Check!

Eine Methode, um die Sinus- und Kosinuswerte schnell zu ermitteln, ist das Ablesen am Einheitskreis. Dazu zeichnet man einen Kreis mit Radius 1. Man lässt nun den Punkt auf dem Einheitskreis [b]gegen den Uhrzeigersinn[/b] wandern. Es ergibt sich ein Winkel am Ursprung, den wir [color=#ff0000]α [/color]nennen.[br]

Beachte: Der Abstand von P zum Ursprung ist immer 1, da der Radius 1 ist.[br][br]Zieht man nun vom Punkt zur x- bzw. y-Achse Verbindungslinien, so entstehen zwei rechtwinklige Dreiecke.[br]Der Winkel [color=#ff0000]α [/color]kommt nochmal im oberen Dreieck aufgrund des Stufenwinkelsatzes (vergleiche Klasse 7) vor.

[size=150][b]Die Trigonometrischen Relationen verraten einem für das untere Dreieck:[br][/b][math]\cos\left(\alpha\right)=\frac{u}{1}=\text{u}[/math][b][br]bzw. für das obere Dreieck:[br][/b][math]\sin\left(\alpha\right)=\frac{v}{1}=v[/math][/size][br]Wie praktisch! Denn unsere Koordinaten des Punkts P sind genau [b]P([color=#38761d]u[color=#000000]|[/color][/color][color=#0000ff]v[/color])=P([color=#6aa84f]cos([/color][math]\alpha[/math][color=#6aa84f])[/color]| [color=#3c78d8]sin([/color][math]\alpha[/math][color=#3c78d8])[/color]).[br][/b]Auf diese Art und Weise kann man also jedem Winkel einen Punkt auf dem Einheitskreis und somit den Sinuswert und den Kosinuswert zuordnen.[br]

Wir können genau das gleiche Prinzip wie in Teil 2 fortführen, um den Sinus und Kosinus auch für Winkel über 90° zu definieren. Wir lesen die entsprechenden Werte für[color=#1155cc] [b]u[/b] [/color]und[color=#38761d] [b]v[/b] [/color]am Einheitskreis ab. Der Winkel [color=#ff0000][b]α[/b][/color] läuft einfach weiter. Wichtig: Auch weiterhin gehen wir [b]gegen den Uhrzeigersinn[/b]![br]

Auf der rechten Seite sieht man jeweils die Werte für [color=#0000ff]sin(α) [/color]und [color=#38761d]cos(α) [/color]in Abhängigkeit von α (x-Achse) aufgetragen. Die Spur lässt einen verfolgen, wie sich der Sinus- bzw. Kosinuswert ändert. [br]Mit "Spur zurücksetzen" kann man sich ausschließlich den aktuell eingestellten Punkt anzeigen lassen.[br][br]

Ein Vorgang heißt [b]periodisch[/b], wenn sich alle Werte in regelmäßigen Abständen wiederholen.[br]Der kleinste Abstand, in dem sich die Werte vollständig wiederholen, heißt [b]Periode[/b] (oder Periodenlänge). [br]Die größte Abweichung vom mittleren Wert nach oben oder nach unten heißt [b]Amplitude[/b].

[b]Ermittle die Periode und die Amplitude des Sinus und des Cosinus im Gradmaß.[br][br]--> Vergleiche deine Ergebnisse mit Buch S. 133. [/b]

Die Erweiterung der Winkel in den negativen Bereich entspricht dem Wandern des Punktes P [b]im Uhrzeigersinn[/b] im Einheitskreis.

Winkel über 360° entsprechen einer (zwei, drei, ...) weiteren Umrundungen [b]gegen den Uhrzeigersinn[/b].

Ebenso entsprechen analog Winkel unter -360° auch mehreren Umrundungen [b]im Uhrzeigersinn[/b].

[b]Beschreibe die Vorzeichen des Sinus und Cosinus in den einzelnen Quadraten in folgender Tabelle:[br][/b][table][tr][td][b]Quadrant[/b][/td][td][i][b]I[/b][/i][/td][td][i][b]II[/b][/i][/td][td][i][b]III[/b][/i][/td][td][i][b]IV[/b][/i][/td][/tr][tr][td][b]Sinus[/b][/td][td][b][/b][/td][td][b][/b][/td][td][b][/b][/td][td][b][/b][/td][/tr][tr][td][b]Cosinus[/b][/td][td][b][/b][/td][td][b][/b][/td][td][b][/b][/td][td][b][/b][/td][/tr][/table]

Anstatt mit Winkeln in Grad geben Mathematiker und Naturwissenschaftler häufig den Sinus und Kosinus in Abhängigkeit des sogenannten [b]Bogenmaßes[/b] an.[br]Durch den Winkel wird ein Teil des Kreisbogens definiert. [br]Die Bogenlänge nennen wir [color=#ff0000]x[/color]. Dies kann man in Applet 7 erkennen.[br]

[size=100][size=150]Eine ganze Umrundung entspricht genau dem Umfang des Einheitskreises: [math]U=2\pi r=2\pi\cdot1=2\pi[/math][br]360° entsprechen also eine Bogenlänge von 2π, 180° entsprechen π usw. [br]Alle weiteren Umrechnungen lassen sich so mit dem Dreisatz durchführen.[/size][/size][br][br][br][br]

[b]Ermittle die Periode und die Amplitude des Sinus und des Cosinus im Bogenmaß.[br][br]--> Vergleiche deine Ergebnisse mit Buch S. 135. [/b]

Genau wie beim Winkel kann jeder Bogenlänge x genau ein Sinus- und ein Kosinuswert zugeordnet werden. Beachte: Bogenmaß ist nicht in °! Winkel sind in °![br]Auch der Taschenrechner kann Sinus und Kosinus von Bogenmaßangaben bestimmen. Dafür muss jedoch unter "mode" mit den Pfeiltasten "RAD" ausgewählt und durch "enter" bestätigt werden.[br][b][size=150]Beachte: [br]Wenn der Taschenrechner auf "DEG" eingestellt ist, nimmt er den Wert in den Klammern des Sinus/Kosinus als Winkel an. [br]Wenn der Taschenrechner auf "RAD" eingestellt ist, nimmt er den Wert als Bogenmaß an! [br][br][/size][/b]