelos a AH (y mitad de largos). Por tanto, B'C'LM es un paralelogramo. Como BC y AH son perpendiculares, este paralelogramo es un rectángulo. Similarmente, A'B'LK es un rectángulo, al igual que C'A'MK. Por lo tanto, A'K, B'L, C'M son tres diámetros de un círculo, como lo veremos en una figura a continuación. [br][br]Como [math]\angle A'DK[/math] es un ángulo recto, el círculo (con A'K como diámetro) pasa a través de D. Similarmente, pasa a través de E y F. [br][br]Por lo tanto, hemos probado el Teorema.
Este círculo se le llama el [b]círculo de nueve puntos[/b]. Este nombre fue dado por J. V. Poncelet.
El centro del círculo de nueve puntos yace en la línea de Euler, el punto medio entre el ortocentro y el circuncentro. [br][br][b]Demostración[/b]: [br][br]Como los puntos K, L, M son diamétricamente opuestos a A', B', C' entonces cualquier de los dos triángulos KLM y A'B'C' pueden ser derivados del otro por un medio-giro (una rotación a [math]180^\circ[/math]) alrededor del centro del círculo. Claramente, este medio-giro, el cual intercambia los dos triángulos congruentes, también debe intercambiar sus ortocentros [math]H[/math] y [math]O[/math]. Por tanto, el centro del círculo de nueve puntos es el punto medio de [math]HO[/math], el cual ya hemos denotado por [math]N[/math] en preparación a su rol como el centro de nueve puntos.