[br]Dados dois vetores [math]\vec u[/math] e [math]\vec v[/math], o produto escalar [math]\langle \vec u, \vec v \rangle[/math] é
[br]O produto escalar mede [b]o quanto dois vetores se reforçam[/b].[br][br]Imagine um vagão de trem sobre trilhos, [b]como no aplicativo abaixo[/b].[br][br]Imagine que uma pessoa está empurrando o vagão para a frente, na direção e no sentido do vetor [math]\vec u[/math].[br][br]Imagine que outra pessoa está empurrando o vagão na direção e no sentido do vetor [math]\vec v[/math].[br][br][b]O valor de [/b][math]\langle \vec u, \vec v \rangle[/math][b] representa o quanto as duas pessoas se ajudam ou se atrapalham.[/b][br][br]No aplicativo abaixo, em que situações as pessoas se ajudam?
[size=50]Imagem: [url=https://www.deviantart.com/vachalenxeon/art/Chibi-Train-GEK-208524356]https://www.deviantart.com/vachalenxeon/art/Chibi-Train-GEK-208524356[/url][/size]
[b][br]No aplicativo abaixo[/b], os dois vetores mantêm seus comprimentos, mas [b]o ângulo entre eles varia de acordo com a situação.[/b][br][br]Em que situação o produto escalar [math]\langle \vec u, \vec v \rangle[/math] tem o [b]maior[/b] valor?
Em que situação o produto escalar [math]\langle \vec u, \vec v \rangle[/math] tem o [b]menor[/b] valor?
Em que situação o produto escalar [math]\langle \vec u, \vec v \rangle[/math] tem [b]valor zero[/b]?
[br]Observe, [b]no aplicativo acima[/b], [b]como o valor de [/b][math]\langle \vec u, \vec v \rangle[/math][b] muda de acordo com o valor de [/b][math]\cos \theta[/math][b].[/b][br][br]Escreva suas conclusões.
[b][br]No aplicativo abaixo[/b], os dois vetores mantêm o ângulo entre eles, mas [b]o comprimento de um deles varia de acordo com a situação.[/b][br][br]Em que situação o produto escalar [math]\langle \vec u, \vec v \rangle[/math] tem o [b]maior[/b] valor?
Em que situação o produto escalar [math]\langle \vec u, \vec v \rangle[/math] tem o [b]menor[/b] valor?
[b]Mantendo o ângulo entre os dois vetores[/b] [math]\vec u[/math] e [math]\vec v[/math] [b]no aplicativo abaixo[/b], é possível o valor de [math]\langle \vec u, \vec v \rangle[/math] ser zero?[br][br]Se sim, quando?[br][br]Se não, por quê?
[br]Como você constatou acima, o valor do produto escalar [math]\langle \vec u, \vec v \rangle[/math] depende [br][br][list][*]do cosseno do ângulo [math]\theta[/math] entre os vetores e [/*][br][*]dos comprimentos dos vetores.[/*][/list][br]Então, podemos calcular o produto escalar como[br][br][center][math]\langle \vec u, \vec v \rangle = |\vec u| \cdot |\vec v| \cdot \cos \theta[/math][/center]Perceba que[br][list][br][*]Se o comprimento de [math]\vec u[/math] aumenta, o valor de [math]\langle \vec u, \vec v \rangle[/math] aumenta.[/*][br][*]Se o comprimento de [math]\vec v[/math] aumenta, o valor de [math]\langle \vec u, \vec v \rangle[/math] aumenta.[/*][br][*]Se o cosseno de [math]\theta[/math] aumenta, o valor de [math]\langle \vec u, \vec v \rangle[/math] aumenta.[/*][br][*]Se um dos fatores é zero, o valor de [math]\langle \vec u, \vec v \rangle[/math] é zero.[/*][/list]
Combinamos sempre considerar o menor dos ângulos entre dois vetores.[br][br]Ou seja, [math]\theta[/math] sempre vai estar entre zero e 180 graus.[br][br]Então, dados dois vetores, [b]qual o único ângulo entre eles cujo cosseno é zero?[/b]
[br][b]No aplicativo abaixo[/b], aperte o botão [Sortear] e calcule[br][br][list][*]Os módulos dos dois vetores (ou usando as coordenadas, ou achando triângulos retângulos na figura).[/*][br][*]O cosseno do ângulo entre eles (achando um triângulo retângulo na figura; não precisa achar o valor do ângulo).[/*][br][*]O produto escalar entre eles.[/*][/list][br][br]Aperte o botão [conferir] para ver se você acertou.
[br]Até agora, calculamos o produto escalar usando os módulos dos vetores e o cosseno do ângulo entre eles.[br][br]Mais frequentemente, [b]vamos ter só as coordenadas dos vetores[/b]. Por exemplo,[br][br][center][math]\vec u = (a, b)[/math] e [math]\vec v = (c, d)[/math][/center][br]Podemos calcular o produto escalar como [br][br][center][math]\langle \vec u, \vec v \rangle = a\cdot c + b \cdot d[/math][/center] [br]Ou seja, multiplicamos as coordenadas [math]x[/math] dos dois vetores, multiplicamos as coordenadas [math]y[/math] dos dois vetores e somamos os dois resultados.[br][br]A proposição 4.10, no capítulo 4 do [url=https://canal.cecierj.edu.br/recurso/4690]pdf usado no curso[/url], mostra por que as duas maneiras de calcular o produto escalar -- (1) usando módulos e cosseno do ângulo e (2) usando as coordenadas -- são equivalentes. O raciocínio usa a [b]lei dos cossenos[/b]. Pesquise a respeito.[br][br]Imagine que você já calculou o produto escalar [math]\langle \vec u, \vec v \rangle[/math] deste jeito. Imagine que você também já calculou, a partir das coordenadas, os módulos [math]|\vec u|[/math] e [math]|\vec v|[/math] dos dois vetores.[br][br][b]Você pode descobrir o cosseno do ângulo entre os vetores[/b] fazendo[br][br][center][math]\cos \theta = \frac{\langle \vec u, \vec v \rangle}{|\vec u| \cdot |\vec v|}[/math][br][/center][br]Então, [b]volte para o aplicativo acima[/b], sorteie novos vetores, e calcule, a partir das coordenadas deles, o produto escalar, os módulos e o cosseno do ângulo entre eles.
[br]Observe bem [b]o aplicativo abaixo[/b].[br][br]Aperte o botão para iniciar e parar a animação.[br][br]Você consegue explicar, em detalhes, por que o valor do produto escalar [math]\langle \vec u, \vec v \rangle[/math] é igual à área do retângulo mostrado (multiplicada ou não por [math]-1[/math] de acordo com o caso)?