[size=150][color=#ff0000]RICONOSCERE I PUNTI ESTREMALI: ANCORA TAYLOR[/color][/size][br]Nel paragrafo precedenti abbiamo definito una [b]condizione necessaria per i punti di massimo e minimo vincolati[/b]: per tutti i punti di questo tipo [b]le derivate prime parziali della funzione Lagrangiana[br][/b][br][math]\Large{L(x,y,\lambda) = f(x,y)+\lambda g(x,y)}[/math][br][br][b]sono pari a zero[/b]. Ora è necessario capire come è possibile [b][color=#ff0000]distinguere quali, tra questi punti, sono effettivamente di massimo o minimo e quali hanno caratteristiche di altro tipo[/color][/b].[br][br]Riprendiamo lo sviluppo di Taylor che indica la variazione di output di un funzione a due variabili quando ci si sposta di un tratto infinitesimo di componenti [math]\Large{(\textcolor{blue}{dx},\textcolor{blue}{dy})}[/math] rispetto ad un punto di riferimento [math]\Large{O(\textcolor{#009900}{x},\textcolor{#009900}{y})}[/math] che soddisfa la condizione necessaria e quindi [i]potrebbe[/i] essere di massimo o di minimo. .[br][br][math]\Large{f(\textcolor{#009900}{x}+\textcolor{blue}{dx},\textcolor{#009900}{y}+\textcolor{blue}{dy}) \approx f(\textcolor{#009900}{x},\textcolor{#009900}{y}) +f_x(\textcolor{#009900}{x},\textcolor{#009900}{y})\cdot \textcolor{blue}{dx}+f_y(\textcolor{#009900}{x},\textcolor{#009900}{y})\cdot \textcolor{blue}{dy} + \frac{1}{2}f_{xx}(\textcolor{#009900}{x},\textcolor{#009900}{y}) \cdot \textcolor{blue}{dx}^2 +\frac{1}{2}f_{yy}(\textcolor{#009900}{x},\textcolor{#009900}{y})\cdot \textcolor{blue}{dy}^2 + f_{xy}(\textcolor{#009900}{x},\textcolor{#009900}{y})\cdot \textcolor{blue}{dx}\cdot \textcolor{blue}{dy} }[/math][br][br]Come abbiamo ricordato i punti che ci interessa valutare sono potenzialmente di minimo e massimo, quindi soddisfano la condizione necessaria ed hanno le derivate prime nulle, per cui come nel caso non vincolato l'espressione si riduce a [br][br][math]\Large{f(\textcolor{#009900}{x}+\textcolor{blue}{dx},\textcolor{#009900}{y}+\textcolor{blue}{dy}) \approx f(\textcolor{#009900}{x},\textcolor{#009900}{y}) + \textcolor{red}{ \frac{1}{2}f_{xx}(\textcolor{#009900}{x},\textcolor{#009900}{y}) \cdot \textcolor{blue}{dx}^2 +\frac{1}{2}f_{yy}(\textcolor{#009900}{x},\textcolor{#009900}{y})\cdot \textcolor{blue}{dy}^2 + f_{xy}(\textcolor{#009900}{x},\textcolor{#009900}{y})\cdot \textcolor{blue}{dx}\cdot \textcolor{blue}{dy}} }[/math][br][br]Quindi la variazione di output [math]\Large{\Delta f}[/math] dato dallo spostamento è pari a [br][br][math]\Large{\Delta f = f(\textcolor{#009900}{x}+\textcolor{blue}{dx},\textcolor{#009900}{y}+\textcolor{blue}{dy}) - f(\textcolor{#009900}{x},\textcolor{#009900}{y}) \approx \textcolor{red}{ \frac{1}{2}f_{xx}(\textcolor{#009900}{x},\textcolor{#009900}{y}) \cdot \textcolor{blue}{dx}^2 +\frac{1}{2}f_{yy}(\textcolor{#009900}{x},\textcolor{#009900}{y})\cdot \textcolor{blue}{dy}^2 + f_{xy}(\textcolor{#009900}{x},\textcolor{#009900}{y})\cdot \textcolor{blue}{dx}\cdot \textcolor{blue}{dy}} }[/math][br][br]A questo punto è necessario ricordare che noi stiamo cercando un punto estremale vincolato, quindi [b]lo spostamento infinitesimo [math]\Large{(\textcolor{blue}{dx},\textcolor{blue}{dy})}[/math] non ci interessa in una direzione qualsiasi, ma solo lungo il vincolo [math]\Large{g(x,y)=0}[/math] che ci è stato chiesto di rispettare[/b]. [br][br]Come abbiamo detto il vincolo [math]\Large{g(x,y)=0}[/math] può essere visto come una curva di livello della funzione generale [math]\Large{z = g(x,y)}[/math], quindi [b]per muoverci lungo tale curva di livello lo spostamento da compiere dovrà essere perpendicolare al gradiente [/b][math]\Large{(g_x,g_y)}[/math][b] della funzione[/b]. Dalla geometria analitica elementare sappiamo che due rette perpendicolari hanno coefficienti angolari antireciproci tra loro[br][br][math]\Large{\textcolor{red}{m'}=-\frac{1}{\textcolor{blue}{m}}}[/math][br][br]che, considerando la definizione di coefficiente angolare [math]\Large{m=\frac{dy}{dx}}[/math], si traduce in [br][math]\Large{\textcolor{red}{m'}=\frac{\textcolor{red}{dy}}{\textcolor{red}{dx}}=-\frac{\textcolor{blue}{dx}}{\textcolor{blue}{dy}}}[/math][br][br]Dato che [math]\Large{dx}[/math] e [math]\Large{dy}[/math] sono proprio le componenti dello spostamento infinitesimo lungo la retta di coefficiente angolare [math]\Large{m}[/math], quello che abbiamo ottenuto è che [b]il vettore perpendicolare è definito da componenti scambiate tra loro, di cui una è cambiata di segno[/b].[br]

[size=85]Il vettore [math]\large{\textcolor{#009900}{v}}[/math] ha componenti [math]\large{\textcolor{red}{\Delta x = 3}}[/math] e [math]\large{\textcolor{blue}{\Delta y = 2}}[/math], che definiscono anche il coefficiente angolare della retta [math]\large{f}[/math] a cui appartiene. Il vettore [math]\large{\textcolor{orange}{v'}}[/math], che appartiene alla retta [math]\large{g}[/math] che è perpendicolare ad [math]\large{f}[/math], ha le due componenti invertite, ed una ha segno opposto. Il vettore [math]\large{\textcolor{orange}{v''}}[/math] mostra chiaramente che è indifferente a quale delle due componenti viene cambiato il segno.[/size]

Poichè lo spostamento lungo il quale dobbiamo valutare la variazione di output della funzione che stiamo studiando deve avvenire lungo la curva [di livello] definita dal vincolo, esso deve essere perpendicolare al gradiente [math]\Large{(g_x,g_y)}[/math] della funzione associata al vincolo e quindi deve essere ad esempio [math]\Large{(\textcolor{blue}{dx},\textcolor{blue}{dy}) = (-g_y,g_x)}[/math]. Se sostituiamo queste componenti nell'approssimazione di Taylor della variazione otteniamo:[br][br][math]\Large{\Delta f \approx \textcolor{red}{ \frac{1}{2}f_{xx}(\textcolor{#009900}{x},\textcolor{#009900}{y}) \cdot (\textcolor{blue}{-g_y})^2 +\frac{1}{2}f_{yy}(\textcolor{#009900}{x},\textcolor{#009900}{y})\cdot (\textcolor{blue}{g_x})^2 + f_{xy}(\textcolor{#009900}{x},\textcolor{#009900}{y})\cdot \textcolor{blue}{-g_y}\cdot \textcolor{blue}{g_x}} }[/math][br][br]che, elaborata leggermente, diventa[br][br][math]\huge{\Delta f \approx \frac{1}{2} \left [f_{xx}(\textcolor{#009900}{x},\textcolor{#009900}{y}) \cdot \textcolor{blue}{g_y}^2 +f_{yy}(\textcolor{#009900}{x},\textcolor{#009900}{y})\cdot \textcolor{blue}{g_x}^2 -2 f_{xy}(\textcolor{#009900}{x},\textcolor{#009900}{y})\cdot \textcolor{blue}{g_y}\cdot \textcolor{blue}{g_x} \right ] }[/math][br][br]Studiando il segno di questa espressione, [i]ed in particolare della parentesi quadrata[/i], possiamo capire la natura del punto critico analizzato:[br][br][list][*]se la variazione di output è [b]positiva [/b]significa che in qualsiasi modo ci spostiamo dal punto in esame il risultato aumenta, quindi siamo in un [b]punto di minimo[/b];[br][br][/*][*]se l'espressione è [b]negativa [/b]significa che in qualsiasi modo ci spostiamo dal punto in esame il risultato diminuisce, quindi siamo in un [b]punto di massimo.[br][br][/b][/*][/list][color=#ff0000][size=150]UN TRUCCO MNEMONICO (O LA TEORIA DELLE MATRICI): l'HESSIANO ORLATO[br][/size][/color]Per ricordare meglio l'espressione che dobbiamo valutare per riconoscere punti di minimo e di massimo, possiamo notare che possiamo ricavarla costruendo una matrice 3x3 con le derivate seconde della Lagrangiana [math]\Large{L(x,y,\lambda) = f(x,y)+\lambda g(x,y)}[/math], similmente a come fatto nel caso dei massimi e minimi liberi. Ogni riga stabilisce la variabile rispetto alla quale si effettua la prima derivata (per convenzione nell'ordine [math]\Large{\lambda}[/math], [math]\Large{x}[/math] e [math]\Large{y}[/math]), ed ogni colonna la variabile per la seconda derivazione; otteniamo il seguente Hessiano, detto Hessiano orlato a causa della presenza delle righe evidenziate in blu in cui compaiono le derivate del vincolo e che fanno da orlo alla matrice quadrata nera, l'Hessiano della funzione che già conosciamo. [br][br][math]\huge{H_L(x,y,_\lambda)=\left (\begin{array} [br]\ \textcolor{blue}{0} & \textcolor{blue}{g_x} & \textcolor{blue}{g_y}\\ [br]\textcolor{blue}{g_x} & L_{xx} & L_{xy} \\[br]\textcolor{blue}{g_y} & L_{yx} & L_{yy} \\[br]\end{array}\right )}[/math][br][br][b]Se calcoliamo il determinante di questa matrice, otteniamo esattamente il contenuto della parentesi quadrata nell'espressione ricavata al paragrafo precedente, che ci serve per studiare la natura dei punti critici,[color=#ff0000] a meno del segno, che risulta opposto[/color]. [br][br]Possiamo quindi decidere di ricordarci l'espressione originale o aiutarci con questa matrice, ricordando però che le valutazione sul segno vanno invertite.[/b][br][br][b]NOTA[/b]: se decidiamo di aggiungere la derivazione rispetto alla nuova variabile [math]\Large{\lambda}[/math] [i]dopo[/i] le due coordinate già presenti nell'Hessiano non orlato, la parte in alto a sinistra della matrice rimane identica e dopo viene aggiunto l'orlo: [br][br][math]\huge{H_L(x,y,_\lambda)=\left (\begin{array} [br]\ L_{xx} & L_{xy} & \textcolor{blue}{g_x} \\[br]L_{yx} & L_{yy} & \textcolor{blue}{g_y} \\[br]\textcolor{blue}{g_x} & \textcolor{blue}{g_y} & \textcolor{blue}{0}\\ [br]\end{array}\right )}[/math][br][br]il determinante resta identico (resta l'opposto della quantità che ci rivela la natura dei punti critici) e quindi può essere utilizzato nello stesso modo.

[color=#ff0000][size=150]UN ESEMPIO CONCRETO: MASSIMIZZAZIONE DELLA PRODUZIONE A COSTO FISSATO[/size][/color][br]La funzione di Cobb-Douglas è un modello che data la quantità di lavoro [math]\Large{L}[/math] e di capitale (macchinari ed altri artefatti) [math]\Large{K}[/math] investiti, fornisce la quantità di bene prodotti. La sua forma è[br][br][math]\Large{Q(K,L)=AK^\alpha L^\beta}[/math][br][br]Ci poniamo il problema di ottenere la combinazione ottimale di capitale e lavoro, cioè quella che massimizza la produzione rispettando il vincolo per cui il costo [math]\Large{C(K,L)=rK+wL}[/math] (dove [math]\Large{w}[/math] e [math]\Large{r}[/math] sono i rispettivi costi unitari del due fattori di produzione) sia pari ad un certo valore fissato [math]\Large{C_0}[/math] .[br][br]Si tratta di un problema di massimo vincolato, con vincolo [math]\Large{g(K,L)=rK+wL-C_0 = 0}[/math] e quindi può essere risolto tramite la Lagrangiana[br][br][math]\huge{\ell(K,L, \lambda)=AK^\alpha L^\beta+\lambda (rK+wL-C_0)} [/math][br][br]Le condizioni necessarie sui punti critici, cioè l'annullamento delle derivate prime, sono[br][br][math]\Large{\left \{ \begin{array} \ [br]Q_L+\lambda w &= 0 \\ [br]Q_K+\lambda r &= 0 \\[br]wL+rK-C_0&=0[br]\end{array}\right .}[/math][br][br]La terza condizione non è altro che il soddisfacimento del vincolo; più interessanti le prime due, che come sappiamo indicano che il gradiente della funzione Q e quello della funzione associata al vincolo devono essere paralleli, in modo che muovendosi lungo il vincolo non ci sia, nel punto critico, nessuna componente utile a variare l'output di Q. Questo significa che [b]nel punto critico ottimale le curve di livello della funzione e del vincolo (quest'ultimo essendo il vincolo stesso) sono parallele, quindi toccandosi (il punto appartiene ad entrambe) sono tangenti[/b]. [br][br][b]Questo permette di risolvere graficamente il problema[/b], che può essere risolto non solo con l'Hessiano Orlato, ma anche tramite sostituzione dato che il vincolo è lineare e facilmente invertibile; oltre a permettere di visualizzare la soluzione evitando conti complessi, questo approccio permette alcune utili rifllessioni. [b]Vediamo un esempio[/b].[br][br]Nel grafico sottostante la funzione di Cobb-Douglas ha parametri [math]\Large{Q(K,L)=240K^{0.8} L^{0.4}}[/math], ed i costi unitari dei fattori di produzione sono [math]\Large{r=80}[/math] e [math]\Large{w=60}[/math]; vincolando il costo a [math]\Large{C_0=8000}[/math] il vincolo ha espressione [math]\Large{8000-80K-60L=0}[/math].

[size=85]In 3D la [b][color=#0000ff]funzione di Cobb Douglas[/color][/b] dell'esempio e la relativa [b][color=#0000ff]curva di livello della produzione[/color][/b], che [b][color=#0000ff]è riportata in blu[/color][/b] anche sul piano 2D [math]\large{LK}[/math], su cui è possibile visualizzare il gradiente in un punto della curva, le cui componenti sono le derivate parziali della funzione. Più semplice è [b]la curva del vincolo sui costi, una retta[/b], il cui gradiente ha quindi la stessa direzione per ogni punto. [b][color=#0000ff]Agendo sullo slider blu[/color] [/b]è possibile cambiare il valore della produzione per cui considerare la curva di livello, e cercare quella tangente al vincolo. Questo approccio manuale replica il disegnare varie curve di livello alla ricerca di quella tangente. [br][/size][size=85]Agendo sullo [b][color=#ff0000]slider rosso [/color][/b]si può passare alla modalità che abbiamo utilizzato in altre animazioni sui gradienti e curve di livello: si trascinando il punto arancione ci si muove anche sull'intersezione in 3D tra vincolo e funzione di CB, e la curva di livello si attesta automaticamente sul valore della produzione in quel punto, rendendo più semplice trovare in punto di tangenza.[/size]